希爾伯特第八問題有望終結:黎曼猜想獲證!

大衛·希爾伯特，D.（David Hilbert，1862～1943），德國著名數學家，被稱為「數學界的無冕之王」，他是天才中的天才。他於1900年8月8日（也是庚子年）在巴黎第二屆國際數學家大會上，提出了新世紀數學家應當努力解決的23個數學問題，這23個問題統稱希爾伯特問題，後來成為許多數學家力圖攻克的難關，對現代數學的研究和發展產生了深刻的影響，起到了積極的推動作用，希爾伯特問題中絕大部分現已得到圓滿解決，唯一至今沒有實質進展的是希爾伯特第八問題，世界數學界一直沒有滿意推進，即關於數論方面的哥德巴赫猜想（以下簡稱哥猜），孿生素數猜想（以下簡稱孿猜）以及黎曼猜想（以下簡稱黎猜），成了人類智力的邊界，乃至黎曼猜想作為老問題遺留到了世界千禧年七大數學猜想之中。

120年過去了，歷經兩個庚子年，終於迎來了破解希爾伯特第八問題的曙光。羅莫老師新近出版的數論專集《數學底層引擎相鄰論和重合法》，由海天出版社出版，該書集結了21篇論文，證明了數學界久未解決的幾十個猜想難題，其中有三篇論文是分別破解哥猜、孿猜和黎猜的。

作者羅莫通過數學新工具相鄰論和重合法開啟了整數不等量分割和等量分割可以相互轉換的暗門樞紐。一個樸素的數學規則被呈現：因單位元缺席，無素數基礎解系的例外偶數不存在，因累積互素，無素數因子可構造的例外偶數不存在。

原以為解決這些難題需要複雜的計算，殊不知攻克這道難關的，僅是一個邏輯觀念的覺醒。心外無物，是這一古老的東方哲學啟迪了我們的心智，誰說古代中國沒有純數學傳統，沒有根基的異域不存在！正是基於這一思想傳承，哥猜的神秘面紗被揭開。

據此可多米諾骨牌式地解決孿猜和黎猜以及一系列丟番圖問題。黎猜是通過不同特徵值所對應的線性算子經線性映射所得到的點乘和數乘之差值存在為0的結果，若且唯若哥猜成立時。即素數二項式表達（哥猜），其等式左邊的點乘和等式右邊的數乘是解集同構的，k個不同素數之和與k個不同素數均項（素數多項式函數），若且唯若k=2時，等式左邊多項式的點乘與等式右邊均值的數乘是整數解集同構的，k≠2時，等式左右整數解集是同態的。k=1時，極坐標為0度，虛部為0，黎曼澤塔方程有平凡0點解s=-2n，k=2時，黎曼澤塔方程有非平凡0點解Res=1/2，舍此無0點解。解決希爾伯特第八問題的密鑰原來在此。

 

【摘要】 

本文通過約化偶數等量分割和不等量分割方程，經數乘逆運算得到不可約整係數多項式方程，可知奇數互素解集是其本原解（由伯特蘭―切比雪夫定理推得）；經點乘逆運算得到奇素數多項式方程，可知二元奇素數基礎解系是偶數不等量分割方程的最簡本原解。由於用兩互異奇素數之和定義的可表偶數方程就是關於全集偶數的最簡本原解方程，故與可表偶數有互補關係的例外偶數之通解就一定是空集，通過整數相鄰互素定理亦可證明與可表偶數累積相鄰互素的例外偶數是空集，從而證明了二元加法運算在可表偶數上封閉。還可通過整數相鄰互素定理及互異互素思想，證明該引理成立。由於此引理獲證，可多米諾骨牌式地解決哥德巴赫猜想、齋藤猜想、孿生素數猜想、波利尼亞克猜想、莫德爾猜想、比爾猜想、ABC猜想、奧波曼猜想和黎曼假設等系列相關問題。

黎曼猜想因與素數分布緊密關聯，故借「二元加法運算在可表偶數上封閉」的引理，亦可證明其成立。若且唯若黎曼澤塔函數其通項導數為 f（1/ 2）時，經解析延拓後原集與擴域集之間存在共軛同構關係，級數中的正負「兩類發散級數之和」其絕對值相等。除了經線性空間的素數基底性質可判定，它與哥猜命題等價外，還可由洛必達法則判定，它與算術基本定理等價。故導數f（非 1/ 2）時擴域出的「兩類發散級數之和」構成交錯級數，正負兩部分的絕對值僅存同態關係，以上可由哥猜推論得到。可見是用哥猜獲證做引理，證明了黎曼澤塔函數通項導數的生成元非1/ 2 時必無0點非平凡解，黎曼猜想獲證。

本文包括續篇是對希爾伯特第八問題的全面闡釋，將囊括哥德巴赫猜想、孿生素數猜想和黎曼猜想三大難題，解決這些問題的核心，正是希爾伯特的特徵方程內積思想以及互異互素的思想在素數領域的推廣。可見解鈴還須繫鈴人。本文全部內容分黎猜，哥猜，孿猜三篇推出。 

【關鍵詞】 

可表偶數；例外偶數；素數基礎解系；通解；不等量分割；等差素數數列有限長；等差素數數組無限長；互素；互異；同態；同構；線性相關；線性無關；解析延拓；差分算子；導數生成元

 

1.0. 何為黎曼猜想？

德國數學家 G. F. B. Riemann（G. F. B.黎曼）（ 1826—1866）觀察到，素數的頻率與一個複雜的函數密切相關。ζ（ s）=1/1^s +1/ 2^s +1/3^s +1/4^s+… 被稱為黎曼澤塔函數。黎曼猜想認為所有素數都可用一個同自然數一一映射的亞純函數①的極值來表示。在 s ＜ 1 時，特意定義了一個巧妙算法（解析延拓）來擴域，再將擴域後得到的正數項級數「發散和」加上與其交錯互補的負數項級數「發散和」，兩個正負無窮大相加可得到一個有限量。也就是說，發散的原級數經解析延拓變為交錯級數則存在條件收斂。ζ（s）= 0 的所有非平凡解集位於一條經過橫坐標1/ 2 處的垂直線上，這就是黎曼猜想。

下面我們就來證明黎曼猜想的一個等價命題：黎曼澤塔函數臨界線外的非平凡0點解為空集。即黎曼黎曼澤塔函數除了數列通項中的導數的極限為常量時其原函數的極限可收斂於另一常量外，不存在通項導數為變量時仍滿足解析延拓後的正負「發散和」可收斂於某常數，也不存在通項導數為常數時黎曼澤塔函數可收斂於某變數。這一差商性質滿足洛必達法則②，等式一般情形從左到右至少是同態單射的。而等式特殊情形從左到右黎曼澤塔函數且是同態滿射關係則是本文須證明的核心。可導必可積，可積未必可導。

可見要想解決黎曼猜想，就要深刻理解：原函數通過解析延拓的作用後定義域發生了哪些變化？它是按什麼規則擴域的？數列中的哪些項會擴域出負數？既然新的正負交錯數列求和等於兩個發散數列的和值相減，那麼所得到的差值是繼續發散呢，還是存在條件收斂？理由何在？級數經解析延拓擴域後正數項數列與負數項數列其本質區別在哪裡？是不是原函數特徵值③的「特徵精準程度」可通過黎曼澤塔函數解析延拓後的求和來考察？

1.1. 數學家對黎曼猜想的探索  

黎曼澤塔函數復變量實部常數項非1/ 2 時的解集為何沒有非平凡0點解。以下我們就來證明該命題：黎曼澤塔函數臨界線外的非平凡 0 點解是空集。

本文證明是建立在前人研究成果的基礎上所完成的存在性證明，非構造性證明，且虛部b的定義域為代數數以及超越數的極值數。阿蒂亞（Atiyah）聲稱僅完成了弱解析純複數域的證明（強解析部分未涉及）。而本文完成的是黎曼澤塔函數的幾乎所有定義域證明。虛部b為不可數的純超越數強解析時，本文不作討論，撇開了強解析的情形。因為強解析，連續量無定點值，與黎曼猜想是矛盾的，自然數與連續量不是一一映射的，康託爾已證。

黎曼猜想是研究離散量與連續量的良序極值之間存在可一一映射的橋梁。由於數學歸納法僅在離散量和部分有離散極值的連續量中生效，研究純連續量的強解析域不能與自然數完成一一映射，哥德爾的不完備定理已在此把關，這一領域的命題用已知的數學體系既不能證真，也不能證偽，只能把它當成準公理或悖論處理。而本文通過證明，顯示了離散量與弱連續量之間完全可以架設橋梁，與代數數有緊鄰邊緣關係的某類強連續量通過不斷添加新算法就能被「策反」歸類到弱連續量當中來。

確立了目標後，於是就思考。所有非平凡解為何都在臨界帶（線）上？臨界帶（線）上為何有解，且為何有無窮個？如何計算出非平凡 0 點解？為何平凡0點解等於 -2n ？通過伽馬函數怎樣得到ζ（s）=ζ（ 1-s）=0？解析延拓變負號項為何發生在偶數項或n倍數項？實部 Res 的大小為何能決定黎曼澤塔函數模長的變化率？虛部 Ims 的大小為何能決定黎曼澤塔函數軌跡轉幅的大小以及保角變換的延伸？函數特徵值為何可由函數的差分算子④決定？好在這些都已被朱世傑、牛頓、歐拉、黎曼、哈代和希爾伯特等前輩數學家們所完成，有了他們所攀越的高峰，接下來證明就簡單多了，僅證明黎曼澤塔函數臨界線外的非平凡0點解為空集，就可證明黎曼猜想成立。就像哥猜證明只要證明例外偶數為空集一樣。黎曼猜想的實質是高維空間數在一維空間上都有「戶口登記」，一維空間查無「戶口登記」的高維空間數是不存在的。黎曼猜想說明了所有的生命都是有線性根基的，沒有線性根基的生命是不存在的。黎曼猜想的證明同哥德巴赫猜想的證明極其相似，一個線外解集是空集，一個例外偶數是空集，都是證明既定的複雜運算不產生例外數值，這種複雜運算不像簡單運算有更根本的數學性態，是產生最優化理論的根源。可簡單概括為相鄰論思想，所有的數學運算都出自最簡單的一維相鄰運算。

優先用初等數學方法解決高等數學問題，是數學發展的正常路徑，符合奧卡姆剃刀原理。反之是倒逼的方法，即便問題解決，也不易發現推動數學發展的原動力在哪。故簡潔證明更有價值。相鄰論的主體思想原來就是中國元代數學家朱世傑的差分算子理論，如果說在此基礎上有什麼添加的話，相鄰論是素數一次多項式差分算子理論中的一種素數線性變換，只不過更重視考察差分算子的低維特性，即素數分布，是研究素數一次多項式的。通過差分算子的線性變換來考察一次多項式中的素數分布，並把這一函數稱為鄰函數。

單位差分算子，準確地說是差商算子，若且唯若為常量 2 時，差商算子確 定下的黎曼澤塔函數通項存在特徵值的函數 f（1/ 2）即 2，可構造差商算子作用素數多項式與特徵值作用素數多項式所得到的函數值同構。

換句話說，可構造差商算子作用素數多項式與特徵值的函數作用素數多項式的均值所得到的函數值同構。其他情形兩者同態。這是本文從代數數定義域去完成證明的核心。離散極值微分算子，準確地說是導數算子，若且唯若實部為常量 2 時，導數算子確定下的黎曼澤塔函數通項存在特徵值的函數 2，可構造導數算子作用素數多項式與特徵值作用素數多項式所得到的函數值同構。

換句話說，可構造導數算子作用素數多項式與特徵值的函數作用素數多項式的均值所得到的函數值同構。其他情形兩者同態。這是本文從弱連續量定義域去完成證明的核心。連續量任意位的後繼數可同時延伸不同的數叫超越數。連續量任意位的後繼數可次第延伸不同的數叫弱連續量，這是代數數的擴域。華羅庚前輩說，創建數學工具比解決數學難題更重要，解決難題畢竟還是在做應用，是次一級的純粹數學。因此證明猜想的相關備用工具有必要先亮相，

以上介紹了相鄰論的思想，可理解為就是素數差分算子理論。通過它完成了一些引理證明，即哥德巴赫猜想的證明。以哥猜做引理，我們再來證明黎曼猜想。

1.2.黎曼澤塔函數的各種「變臉」。

我們來考察黎曼澤塔函數實部定義域與黎曼澤塔函數值域之間的關係。黎曼猜想的各種等價表達很多，其中推演出的命題就有上千個，就不一一列舉了。有個簡單的變換，我們來考 察下，黎曼澤塔函數的 s 解，除了可用笛卡爾坐標（s，ζ（ s））表達外，還可用 極坐標⑤表達。由於定義域和值域分別需要複平面表達，故黎曼澤塔函數的圖像是四維坐標的。臨界帶是黎曼澤塔函數定義域平面坐標圖，而黎曼澤塔函數 平面坐標圖如圖 21-2 所示，當然這也不是黎曼澤塔函數的整體四維坐標圖：

笛卡爾坐標與極坐標等價表達臨界線。

根據歐拉乘積方程，即黎曼澤塔函數ζ(s)= ∑（1/n^s）= ∏1/（1-1/p^s），自變量 s 為複數域，複數包括復代數數與復超越數，其中復代數數是整係數多項式的復根，故可用有限個數的整數「數對」表達。而笛卡爾坐標和極坐標表達的整數「數對」關係，皆為乘法關係。當極角為定值時，極坐標的其中一個量就是常數。當極角為 2π/6 時，相當於取6倍數中的偶數域，極坐標中的其中一項常數值置換成笛卡爾坐標就是1/ 2。至於復超越數，則可通過添加新算法構造新的整數「數對」來表達。總之某類復變量的極值同自然數有一一映射關係，同素數序列也有一一映射關係。

當 s 解集「數對」中的常量不是2π/6 時，即 Res ≠ cos2π/6 ≠ 1/ 2 時，非平凡0 點解就在臨界線外。根據常量2π/6 的幾何意義，其複平面的位置是 （Res=cos2π/6=1/ 2，Ims=bi），表示素數至少需要兩元相加獲得所有偶數以 及至少需要三元相加獲得所有奇數，其中正三元得正奇數，負三元得負奇數， 即每隔一個n才有一個新增素數產生，從而能滿足所有非平凡 0 點上的收斂。 因此非平凡 0 點與平凡 0 點一樣，都收斂於關聯偶數值的復指數情形，只不過非平凡 0 點是通過指數複數值的關聯偶數來間接表達的。作為黎曼澤塔方程 s 的解集（Res=cos2π/6=1/ 2，Ims=bi）， Ims=bi 中的 b 必須同所有偶數關聯，至少是同某種特殊偶數的諧波有關聯，如 3+p 所得到的特殊偶數的諧波，不同的偶數集決定了解析延拓後的負數項數列特徵，虛數 i 的偶數次方產生了負數項 級數。

把笛卡爾坐標的實部Res=a（實數）當成極坐標的極角數，轉換為笛卡爾 坐標的實部cos（a），然後又把該實部看成極坐標的極角數，轉換成笛卡爾坐 標的實部，又繼續看成極角數轉換為極坐標的實部cos（cos（a）），如此不斷迭代進行，實部解會趨於一個常數，該常數 f（f（cosa））=cos（cos…（cos（a）））=0.739085133215161… ，即cosa=a 的極值方程解。雖說兩類坐標的實部不能等同互用，但兩類「數對」屬於關聯映射，可等價表達複數，實部存在以少對多，最後是以一對多的關係。以上證明了變量加變量的復變量二元複數可以拓撲等價轉化為常量加變量的單變量二元複數，說明二元複數和一元實數是連續量的一一映射，且拓撲等價。一個常量加素數的諧波等價於復變量。

1.3.可見復變量的本質是單變量。用此結論可證明黎曼猜想成立。

該常數r 跟圓周率π有關，也可以說跟e有關，所以也是個超越數。r （0.739085133215161…）是極坐標的「濃縮實部常數」，它近似於「精細結構常數⑥」a（1/137）先乘 100再加1%，即方程cos（100a+1%）=100a+1%的解，更近似於2/（10^4·e）。它說明了復變量與單變量有相互等價的映射性質。它證明了黎曼澤塔函數復自變量與復因變量實部的常量本原解具有唯一性。復因變量的實部為非平凡0點解時，復自變量只能一一映射為一個常量。根據伽馬函數所推出的結果ζ（s）=ζ（ 1-s），再根據復變量實部都是「濃縮實部常數」的展開，實部的本原解僅為一個常量，可推得復自變量的實部只能是1/2，否則復自變量的實部就有多個同構性的本原解可映射出具同態性的各類通解，這與同構對象僅有一個相矛盾。非平凡0點解就是找出同構對象，而同態對象與同構對象相比具有互異性，彼此集結而相互抵消時無法產生0點解。

本文在阿蒂亞論文公布之前已經發表，國家圖書文獻中心中國預印本上有時間戳為證，但碰巧與阿蒂亞用無量綱常數證明黎曼猜想有呼應的地方。阿蒂亞的證明思路大體是正確的，從媒體上看到，數學家大都低估了他的證明框架。阿蒂亞指出，理解「精細結構常數」只是最初的動機，在這個過程中發展出來的數學方法卻可以理解黎曼猜想。這是阿蒂亞的天才洞見。但「精細結構常數」尚缺乏一個堅固的幾何形狀定義，它是兩類粒子的速度之比，是物理常數，也是數學常數，如果它只能測量，而不能推算，說明還停留在物理常數的階段。

另外一個關鍵是，「精細結構常數」尚不足以直接證明復變量的本質是單變量，不能直接證明黎曼澤塔函數實部是滿射函數，即因變量實部唯一，自變量的實部就唯一。「濃縮實部常數」才可證明黎曼澤塔函數實部至少是滿射函數，能用常數實部加變量虛部來等價表示復變量。但「精細結構常數」間接蘊含了可證明實部變量能用常量替代的思想，因此是很珍貴的，不應遭到數學界的漠視。

本文發現的「濃縮實部常數」是有堅固的幾何形狀定義的，它是極坐標濃縮映射笛卡爾坐標的餘弦極角值，用模數和模數的倒數作為餘數來微調「精細結構常數」就可得到「濃縮實部常數」。同樣，用「濃縮實部常數」也可反推出「精細結構常數」。

既然實部定義域可變臉為常數，那函數值域會如何呢？黎曼澤塔函數是亞純函數，除一點外，其他都是處處可導的光滑映射，自變量的實部有唯一收斂，因變量就有唯一收斂，這是可證明的；反過來因變量有唯一收斂，自變量的實部是否必有唯一收斂，還不得而知。兩者如果是雙射關係，黎曼猜想就可獲證。自變量的實部定義域可等價變換為一個「濃縮實部常數」，這就決定了因變量也能相應計算出一個「收斂函數極值」這一性質。該判定是否為真，可由解析延拓的性質判定。Res 決定了黎曼澤塔函數的軌跡模長，虛部 Ims 決定了黎曼澤塔函數的軌跡轉幅，可以改變轉幅來讓實部不變。可見實部有唯一收斂極值，黎曼澤塔函數的模長就有唯一收斂極值。而反過來因變量有唯一收斂，自變量是否必有唯一收斂，下文將用「一階差分算子」來詳細證明。黎曼澤塔函數收斂得到的極值不同，說明函數的特徵值不同，特徵值不同，說明函數的線性算子不同，即「一階差分算子」不同，「一階差分算子」不同決定了實部要取不同的數值，由此證明了，黎曼澤塔函數實部收斂於某常數，且所一一映射的和值也收斂於唯一對應常數，由此可證兩者是雙射關係。可見黎曼猜想真正成立的內因是哥猜必須成立。

阿蒂亞在論文中報告了他可以用 todd 函數來推算「精細結構常數」，但目前尚無數學家完全信服。另外「精細結構常數」即便被 todd 函數所推算出，還缺乏一個精準推演，即由「精細結構常數」推理出，黎曼澤塔函數的實部為常數時原函數解析延拓後級數會收斂於一個常數，儘管 todd 函數可以從自變量等於常數推得因變量也會等於常數，且還可從因變量等於常數推得自變量也會等於常數。如果 todd 函數是黎曼澤塔函數的等價變換，那黎曼猜想就被證明了。可惜有兩點未證實：一是 todd 函數的證明未獲認可，目前僅為物理表達；二是 todd 函數與黎曼澤塔函數的等價變換未獲證明。 而阿蒂亞沒有解決的這些關鍵問題，本文將從另一個角度給出解決方案。

「精細結構常數」與級數通項的「一階差分算子」緊密關聯，與「精準特徵值」 緊密關聯，與「濃縮實部常數」緊密關聯，與實部為 1/ 2 緊密關聯。 上文已證，黎曼澤塔函數實部收斂於某常數 a，其一一映射的函數也收斂於某常數 f（a）。於是可推得所有黎曼澤塔函數非平凡 0 點解只能落在 Res=a 的一條實部線條上，否則會與兩類常數之間存在一一映射關係相矛盾。即一個函數收斂值不可以落在兩個或兩個以上的常數上。因為虛部解集 Ims 要麼都不在（實部不匹配），要麼都在臨界線上。而哈代已證有無數解集落在Res=1/ 2 的臨界線上，其他解集也只能團結在其中。實部為實常數時，虛部含所有素數因子。總之複數的非線性與實數的線性是可以一一映射的，說明複平面數可濃縮到實部為常數的複線條數上，該結論康託爾完成過證明，本文證明更為簡潔直觀。即通過推導cosa=a 的極值，就可得到「濃縮實部常數」a 等於 0.739085133215161…。

那麼該結論對證明黎曼猜想有何作用呢？是不是跟阿蒂亞一樣，用它來做引理有點牽強？在黎曼澤塔函數中，連續量與離散量之所以有一一映射的關聯，是因為用整數表達的弱連續量（整係數多項式的復根）選擇了對各個部件表達可次第取極值，而非對各個部件表達同時取極值。否則「運算時序中的同時性濫用」就會導致數學歸納法失效，包括超限數學歸納法也會失效，良序原理、選擇公理都會失效，就會導致猜想不能證真也不能證偽，從而被迫把猜想強推為公理。

無論是「濃縮實部常數」，還是「精細結構常數」，都可看成是速度之比，都可看成是差分算子，或導數算子。這類線性算子作用一次素數多項式與特徵值作用一次素數多項式，存在同構與同態兩種關係。若且唯若素數一次多項式為二項式時兩者才同構，其他多項式是同態關係，黎曼澤塔函數 會對應特殊常數，但不是 0。如此一來，大多情形，經解析延拓後減去一個同原函數僅有同態關係的偶數項數列求和就無法條件收斂於0，而是收斂於其他常數，或者繼續發散。此為證明核心，後文詳述。本文僅憑「濃縮實部常數」和伽馬函數就可粗略地證明黎曼猜想成立。「濃縮實部常數」證明了黎曼澤塔函數因變量實部互異唯一，自變量的實部就互異唯一，而根據伽馬函數，實部唯一就只有取1/2值。這是第一種證明黎曼猜想的方法。

2.0. 破解黎曼澤塔函數的數學工具：哥德巴赫猜想成立！

不含所有素數的有限項相加無法獲得所有的奇數和偶數，黎曼澤塔函數的非平凡0點解在臨界帶 1＞Res＞0之間，剛已證明複數域的實部和虛部是有相互制約關係的，實部為常數 1/ 2 時，虛部所對應的是最密集的偶數域，實部在臨界帶1＞Res＞0之間取其他常數值時，虛部所對應的並不是最密集的偶數域。

通常認為某範圍的虛部數域，跟實部選擇什麼數無關，其實兩者之間有相互制約關聯。這一點貌似反直覺，因而點破它就意義重大，數學史上的重大發現常貌似反直覺。因此跟偶數相關的非平凡 0點解都被實部為 1/ 2 時的複數全部囊括。常數非1/ 2時的非平凡0點解必然就為空集。下文將重點證明這個結論。 經驗算，黎曼澤塔函數的前9個0點範圍是：

1/ 2+-（14，14.5） i ，1/ 2+-（21，21.5） i ，1/ 2+-（25，25.5） i ，1/ 2+-（30，30.5） i ，1/ 2+-（32.5，33） i， 1/ 2+-（37.5，38） i ，1/ 2+-（40.5，41） i ，1/ 2+-（43，43.5） i， 1/ 2+-（48，48.5） i 。

這些復根都在 1/ 2 直線上。敏感的人很快發現，又有2 赫然在其中。黎曼為何有此直覺，這跟他做黎曼猜想的初衷分不開，其目標就是想通過研究素數分布規律來解決哥猜，故而選擇考察歐拉乘積公式。既然偶數2n皆可用共軛素數表達，那直覺上黎曼就判斷，共軛虛部解也應全部在 1/ 2 的直線上。很多數學家認為哥猜是個孤立問題，與黎曼猜想不相關。可我始終更願意相信黎曼的初心是對的，他想通過分析黎曼澤塔函數解決哥猜。

2.1.於是我們倒過來先解決哥猜問題及其推論。

根據互素型哥德巴赫猜想獲證所得到的結論（詳細證明見本文第二篇章，這裡直接運用證明結論，並精簡複述了哥猜的某一種證明過程），兩個不同奇素數之和可以得到所有大於 6 的偶數，三個不同奇素數之和可以得到所有大於13 的奇數，可見二元素數加性組合可以得到所有偶數，三元素數加性組合可以得到所有奇數，而不僅是3n數（即特徵值的函數，解析延拓變 負號的所有項，都是特徵數作用均值數列展開得到的）。前者左右同構，後者左右同態，大於3 的n元素數相加也是如此。哥猜證明的簡單敘述是這樣的，它是通過完成一個引理證明而得到的結論，這個引理是：

（1）經各項等量數乘變換，偶數通解解集確定的整係數方程有且僅有相應確定的最簡本原解解集。（求同還原定理，也叫重合定理）

f（x+y）=f（x）+f（y）=x+y；x+y=f（x）+f（y）=f（x+y）

不難證明，上式必定存在同態單滿射，因為整數外積運算滿足分配律，x， y 為互異奇素數，其他為整係數，f 為齊次二元線性素數函數。所有的二元線性空間都有確定的二元素數基底，確定的二元素數基底必屬於所有的二元線性空間。沒有二元素數基底就沒有對應的二元線性空間，也就沒有多元線性空間， 因為一旦沒有二元線性空間必沒有多元線性空間。x+y 為可表偶數，由二元素 數基底構造而成。

經各項不等量內積變換，偶數通解解集確定的整係數方程有且僅有相應確定的最簡本原解解集。（存異整合定理，也叫相鄰定理）

cf（x+y）=af（x）+bf（y）=x+y；x+y=af（x）+bf（y）=cf（x+y）

同理可證，上式必定存在同態單滿射，因為整數內積運算滿足正交性，x， y 為互異奇素數，其他為整係數，f 為齊次二元線性素數函數。所有的二元線性空間都有確定的二元素數基底，確定的二元素數基底都屬於所有的二元線性空間。沒有二元素數基底就沒有對應的二元及多元線性空間。x+y 為可表偶數，由二元素數基底構造而成。

由以上可知，可表偶數 x+y 由二元素數基底構造而成，用互素線性算子作用，它的通解不擴域不縮減，它的多元表示也不擴域，即除此之外所有偶數的素數線性表示，皆不能在可表偶數的基礎上擴域或縮域。而根據算術基本定理 可表偶數的通項表達是可囊括大於 6 的所有偶數的，也就是說可表偶數無須藉助於例外偶數就擁有偶數全集了，因為二項式素數表達的例外偶數根據定義只能是空集，當然它的通項表達也只能是空集。

（2）經各項等量數乘變換，k 倍數通解解集確定的整係數方程有且僅有相應確定的最簡本原解解集。（求同還原定理推論，也叫重合定理推論）

f（x+y+z+…）≤f（x）+f（y）+f（z）+…≤ x+y+z+…

同理證明，一定存在同態滿射，因為整數外積運算滿足分配律，不能同態單射，因為多元線性空間相對多元素數基底來說會縮域。x，y，…，為互異奇素數，其他為整係數，f 為齊次多元線性素數函數，所有對應的多元線性原像空間都有確定的多元素數基底，確定的多元素數基底未必都屬於所有對應的多元線性原像空間。

經各項不等量內積變換，偶數通解解集確定的整係數方程有且僅有相應確定的最簡本原解解集。（存異整合定理推論，也叫相鄰定理推論）

wf（x+y+z+…）=af（x）+bf（y）+cf（z）+…≤ x+y+z+…

同理可證，一定存在同態滿射，因為整數內積運算滿足正交性，不能同態單射，因為多元線性原像空間相對多元素數基底來說會縮域。x，y，…，為互異奇素數，其他為整係數，f 為齊次多元線性素數函數，所有對應的多元線性 原像空間都有確定的多元素數基底，確定的多元素數基底未必都屬於所有對應的多元線性原像空間。

2.2整數不等量分割方程各項都有素因子就可進行點積逆運算。

通過點積逆運算得到一組含素數基礎解系增廣向量的正交基，當該增廣向量含一個負偶數分量時，必線性相關，就能得到素數基礎解系方程，而素數基礎解係為最大線性無關，即 x+y=z 等價於rp+sq=2wt，其中p、q、w 三元互素，r、s、-t 為正整數，且p、q 皆 為所有奇素數，2m 為可表偶數，即其偶數可以二元分割出所有的奇素數， p+q=2m 就是 x+y=z 的最簡本原解方程。當 m 僅為奇素數 w 時，存在 p+q=2w 就是 x+y=z 為龍頭偶數時的最簡本原解方程。

AX=0的零解集均可由解向量核空間p，q，w線性表出，係數向量A=（r， s，-2t）中的字母為任意正整數係數，所有偶數2wt 可由X1 的向量組p，q 線 性表出，A1X1=rp+sq=2wt，其中方程左右三項互素，通過伯特蘭―切比雪夫定理可證得。因此一次素數二項式方程的基礎解系乘以線性算子定可得到所有偶數的通解，等價於特徵值乘以可表偶數可以得到所有偶數的通解，或者說是特徵數 2 乘以二項式的均值 n 可得到所有偶數的通解。特徵數等於特徵值乘以特徵向量維數。

（p，q，w）也叫原偶數分割方程的素數基礎解系。有了最簡本原解方程， 就可以反過來探知可表偶數的更多性質。所有的偶數都可以用一個線性算子作用素數一次二項式而得到，而根據例外偶數的定義，它不同於可表偶數，不能用素數一次二項式的最簡本原解表達，也就不存在最簡本原解。於是就得到二 元加法運算在可表偶數上封閉的引理，根據引理，對於例外偶數，2n 元加法運 算在可表偶數上都是空集，如此哥猜就成立。（詳細證明見本書首篇論文《用重合法和相鄰論可嚴密證明哥德巴赫猜想原題及相關猜想》）

同理，AX=0 的原像空間均可由解向量p，-q，w 線性表出，係數向量A=（r，s，-2t）中的字母為任意正整數係數，所有偶數 2wt 可由 X1 的向量組 p，q 線性表出，A1X1=rp-sq=2wt，其中方程左右三項互素，而2wt 是全集偶數可 通過伯特蘭―切比雪夫定理證得。關於伯特蘭―切比雪夫定理的證明有很多，這裡還可以給出一個證明比拉馬努金的思路更簡單。

假如n與 2n-2 之間一個素數都不含，n 為正整數，而兩兩每次互素的所有 奇素數相加所得的偶數都能產生三元互素的奇素數因子，但所產生的偶數不會無窮累積同所有的奇素數互素，同所有奇素數對一定可判定是否有互素關係，但在假設條件下所關聯的 2n 同所有奇素數對既不能判定互素，也不能判定非互素，因為小於n 的奇素數兩兩相加不能得到可構造2n 的奇素數因子，向大於 2n-2 的素數擴域組成素數對也不能得到 2n 能構造的奇素數因子，故無法判 定所有奇素數同2n是否互素，這與所有偶數可判定與素數對是否互素相矛盾， 因為可構造的素因子是互素的，不是該素數對構造的素數因子集與其他素數一 定存在非互素關係（算術基本定理決定）。故假設 n與 2n-2之間一個素數不含是不真的，伯特蘭―切比雪夫定理得證。互素互異關係的邏輯運算是數論中的重要工具。

於是就可證明齋藤猜想也成立，即 A1X1=A1（p-q）=2wt，因例外偶數（p-q）是空集，故（p-q）=2wt 是成立的。用齋藤猜想做引理，於是就可進一步證得，孿生素數猜想也是成立的，可用反證法證明。p、q 為全集奇素數域，p0 ＞q0 是充分大的兩個有限素數，根據齋藤猜想p-q=2m 可得相鄰奇數的通解pr-qs=2，無窮無漏的素數對p和q是相鄰奇數的素數基礎解系。假如素數對p、 q 至少有一個 q 不大於有限素數 p0 時，則不存在最簡本原解 p-q=2 的所有內積通解，即相鄰奇數 pr，qs 必沒有無窮無漏組解集，其中s也不許含大於 p0 的素因子（否則等價 q 含大於 p0，素因子滿足乘法交換律），這就必與存在無窮無漏組解滿足pr-qs=2相矛盾，其中pr＞p0、qs ＞p0。於是孿生素數必須無窮新增，否則與緊鄰奇數間隔為2 的無窮素數就無法無窮新增。它的最簡本原解方程 p-q=2 的一對素數解集域必須無限成對開放，否則大於給定 N 的素數域所產生的相鄰奇數對將無法無窮無漏，即有空缺的相鄰奇數對無法生成。（詳細證明 見本書的第二篇論文《差值等於 2n（n ≥ 1）的素數對各有無窮組》）

根據以上結論，可表偶數的二元代數加法運算與2N元代數加法運算的連並是等價的，可表奇數的三元代數加法運算與 3N 元代數加法運算是同態的，可表偶數的四元代數加法運算與4N 元代數加法運算也是同態的（阿蒂亞論文中的託德函數體現了四元數的非交換性，即體現了同態關係），繼而可知可表 奇數的N 元代數加法運算與kn元代數加法運算都是同態的。因此通過對n 的 數乘能夠得到同構等價關係的唯有2 與n 的數乘。這裡的2比較特殊，所有的 k 元加法和 k 值數乘唯有二元加法運算能夠獲得所有的 2n 數，其他 k 元加法都不能獲得所有的 kn 數，即兩類運算非同構，這就是為什麼在其他 1/k 直線上沒有0點解的原因，因為加法和數乘運算所獲得的數集無法均衡來構造0點函數。

這是宏觀論證，以下進行詳細證明。黎曼黎曼澤塔函數是長這樣的：

 ζ（ s）=1^s+1/ 2^s+1/ 3^s+1/4^s+…=0；也可表示為： ζ（ s）=1^-s+2^-s+3^-s+4^-s+…=0；還可表示成： ζ（ s）=∑（1/n^s）=∏1/（1-1/p^s）

即一維素數域多項式。我們不從級數的連續量角度思考，僅從代數的離散量角度思考，右邊不是趨於無窮大的偶數就是趨於無窮大的奇數，當s的實部 為 1/ 2 時才能獲得負全集偶實數 -2R（此時極角為 60°，虛坐標所對應的模長是實坐標的 2 倍，故虛坐標是偶實數的分割，是素數基礎解系的諧波），如此 各項有正負值，於是收斂趨於0才成為可能。所有的偶實數等式都可以簡化成素數因子等式，實數等式 R1+R2=2R 都可 簡化成兩素數之和的等式 r1+r2=2r，然後可通過內積素數向量的方式還原。根據哥猜獲證，其等式左右的多項式是同構的，即左右任意組合都有匹配的映射，故黎曼黎曼澤塔函數1+1/ 2^s+1/3^s+1/4^s+…=0時經解析延拓後有非平凡0點解。

阿蒂亞的證明思路大致是正確的，雖然沒有完成終極證明，用一個更樸素的猜想證明另一個艱難猜想依然是有價值的。他意識到了黎曼澤塔函數實部 Res 為常數，函數才具有唯一對應的常數可收斂，否則就矛盾，反之亦然， 這是他的反證法框架。只是底層依據不足，他甚至直覺到了，可用量子化分割中的「精細結構常數」來佐證黎曼澤塔函數的實部也應是常數，它們之間是如何關聯起來的沒細說。如果是用 todd 函數關聯的，todd 函數也沒有得到數學界公認；而「精細結構常數」也缺乏數學上的表達，也缺乏數學證明，更缺乏常數與黎曼澤塔函數之間的關聯邏輯推演。

用哲學、物理學等思想來啟發數學思維是完全正確的，且是非常必要的，但不能把關聯直覺類比用來代替數學定理以及數學邏輯形式。黎曼數學對物理學的影響極大，用物理學的發展反哺數學創新是應該的。相對論的底層數學是黎曼幾何，量子論的底層數學則是黎曼代數，黎曼澤塔函數中的自然數n是離散化的時間流，虛部b就是連續化的物質和能量對象，但顯示出來的連續化對象是一份一份的。我們把它稱為弱連續量，因有離散化特徵。其實只要阿蒂亞能夠證明「若黎曼澤塔函數 ζ（s）能且僅能收斂為一常量 v 則實部 Res 就必有一常數 u 與之映射」這一命題即可。也就是說： 黎曼澤塔函數從定義域 s 實部 1/ 2 到值域 ζ（s）是同態滿射的；至於黎曼澤塔函數從定義域 s 實部 1/ 2 到值域 ζ（s）也是同態單射的，則由解析延拓的性質決定，前輩數學家已證該命題為真。

黎曼通過伽馬函數推得下列等式：

從等式很容易得到s 取解析延拓部分值 -2n 時黎曼澤塔函數等於0，因為容易得到，也叫平凡解。而虛部解則不容易明顯看出，叫非平凡解，但可以發現，若定義域實部有定值，函數值域的實部也是有定值的。也就是說，函數實部與虛部構成複平面上的解集軌跡，這個軌跡線條變化是保角的，那麼虛部值的保角變換，在單位模長的情形下，90°保角的餘弦值就是函數值域的實部， cosπ / 2 等於0，唯有90°時存在屬於正負對稱保角。非90°時則無，可見黎曼澤塔函數更多情形是同態單射的。每個互異的黎曼澤塔函數實部 Res 常數都僅有一個互異的函數值ζ（s）常數與之映射。黎曼澤塔函數定義域實部取互異值，ζ（ s）即對應取互異值。

於是可推得哈代的一個證明結論，臨界線上只要存在有限個非平凡0點解， 如果有後繼新解，就有無窮個解也在臨界線上，甚至還可推得比哈代更強的一個命題，跟實部 1/ 2 關聯的所有虛部解都在臨界線上。否則實部為常量的黎曼澤塔函數就會收斂得到一個以上的虛部解集，這與實部 Res 僅有一個常量對應另一個常量ζ（s）的判定矛盾。其中「如果有後繼新解」還可證得，確有後繼新解，用夾逼定理⑦的推論可證明，後文將提到，黎曼澤塔函數的差分算子越來越大及差分算子越來越小會雙雙逼近一個相同的中心，這個中心就是後繼極值新解。這個推演過程與哈代的證明一樣辛苦，但框架已一目了然。我們還是節省點筆墨，直接用哈代的證明結論。當然到這並沒有完成黎曼猜想的全部證明，僅證明了有一條臨界線上的所有解可滿足方程要求。

2.3.黎曼澤塔函數實部生成元到函數為同態滿射

。

該命題證明相對同態單射來說則比較難，即可收斂於一常量的黎曼澤塔函數所有解都在實部為一常量的直線上。從函數保角性推得定義域實部為常數不容易，因為從分到合，確定性好保證；從合到分，確定性不好保證。也就是說，每個互異的 ζ（s）常數都僅有一個實 部 Res 常數與之映射，如果這個可確定，ζ（s）取互異值，實部Res 即對應取 互異值。若該命題為真，實部常量必須是1/ 2，就可同理證明，根據ζ（s） =ζ（ 1-s） 的對稱性，不選擇 1/ 2 就會產生不止一個常量，這與實部僅有一個常量的判定矛盾，故實部常量只能是 1/ 2。可見黎曼猜想的封頂證明就是黎曼澤塔函數同態滿射這個命題是否正確，這個命題同哥猜是緊密關聯的，用哥猜做引理，能成功證明黎曼澤塔函數同態滿射的命題是正確的，如此黎曼猜想就獲得了證明。

在多項式原函數求和與負擴域函數求和兩者相加的多項式方程中，我們把負擴域求和看成是純負擴域求和，而負數部分是多項式的均值乘以特徵數。特徵數是多項式均值數的倍數。其中A為線性算子，x為特徵向量，x0 為均值向量，λ為特徵值，tλ為特徵數，其中 t 為特徵向量的維數。當特徵向量 x 為素數二項式即二維向量時，λ特徵值為 1 時，特徵數 λt 就是 2，該公式是：

 Ax=λtx0

λt 的這一性質是由黎曼澤塔函數的解析延拓性質決定的，有三點，即唯一 性、共軛性、保角性。唯一性說的是擴域值的後繼相鄰延伸是唯一的；共軛性說的是擴域值的實部和虛部都有共軛特徵；保角性說的是擴域值的保角變換是恆定的，角度所對應的斜率就由特徵數生成，它的生成元是函數自變量的實部常數Res，根據特徵數2 可推出原函數的斜率是1/ 2，把方程左邊的斜率移到 右邊就變成斜率是 2 的均值函數，這就與哥猜引理一致了： 線性算子作用素數一次二項式與特徵數 2 作用素數多項式的均值等價。

其中解析延拓所產生的負數項的通項表達一定是均值變量的數乘，其中黎曼澤塔函數的實部值決定了保角性，是均值變量的係數。唯一同構時，負數項的通項表達就是均值變量的數乘結果 -2n。實部選擇非 1/ 2 時，正負項的絕對值必同態，因為正數項不是均值數乘產生的，而是互異素數多項式的互素線性 映射產生的，故始終不擴域不縮域，而負數項選擇非2數乘均值變量時必縮域。 同態時，作為負數項的通項表達，其均值 n 的數乘對象一定不是 -2，同態時負數項的通項表達必與 -2n 互異。因為均值 n 的數乘對象完全由實部 Res 決定， 實部 Res 選擇非 1/ 2 時，正數項的級數與負數項的級數絕對值必無法同構。而 兩個正負同態關係的通項其級數之和一定不等於 0，故臨界線外必無0點解。

2.4.Res=1/ 2 的直線上存在無窮多個 0 點解

已完成了哥猜證明，並分析了黎曼猜想與哥猜緊密關聯。本章節就來詳細展開分析，黎曼猜想是如何與哥猜關聯起來的。雖然黎曼猜想比哥猜更難，但哥猜比黎曼猜想更重要，因為越是基本，應用越是廣泛。以下我們就來考察兩者之間的關聯。 為何負偶指數才有平凡 0 點解？因為經解析延拓後唯有偶指數時轉幅存在2π值，即出現了同構特徵值，數列等式才有收斂為 0 的可能，也唯有取負偶指 數才可收斂於 0，該結論黎曼已證明。如果僅僅取正就是發散的，故進行內積 逆運算就無法產生等式同構，故無正指數解，也無奇數解。 為何實部為 1/ 2 的復變量有非平凡 0 點解？還得從偶數不等量互素分割方程說起。

根據等式 1+1=2，我們可得到一系列素數向量的內積等式。用奇素數全集向量（p、q、w）或奇數全集向量（a、b、c）內積該等式的 增廣向量，已證左右同構（即前文已完成哥德巴赫猜想的證明），故在此基礎 上構造出的級數增廣向量線性組能實現線性相關，可收斂於 0，因為左右完全 對稱同構。二元或多元分割全集對象與 2 倍均值有同構關係，二元或多元分割全集對 象與k倍均值僅有同態關係。

 1+1+1=3，1+1+1+1=4，1+1+1+1+1=5，…，1+1+1+…+1=k

用奇素數全集向量（p1，p2，p3，…，pk，qk）或奇數全集向量（a1，a2， a3，…，ak，bk）內積該等式的增廣向量，右邊的 3n 不能囊括左邊的三元加法之和，比如有些奇數就不是三倍數，故左右非同構，已證僅同態關係，級數的增廣向量就無法線性相關，下同，左邊都是密集偶數或密集奇數，右邊則是疏 松的k倍數，故在此基礎上構造出的級數增廣向量線性組就不能實現線性相關，不能收斂於 0，因為左右不對稱。我們可等價變換得到素數一階多項式本原解方程，其中素數一階奇項式本原解方程其中一項可不要求互素。

f（x1）+f（x2）=2f（x）；f（x1）+f（x2）+f（x3）=3f（x）；f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）=4f（x）；…f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）+…+f（xn）=nf（x）

其中 f（x）是多項式均值數，前面的係數是特徵數，通過特徵值的函數計 算得到。只有第一式是左右同構的（哥猜獲證的結論），其他都是左右同態的，且左到右是同態單射的。因為f（x1）+f（x2）=f（x1+x2）=2f（x）是可線性變換的。

左邊函數解集相對持續密集，右邊函數解集隨著特徵值變大越來越疏鬆。 第一式方程左右兩邊同時減去 2f（x），於是得到： f（x1）+f（x2） -2f（x）=0 （而這正是黎曼澤塔函數解析延拓的特徵）

原級數計算這樣重排是違規的，但解析延拓後，這樣計算是按規則進行是允許的。從以上交錯級數的計算中不難發現，有負號的都是偶數項，當然奇數項也可以，偶數項把公約數2抽出，就可以得到自然數n數列。其他還有3 倍數項，4倍數項……n倍數項變號的，都可以把公約數抽出還原得到自然數數列，從而得到各種收斂極值。自然數的冪級數為何會產生正負項呢？這是由指數中的虛部決定的，虛部決定黎曼澤塔函數軌跡的轉幅大小，實部決定函數軌跡的模長，虛部值的轉幅在2π中進行延伸時，正與負就會周期出現。而模長確定了原級數變號的周期值發生在哪裡，故實部對應的是原數列通項的特徵數或特徵值的函數。

而此時的方程左邊新添加的負數項，正是原方程左邊的解析延拓項，解析延拓後變負數的項正是偶數項發生的。因為級數運算是密集全集元素相加或相乘，而同態關係左右為單向蘊含，僅子集部分連和，當餘子集的元素連和不等於 0 時，左右相減就不等於0，就無法通過一個「發散和」減去另一個「發散 和」來得到一個有限值 0。唯有同構關係，才有機會獲得對稱數而左右相減收斂於0，即二元或多元相加與偶實數增廣項存在同構等值，才有0點解。當然 同態關係的特殊組合也有可能左右相減收斂於 0，若且唯若子集和餘子集都分別收斂於0 時，但這不符合黎曼澤塔函數的通項表達。而解析延拓後的新算法則定義了線性算子作用下的素數多項式可減去一個特徵值作用下的素數多項式「發散和」。

由於這兩者之間的同構性稀有，若且唯若素數一次二項式時才存在同構關係，其他情形皆為同態關係。兩邊是同態關係的連和再相減，絕不會等於0。這是臨界線僅通過 1/ 2 處的原因。級數的增廣項 kn 選擇不同的係數 k 可決定是否級數收斂，其中k≠2時，黎曼澤塔函數就無法收斂。因為偶實數分割方程是左右同構的（哥德巴赫猜想獲證的推廣），而其他k 倍實數分割方程是左右同態的（素數基礎解析方程的推廣）。取偶實數時，級數的指數復變量實部 Res 對應的是 1/ 2，取其他 k倍實數時，級數的指數復變量實部Res 對應的是非 1/ 2，故左右相減無法收斂於0，也就沒有非平凡0點解，因實部無任何值對應可滿足方程。

 ζ（ s）=1^-s+2^-s+3^-s+…+n^-s 將（n^–s+…）項簡化為增廣項，得到某極值的兩倍即 2n，其他無窮項滿足偶數多項式分割，趨於無窮時偶數等於2n，或奇數等於2n+1，是多項式相加，無論多少元相加，最後都趨於極值 2n；但如果增廣係數項等於k時，增廣係數項則不會等於 2n 數，於是 ζ（s）就無法等於 0。因為增廣項非2係數的等式都是同態數，而非同構數，故增廣項的值與無窮項連和的值就不可能因為同構而可以相減為 0。在 k元加法運算中，k 值的倒數就是Res，此為實部1/ 2 的幾何意義。實部的 1/ 2 既有所佔的權重意義，又有分割的項數意義，權重複原與分割復原有兩類關係，完全重合為同構，不完全重合為同態。等式右邊為權重複原，等式左邊為分割復原。實部作為權重，它的倒數是總量的係數，作為分割，它的倒數是總量的項數。

因此所有的非平凡0點解就都落在了Res=1/ 2 的直線上，這就意味著2n的總集可兩項分割。負偶數s解表達是平凡0點解，與其等價的複數s解表達，就是非平凡0點解。它的幾何意義是什麼呢？就是偶數（對稱數集）的兩項互 素分割（不對稱數集）與偶數（對稱數集）是同構的，即用素數向量無限內積 1+1=2 的等式後仍是等式同構的，正因為有此條件，移項後的數列通解之和才有 0 點解，就算不是數列的通解之和，只要是多項式無限集族的通解是左右同 構的，它們的和就一定會是同構的，故也會有0點解。

而其他的三元分割四元分割乃至k元分割與kn 數就無法同構，而是左右同態的，即用素數向量無限內積1+1+1+…+1=k 的等式後不是等式同構的，而是同態的，在此條件下，移項後的數列通解之和不會等於0，故沒有0點解，其多項式無限集族的通解也不是左右同構的，而是同態的，它們的和就一定不會是同構的，故不會有0點解。因為解析延拓而產生的負數項都來自對稱分割的項，即用特徵值的關聯數去數乘所得到的項，而用線性算子內積所得到的項，都是互素分割的項，因而更加密集。

也就是說，若且唯若k=2 時，k 值數乘與k元分割是解集同構的，而其他都是同態的。極角等於60°時，k=2時的幾何意義是，模值是實部數軸值的2倍，此時分割模值的諧波虛部數軸值是左右同構的，其他極角的模值與實部數軸值之比都不是2 倍，且都不是左右同構的，而是同態的。左右解集同構時，各自解集的連和才能最後相減得 0；左右解集同態時，各自解集的連和最後相減則無法得 0，故方程無 0點解。有人會問，正負解集不同構，但正負解集的兩類連和可能會同構，這是可能的。但也只有在解集既不同構也不同態的情形時，存在正負兩類解集分別連和可能有同構關係，但兩個正負解集的絕對值是同態關係時，兩類連和是不可能同構的。

2.5. ζ（s）=ζ（ 1-s）=0決定了黎曼澤塔函數正負解集只有同構關係實部才有唯一常量

在 Im（s）=bi 中，b 是被強條件界定的，即 ζ（s）=ζ（ 1-s），首先它是以 Res=1/ 2和Ims=0 對稱的，另外b值的兩兩相加可以獲得所有偶數，也就是說非平凡0點解的任意連線可以得到所有偶數值，含能囊括所有素數因子的所有可表偶數。 雖然臨界帶上非平凡 0 點 s 解皆以 Res=1/ 2 或 k（0 ＜ k ＜ 1）直線對稱，但不存在兩個等值的虛部解。如果該命題成立，黎曼猜想就成立。

現假設有兩個虛部等值但實部不等的s 解，那麼一定有實部不等於 1/ 2。那意味著0點解ζ函數方程的等式兩邊的每一項可相應添加素數因子，等式仍相等。由於虛部值是確定的，因此每一次的素數因子添加即實部增減非0數值，只會帶來等式一邊的單調遞增或單調遞減，等式不可能仍然相等。這與假設存在兩個等值的 虛部解矛盾，與 ζ（s）=ζ（ 1-s），實部關於y=1/ 2 共軛對稱，虛部關於x=0 共軛對稱相矛盾，故臨界帶上不存在兩條以y軸平行線為對稱的兩虛部共軛的非平凡0點解，而實部不相等的非平凡0點解更是無法實現，因為那樣不可能同時滿足虛部值的對稱性以及素數因子的諧波分布。

因此所有非平凡0點解只能落在實部為一個常數固定值的直線上，且常數直線範圍僅在0 ＜ Res ＜ 1的臨界帶上。剛已證明如果實部可允許更多常數，就會不存在可表偶數與全集偶數同構的選項，就會與哥猜獲證發生矛盾。哥猜獲證的結論是，用2數乘以兩素數的均值 m與全體偶數是同構的，而用非2數乘m與全體偶數是同態的，若選擇後者也同構，就是選擇哥猜不成立，於是矛盾。因此實部只能選擇為一個固定常數，如果還需要實部關於y=1/ 2共軛對稱，那該常數也只有取 1/ 2，1-1/ 2 還是 1/ 2，當然滿足實部關於y=1/ 2共軛對稱。 哈代證明了在Res=1/ 2 的臨界線上存在無窮個非平凡0 點解。臨界線上的對稱性是實部自身與實部自身的對稱，故不存在兩個實部不同虛部等值或對稱0點解。

那是否存在別的臨界線呢？臨界帶上的非平凡0點解並不都以 Res=1/ 2 的直線對稱，如，是否存在 Res=1/ 3 或 Res=1/ 8 的臨界線，但這些都不是臨界帶上的中值。現假設存在 Res=k（非 1/ 2 的常數）是有非平凡 0 點解的臨界線，那麼所有虛部解一定沒有交集。又因為 Res=1/ 2 時的虛部解囊括了所有的素數因子，因此虛部兩點連線可以獲得所有偶數。其可推導的引理是，由於a、b 都囊括了所有的奇素數因子，故a+b 可以獲得所有的偶數，這是前文的一個推論。在自然數數對平面中，虛部的偶數對應實部的 1/ 2，才能與一 維線條中的自然數拓撲等價，因此與實部對應的關聯虛部數域，會因實部不同而不同。實部非 1/ 2 時，所對應的關聯虛部數域就不是全體偶數。而黎曼函數方程顯示，虛部解集的連線是一定可以得到所有偶數的，而實部不是 1/ 2，所對應的關聯虛部數域就不是全體偶數，故不能滿足收斂為0的條件要求。

唯有最大的對稱數集2m才能完成等量分割滿足解析延拓後收斂為0。其他數值 km（k≠2）要麼不是對稱數集，要麼不是最大的對稱數集，故無法完成解析延拓後對等收斂，可見係數2對構造最大對稱數集具有唯一性，因此實部常數對構造最大對稱數集也具有唯一性，為了滿足 ζ（s）=ζ（ 1-s）的實部關於 y=1/ 2 共軛對稱，實部只能選擇為 1/ 2。 因為實部常數首先必須存在，否則就沒有非平凡0點解；其次實部常數必須唯一，否則會與哥猜獲證發生矛盾，實部為 1/ 2 時代表素數或素數的倍數二元相加所得到的偶數與解析延拓用來抵消的「發散和」全集偶數同構，非二元相加時所獲得的子集偶數「發散和」只能與全集偶數「發散和」同態，因為實部常數是「發散和」的權重值，權重值發生變化，「發散和」就發生變化，而一變化就不能同構，就會讓哥猜命題消失，就不能收斂於0，故實部只能為一恆定的常數。

實部既然唯一，就不能有共軛差非0的對稱，故根據ζ（s） =ζ（ 1-s）， 實部只能選擇落在臨界帶上的 Res=1/ 2 的共軛中值線上，於是黎曼猜想獲證。本章節的核心思想是，找到黎曼猜想與哥猜的關聯，根據哈代的結論，黎曼澤塔函數的兩類正負「發散和」是存在同構的，說明 Res=1/ 2 作為特徵值的函數的生成元同以2為生成元的特徵值的函數等效，在分析線性算子作用多項式與特徵值的函數作用多項式的均值存在同構關係，是以 1/ 2為生成元得到特徵值的函數 f（1/ 2）的，生成元 1/ 2 一改變，同構關係就變為同態關係。這句話改變下表達就是：線性算子與特徵值的函數倒數 1/ 2 相繼作用多項式則與多項式的均值存在同構關係，其中f（x）=A， f（n）為多項式通項原函數， f （n^-s）為多項式均值原函數。 實部 Res=1/ 2 是虛部線性算子中的新添因子，實部常數的倒數，才是多項式均值的係數，經通項求導，或者求差商算子，用洛必達法則就可以顯示出來，正因為有此1/ 2因子，與多項式的均值才有同構關係。

同理，以1/ 2作為生成元，存在特徵值的函數 f（1/ 2）才使兩類「發散和」有同構關係，有非平凡 0 點解。簡單地說，就是做線性算子的係數時是 1/ 2，做特徵值的函數的係數時是 1/ 2 的倒數，特徵值的函數乘以多項式的均值等於特徵值乘以多項式，特徵值的函數記為特徵數t。素數一次多項式等於特徵數乘以多項式的均值，是通項的最簡本原解方程，只要線性算子的各元數域是自然數全集，特徵數等於2，那麼作用素數一次多項式後就一定與多項式的均值乘以特徵數同構（這個結論 是哥猜的推論）。

由於虛部b數屬於含所有代數數的實數，n屬於所有自然數，故黎曼澤塔函數中的多項式線性算子是滿域的，故兩類「發散和」同構，正因為如此函數的保角值是π / 2。一旦特徵數取非實部常數1/ 2的倒數時，兩類「發散和」立馬變為同態關係，函數的保角值就不一樣了。哥猜證明了，唯有特徵數為 2 時，兩類「發散和」才有同構關係，而特徵數2是由實部為 1/ 2 的生成元唯一決定的。取非 1/ 2 時，特徵數不再是 2，則兩類「發散和」不再有同構關係，而立馬變為同態關係，因此級數和必不等於 0。生成元與函數的實部映射互異就得到了證明，故 0 點非平凡實部解只能存在唯一常數。

既然如此，黎曼通過解析延拓發現黎曼澤塔函數延伸定義域軌跡具有唯一性、共軛性、保角性，而我們可以證明所映射的值域軌跡同樣具有唯一性、共軛性、保角性，只有實部 Res取 1/ 2 時才能同時滿足以上要求。

哥猜獲證引理下的保角性映射決定了，黎曼澤塔函數解析延拓後的級數之和，在某一特定條件下會收斂於0；伽馬函數下的共軛性映射決定了，實部有解就有兩個或更多對解；素數多項式均值函數同構同態下的唯一性映射決定了，生成元和函數實部必有互異映射，函數實部唯一，生成元實部必唯一，特徵數互異則函數互異。如此實部只能是常數，並須自身與自身共軛，還得是特徵數為2的生成元，此時的正負發散和才有同構關係，才會收斂於 0，舍此皆同態，不收斂於0。故可判定 Res=1/ 2 的臨界線外必無非平凡 0 點解，因均值和特徵數發生了變化，數乘與點乘不再有同構關係，如此黎曼猜想獲證。

有必要說說為何黎曼澤塔函數的級數發散和反映了特徵數和本徵值的樣貌。本來發散級數是不好求和的，但數學家為了考察級數的某些特定性質，就規定了一些新算法，讓發散級數之和收斂了。這些算法有共同的特點，就是找到各種形式的均值數的匹配係數，從而來確定解析延拓項添加的級數和，然後同原有級數和相加，再求各種統計均值的特徵數。切薩羅和是求算術平均數乘以個數，阿貝爾和是二階切薩羅和，拉馬努金和及黎曼澤塔函數求和要更複雜些，但一定是新擴數域體現了函數的本徵值，物理學用它來考察量子性態。

這是本文提供的第二種證明黎曼猜想的方法，即使用哥猜獲證結論。第一種證明，使用的是「濃縮實部常數」，它可確定復變量的本質是單變量，由此來證明同構時的本原解實部僅有唯一常數解，從而根據伽馬函數只能取中值得出Res=1/2。如果不用獲證的哥猜做引理如何證明黎曼猜想呢？以下3.0.是第三種證明。可以用線性代數中的「常量斜率和變量導數」決定是否「線性相關和線性無關」的思想完成黎曼猜想的證明。

以上都是用線性算子和特徵數就把黎曼猜想和哥德巴赫猜想關聯起來進行思考的，即用抽象代數中的「同構關係和同態關係」決定是否「有平凡0點解和無平凡 0 點解」的思想證明了黎曼猜想。

3.0. 黎曼澤塔方程的二項式展開出現變量導數

用復指數變換證明臨界線外沒有非平凡 0 點解。根據復指數變換，存在以下等式關係：

當 Res=1/ 2 時，ζ（s）=0 有無窮個非平凡 0 點解，哈代等已證。

從以上黎曼黎曼澤塔函數變換式不難發現，實部和虛部的收斂性質相似，解析延拓後，正弦餘弦運算產生了負數，某類數項數列出現負數值，可正負交錯條件收斂於0，虛部取0、實部取負偶數時，級數收斂於0的，這是平凡0點解。根據已知證明，實部取 1 ＞ Res ＞ 0 的偶實數時，即臨界帶上存在有正負號的解析延拓交錯級數，具備條件收斂，這是非平凡 0 點。我們來看黎曼澤塔函數的實部和虛部的通項表達，而不是定義域實部 Res 的通項表達：

對以上兩式進行求導，係數 1/ 2 就會顯示出來，這就說明了，線性算子作用素數多項式，再經作用後，就會與多項式的均值同構等價。實部常數的倒數乘以均值可還原得到多項式。

其實還可以通過差分算子（相當於離散量中的導數）來證明黎曼澤塔 函數非平凡0點解只對應實部為常數。實部求導，就是實部的差商算子Δfr（n）了，可得到重要係數 -1/ 2，由此可得到特徵值的函數 2，即導數的函數 2。切薩羅和、阿貝爾和、拉馬努金和都是解析延拓和，這些都不是普通級數求和，普通級數求和不能違背黎曼級數重排定理，條件收斂不可使用交換律和結合律，但解析延拓求和允許條件收斂的重排，可一次重排求均值，具唯一性，開放了對其中任意類無限數列使用結合律，仍不能使用交換律，並引入了均值或高階均值計算。

從這些定義規則中，不難理解，解析延拓求和就是線性算子作用下的自然數級數與負數項特徵數作用下的自然數級數（含均值）兩者之間的求和以及迭代n次的高階求和。 我們來看自然數的求和，高斯的辦法是，先求出自然數的均值（1+n） / 2， 再乘以自然數均值的個數n，就可得到和值，均值的個數n就是特徵值的函數，負數項特徵值作用下的自然數級數（含均值），就可以理解成特徵值的函數作用下的級數均值。素數一次二項式或多項式的線性算子是（a， b）或（ a， b，…）， a 和 b…都屬於n，特徵值的函數是k，k 也屬於n，均值是（1+n）/ 2。線性算子作用下的自然數級數減去特徵值的函數作用下的均值，特徵值的函數作用下的均值在二項式時不就是 2 作用 n 嗎？在三項式時不就是3作用 n 嗎？在多項式時不就是 k作用 n 嗎？素數一次二項式、素數一次三項式、素數一次多項式 在線性算子的作用下，其和值在較大值時一定是 2n 或 2n+1，可見兩邊的數列通項只有在素數一次二項式時是左右同構（相互蘊含），兩邊相減可等於 0， 其他情形左右同態（單向蘊含），兩邊相減則不等於 0。

整數域有這樣的性質，有理數也同樣有這樣的性質，因為整係數多項式可合理生成有理數以及代數數，因此線性算子在代數數數域裡，且特徵值的函數為 2 時，黎曼澤塔函數存在收斂於 0，特徵值的函數非 2 時則不存在收斂於 0。凡給定的通項表達，所有的代數數係數多項式都可以等價變換得到整係數多項式，當簡化到線性算子作用素數一次二項式時，負項數列的特徵值函數是唯一的，改變它，等式左右互素的關係就會改變。

實部常數的倒數是分子為1時的分母數，當該分母數取大於1/ 2的分母2時，二項式級數展開後的每個自然數含 i 的各項，係數會發生加速遞減變化，本來實部指數趨於0的多項式，此時便不能趨於0，多項式的絕對值會隨著實部常數的遞減而遠離原來的絕對值0差值，使差值絕對值增大。實部常數的倒數是分子為 1 時的分母數，當該分母數取小於1/ 2 的分母2 時，二項式級數展開後的每個自然數含 i 的各項，係數會發生加速遞增變化，相當於係數通項式的導數發生變化，本來實部指數趨於0的多項式，此時便不能趨於0，多項式的絕對值會隨著實部常數的遞增而遠離原來的絕對值0差值，使差值絕對值增大。關於這個性態，通過線性代數以及數學分析可以獲得證明。 函數A>B，函數B>C，函數A 的極限是X，函數C 的極限也是X，那麼函數 B 的極限就一定是 X，這個就是夾逼定理。

以下是夾逼定理的推論：b的鄰域遞增改變量Δb的絕對值單調遞增，其函數值越遠離A且單調遞增； b的鄰域遞減改變量Δb的絕對值單調遞減，其函數值越逼近A且單調遞減。 那麼根據夾逼定理，b 的函數極值等於A。並判定b+Δb 與 b-Δb 之間有 函數極值。因為 b+Δb 的極限是 A，b-Δb 的極限也是 A，而 b 在兩數之間，故 b 的極限定是A。此定理與夾逼定理不同點在於，它是通過單調遞增和單調遞 減來獲得最小改變量區間的。它不能精準算出極限值，但可以不斷獲得最小區間有極值存在。比如四三不靠，三心二意，都是用區間判定極值的語言： 通過夾逼定理的推論算法，我們可以逼近算出黎曼澤塔函數緊鄰的新的非 平凡0點解，可以通過劃定區間用有限步算出單調性，從而判定是否蘊含新解。

模長定向變化，轉幅定向變化，以保持實部不變，0 點條件下延伸時會靠近一個新的虛部值，再繼續延伸時，就會越來越遠離該新的虛部值，可見在此區間存在一個新的虛部極值。可以用數學歸納法證明，這樣的算法是可持續的。這 也只能證明虛部可緊鄰延伸無限個解在臨界線上，還不能證明 0 點非平凡解都在1/ 2的臨界線上。用哥猜證明黎猜須藉助的引理是，不同構的兩個同態通項它們的級數和一定不同構。但不同構不同態的通項它們的級數和是有可能同構的。

3.1.通項導數（差分算子）的生成元若且唯若Res=1/ 2 時存在線性相關

黎曼猜想的奧秘是，澤塔方程的多項式連和只有一個係數選項可以同構表達 2n，有同構關係才可構造解析延拓後的非平凡0點解，否則同態關係時多項式只能構造不等式。

這個線性代數的思想就是：在原函數求和與負擴域函數求和兩者相加的多 項式方程中，若實部Res所在位置是多項式方程係數向量平直的一維直線斜率，所對應的級數向量線性組合是線性相關的，那麼斜率加改變量的級數向量線性 組合就是線性無關的；若改變量 Res 所在位置是多項式係數向量彎曲的高維流 形導數，所對應的級數向量線性組合是線性相關的，那麼導數加改變量的級數 向量線性組合就是線性無關的。

因為斜率是導數或高階導數的生成元，在亞純函數中，互異斜率會對應互異導數，互異斜率會對應互異函數，自然互異導數會對應互異函數。這個性質可由洛必達法則推導得到。如果不能得到常數，還可以迭代多次，進行多階求導。

黎曼澤塔函數虛部 Ims 的所有解都是與離散點有一一映射關係的極值點， 故稱是弱解析的連續量。原函數與負擴域函數的極值之比等於A，即：f（x）-Ag（x）=0，-1/Af（x）+g（x）=0，g（x）為擴域函數。A 就是黎曼澤塔函數復指數函數的實部為 1 時的均值函數的特徵數，其中 擴域函數就是均值函數。特徵數生成元改變為 A+ΔA，則f（x）就發生改變，f（x）-Ag（x）也隨之發生改變，也就是說會等於非 0。這個結論可由選擇公理來印證，新算法會帶來新的數集，滿足超限數學歸納法，而強連續量本文不予探討。含正弦值因子項的都是虛部，顯然當每項有兩處因子的指數發生變化時，可等價於級數係數因子的導數發生變化；或者說，級數係數因子的曲率相關量發生變化，這個變化量因子係數，我們管它叫導函數向量，該導函數向量跟級數向量的線性組合除有一個切點斜率滿足線性相關外，其他都是線性無關的。

根據通項導函數未變化前，級數的每一項都是剩餘項向量的線性組合，可知原係數向量跟級數向量的線性組合是線性相關的。這個可由哈代證明過的黎曼澤塔函數存在無窮個非平凡 0 點解而得到證實。同構關係的多項式，各項經數乘和內積運算變換後，多項式的解集仍然還可以是同構關係，因每一次都是純量數乘，但同構關係的多項式，各項經用導數性質的對象叉乘和點乘變換後，多項式的解集立馬都變成同態關係了。原級數的線性相關就會變成線性無關了。數乘是各項均衡變換，故可延續同構關係，內積是各項不均衡變換，但可做到互補均衡，故也可延續互補關係，但導數的內積和數乘就沒有這樣的性質，它不是各項的均衡變換，也不是各項互補但左右總量均衡的變換，它是隨著各項變量而加速變換的量，由於導數的馬太效應，使大值更大、小值相對更小的性質，同構關係的均衡不再繼續。

3.2. 線性相關的通項導數（差分算子）若微調一下立馬變線性無關

既然原級數係數向量是線性相關的，又已知該級數線性組合不是通過極限獲得0值的，只能是正負值抵消得0，即解析延拓後新產生的正負交錯級數從而有了條件收斂。因此可判定，正值項級數和與相反的負值項級數和相加後會 得 0。因為一階素數二項式時存在偶數同構關係，這是哥猜引理。不通過這個引理，用導數互異就導致函數互異，函數互異就導致導數互異來證明，線性相關的通項導數（差分算子）若微調一下立馬變線性無關。

我們來看黎曼澤塔函數的差分算子。不難發現高階素數多項式的差分算子， 其重要生成元是素數的項數，即特徵數，也就是導數差商 A 就是斜率。當項數超過2 時，差分算子就不是原斜率了，而是加上了改變量的斜率或者是加上了 改變量的相應導數，正負項不再是原等值變化的單調遞增，而是一邊越來越大。那兩邊就是同態關係了，故求和相減後不能收斂於 0。只有差分算子等價於一階素數二項式時，黎曼澤塔函數才是正負同構等價的。

f（x）的 n 階向前差分公式為：

當係數向量的通項式導數因子發生變化後，級數較小項與級數較大項的和值就會隨之發生變化。因為級數係數多項式的導數單調性變化會隨著級數值的導數增大而加倍增大，於是級數正負項的和值絕對值增大。由於導函數在各正 項值和各負項值上的縮放能力因項值不同而不同，故除 1/ 2 外的級數各項指數 無論怎麼變化，級數的和值都不能得 0，因此級數各項指數 1/ 2 外的導數所構 造的係數向量必跟級數向量的線性組是線性無關的。

通過差分算子的通項再算差分算子，不斷迭代進行，就會得到差分算子常 數，這個算法也可以用洛必達法則進行多階求導運算，得到常數 A，或其中一 個重要公因數。對黎曼澤塔函數求導，會得到重要斜率常數 1/ 2，可見實部常 數 Res=1/ 2 是黎曼澤塔函數中導數的生成元，改變 1/ 2 就是改變黎曼澤塔函數 中導數的生成元，Res 互異，黎曼澤塔函數的導數即互異。導數互異，求和所 得到函數就互異。原 1/ 2 對應函數 0 點，非 1/ 2 就對應函數非 0 點。 在多項式原函數求和與負擴域函數求和兩者相加的多項式方程中，我們把 負擴域求和看成是純負擴域求和，是特徵數為 1 的均值數函數求和。而原函數 的斜率是 1/ 2，把方程左邊的斜率移到右邊就變成斜率是 2 的均值函數，這就與哥猜引理一致了：線性算子作用素數一次二項式與特徵數作用多項式均值等價。

若不用這個等價關係證明，可用洛必達法則得到證明。洛必達法則與算術基本定理有等效作用。給定數的素因子是確定的，等比增減仍是一樣。黎曼澤塔函數的充分性證明。根據洛必達法則，若斜率互異，則導數有一一映射互異；而導數互異，則原函數必有一一映射互異；原函數互異，原函數解析延拓後的連和級數必有對應。解析延拓後求和值即原函數減去均值函數 的差值必對應，也就是黎曼澤塔函數值必對應。現已知斜率為 1/ 2 時，原函數減去均值函數的差值為 0，並有無窮組虛部解，哈代已證。即臨界線上存在非 平凡 0 點解，但並未證明所有非平凡 0 點解都在臨界線上，還不能判定，斜率 為非 1/ 2 時，解析延拓後求和值一定不能為 0。 黎曼澤塔函數的必要性證明（重點）。根據洛必達法則，若黎曼澤塔函數值互異，則原函數必有一一映射互異或多重映射互異（非同構非同態則不能排除有多重互異，但非同構而同態，則必有一一映射互異）；原函數互異，導數必有一一映射互異（雖然可積不一定可導，但因只有自然數根，故一定是可導的；）

導數互異，斜率必有一一映射互異（因只有自然數根，故一定是可導的）。於是不含 1/ 2 常數的導函數向量，跟級數線性向量的線性組必線性無關， 此時的黎曼黎曼澤塔函數就沒有非平凡 0 點解。也就是說，當 Res ＞ 1/ 2，Res ＜ 1/ 2 時，黎曼澤塔函數都沒有非平凡 0 點解。這個結論獲證，說明所有的解 都在臨界線上，於是黎曼猜想就得證。 黎曼猜想證明了一件事：pj+pi=2n 的哥猜等式未證時左右一定同態、可能 同構；但如果∑（pj+pi）=∑ 2n，且 ∑（pj+pi）≠∑kn（k ≠2），此時等式左右互異 組合連和後仍數值相等，則 pj+pi=2n 等式左右一定同構，把作用素數多項式的 線性算子帶上也是如此。而黎曼猜想中的解析延拓後出現的負數項正是均值函數的擴域部分，即特徵數乘以均值函數除以項數所得到的數集。解析延拓求和，其本質與廣義切薩羅求和是一致的，都是一次確定重排後求極限均值。

λtx0 是 通項函數，當項數趨於 n 時，均值通項函數是 λt，正項均值就是 2λ，正負項均 值等於2 與特徵數之差再乘以特徵值，即（2-t） λ。當特徵數取非2 時，黎曼 澤塔函數不再有0 值，即 pj+pi=kn（k ≠2）一定不是左右同構等式。有同態關 系的通項其特徵數若且唯若為 2 時它們的連和才有等值關係，那麼它們的通項 就定有同構關係。洛必達法則完成互異映射的證明，與哥猜做引理完成同構同態的證明有等效性。因此哥德巴赫猜想就會因黎曼猜想獲證而成立。用黎猜證明哥猜須藉助的引理是，同態的兩個通項若級數和相等則一定通項同構。

這一線性規律與哥猜引理很相似。只不過哥猜引理更明確，線性相關的特徵數是 2，而這一線性規律是建立在假設的基礎上的，若函數的生成元 k 有線性相關，則函數的生成元k+Δk 就線性無關。現在已知哈代證明了有無數個解在臨界線上，故生成元Res=1/ 2 存在線性相關，即有0 點非平凡解，那 1/ 2+Δk就線性無關，無 0 點非平凡解。如此可證明，所有解都在臨界線上了。 於是也就可以反過來證明，線性相關的特徵數是 2，這就可推理出，例外偶數是空集，線性變換不擴域，據此就可以證明，哥猜也成立了。可見哥猜、孿生素數猜想與黎曼猜想三者是可以相互證明的等價命題。

4.0. 黎曼猜想獲證的邏輯導圖

黎曼猜想獲證的關鍵是，必須理解解析延拓究竟在哪些具體數值上改變了原運算。我們知道在解析延拓的前提下，存在：

1+2+4+8+16+…+（被擴域的負數）=-1 根據等比數列的公式，1+x+x2+x3+…=1/（1-x），把 x=2代入，就可以得到 -1 值。這就是解析延拓的內核，可以看到 1/（1-x）在除了1以外的點都有定義，而 1+x+x2+x3+…只有在 x 的絕對值小於1 時有定義，而且在有定義時的無窮多 個點上都相等。既然1+x+x2+x3+…的定義域沒有1/（1-x）範圍大，於是就添加了一種新運算規則來唯一映射，黎曼管它叫解析延拓。以此來考察發散函數的內在不同性態，就如同為了判斷無色無味的水有什麼性質，於是就添加試劑來檢測一樣。無須困惑本來發散的怎麼就變得不發散了，因為有新內容參與運算。

其他級數的解析延拓求和，皆可看成是該算法的線性算子內積下的結果。黎曼澤塔函數就是解析延拓下自然數的各種冪級數求和，等價於解析延拓下2 的冪級數求和，再映射一個奇數向量，然後再加上一個奇數級數求和，而奇數向量都有一個含特徵數因子的特徵值匹配均值與之對應，而跟特徵數關聯就是黎曼澤塔函數的實部解，當 Res=1/2 時，它能得到均值的2倍，實部的倒數就是均值的倍數，就是特徵數，而偶數項的奇數級數求和所得到的正數部分始終是均值的2倍（此為哥猜獲證結論），解析延拓部分的負數則是隨特徵數不同而不同的（此為哥猜獲證推論）。即：

（1+3+5+…）+（1+x+x2+x3+…）A=（1+2+3+…）+1/（1-x）A 偶數部分經解析延拓，得： （1+3+5+…） + （1+x+x2+x3+…）A=（1+2+3+…） +1（1-x）A ≥ 0（取x為 2）

 A 中的特徵數為 2 時函數等於 0，此時線性算子 A 的特徵值等於 2n，奇數級數求和亦為 2n，特徵數不為 2 時函數不等於 0，此時線性算子 A 的特徵值等於 kn，k ≠ 2。即實部非1/ 2 時，函數沒有0 點解。A 為奇數線性算子。方程左邊前項的奇數級數求和，與左邊後項的偶數級數求和是項數對等的。奇數求和添加冪級數亦如此，前項不變，後項變。

4.1.總結下黎曼猜想的證明： 

1. 哈代已經證明黎曼猜想有無窮組解落在 1/ 2 的臨界線上（解集的無窮性已獲證明，解集的無漏性尚待證明）。

2.黎曼猜想的所有解集必須落在Res=某一常數的直線上，且在0＜Res＜1 臨界帶上。介紹須用新數學工具鄰函數。

3. 除二元運算與匹配的數乘2m 同構外，k 元加法運算僅與所有匹配的數乘 km 同態而不能同構，從而宏觀上證明了復變量 Res=1/k（k≠ 2）時都無法構造出0點解。多元分割全集對象的2倍有同構關係，多元分割全集對象的k倍僅有同態關係，這是黎曼猜想成立的關鍵內核。當年黎曼提出該猜想就是為了試圖求證哥猜而變換出的一個表達式。由此可證明，黎曼澤塔函數所有值域解集若是一個常數，則黎曼澤塔函數映射的所有定義域實部解集也必是一個常數。

4. 黎曼澤塔函數的值域若解集為唯一常數，則對應函數的實部解集為唯一常數。故臨界線外的解集都不是0點解，黎曼澤塔函數0點上的所有解集就只能在臨界線上。黎曼澤塔函數值是常數，實部值即常數，黎曼澤塔函數值取互異常數，實部值亦必取互異常數。實部常數與黎曼澤塔函數收斂值是雙射關係。以此結論找到哥猜與黎曼猜想之間的關聯，可推理出黎曼猜想獲證。這是第一種證明。

5. 用二項式定理展開公式變換表達黎曼黎曼澤塔函數中的指數復變量。函數展開顯示了 Res常數在係數向量中的相關位置，它是級數通項中的導數生成元，是切線斜率。若斜率改變，則導數改變；若導數改變，則函數改變。函數係數向量各分量改變斜率因子，則可以讓線性相關的線性組合不再繼續線性相關，但係數向量各分量改變導數因子同樣不可以讓線性相關的線性組合繼續線性相關，而是全部變成了線性無關。這是第三種證明。

6. 我們來看黎曼澤塔函數的差分算子。不難發現高階素數多項式的差分算子，其重要生成元是素數的項數，當項數超過2 時，差分算子就不是可同構的斜率函數了，由斜率生成元構造的導數也是如此，正負項不再是等值的單調遞增，而是一邊越來越大。那兩邊就是同態關係了，故求和相減後不能收斂於0。最後通過洛必達法則和解析延拓性質推導該命題為真。這是第二種證明。

7. 只有特徵數的倒數與滿域的差分算子相繼作用一階素數二項式等價於素數二項式的均值時，黎曼澤塔函數才是正負同構等價的。而滿域的差分算子可從二項式展開中顯示出。函數兩頭互異的性質，證明了黎曼澤塔函數實部互異，則函數互異，其中的橋梁是斜率互異則導數互異，導數互異則原函數互異，原函數互異，黎曼澤塔函數有對應值。由此證明了實部取 1/ 2 時，函數值必會等於0。實部取其它值與1相減後都沒有等量解，即不會唯一。這是黎曼猜想能夠獲證的本質。

8. 反過來，黎曼澤塔函數互異，則原函數互異，繼而導數互異。黎曼澤塔函數復指數變量的實部一旦取非1/ 2值時，即無0點解，從而證明了黎曼澤塔函數的所有解都落在了Res=1/ 2 的直線上。於是黎曼猜想用第一種方法也就獲得了證明，是基於「濃縮實部常數」性質來完成證明的。然後用了兩種封頂證明的思路。第二種用哥猜做引理證明黎曼猜想，第三種用定義域和值域之間互異光滑的單調連續關係證明了黎曼猜想，可反過來證明哥猜。

也就是說，若且唯若Res=1/ 2 時 ζ（ s）=1+1/ 2^s+1/ 3^s+…才有同構的ki 增廣級數係數項或連和後的增廣級數係數項，唯有係數 ki 或若干項之和的原函數係數ki 等於2 時，才存在級數解析延拓後等式的左右正負同構，而等於 2k 時 則左右同態。有了同構關係，級數的增廣線性組才具備線性相關。考察復指數 變換後的級數方程通過解析延拓可知，Res=1/ 2 在表達式中的各項位置（非獨 立於自變量而受控於自變量）顯示，如果 Res 作為改變量不是常量斜率而是變 量導數，除非是一維斜率尚可以延續同構關係。但如果其實質是擔當了多維導數，稍加改變則會立馬破壞級數方程的左右解集同構關係，而轉為同態。 因為整數不等量分割方程，其最簡本原解是 p+q=2m，右邊反映特徵數和多項式均值的函數，可對應全集偶數，然後再分割互素表達，等式左右通解皆淪為同態關係，即左右可表達的解集不再一樣多了。如方程 p+q+r=3m 左右不是同構的，方程 p+q+r+s=4m 左右不是同構的，左邊無論多少項分割都不是左右同構的，只要右邊的係數非 2，任意二元或多元分割都不是左右同構的，而同態關係的增廣項連和與其他級數各項連和是不可能有線性相關的，黎曼澤塔級數方程也就沒有非平凡 0 點解。於是黎曼猜想獲證。

一句話，多項式與單項式之間的同構關係稀有，這是黎曼猜想難以攻克的奧秘。而一旦存在同構關係，則多項式的各種線性變換會依然同構。這是超級黎曼澤塔函數的導數生成元若且唯若為 1/ 2 常量時存在線性相關廣義黎曼猜想也依然成立的原因。

根據代數基本定理，n次代數方程有n個根。這是可產生解析延拓的條件。廣義黎曼猜想所採用的變通後的黎曼ζ函數叫作狄利克萊 L函數（ Dirichlet L-function），它是一個級數的解析延拓，那個級數叫作狄利克萊 L級數（ Dirichlet L-series），通常記為 L（s，xk），其定義是（k、n 為正整數）：

狄利克萊 L 函數的各項係數 xk（n）就是多項式的互素線性算子，我們已經 證明過，任意充分的整數域的線性算子都不會帶來素數多項式的擴域和縮域。

可見廣義黎曼猜想也是成立的。

廣義黎曼猜想：狄利克萊 L 函數的所有非平凡零點都位於複平面上 Res=1/ 2 的直線上。不僅如此，超級廣義黎曼猜想也是成立的，即自守L函數的黎曼猜想也是成立的。因為都不外乎是充分整數域的線性算子作用素數多項式。如果線性算子有新數域參與，那麼右邊的特徵值會有相應的數域參與，從而左右可約掉。現在我們終於搞清楚了希爾伯特第八問題之謎，哥猜、孿生素數猜想與黎曼猜想三個問題全是等價的。其中哥猜最為簡潔深刻，最有積極意義。（文/羅莫）

 

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注釋： 

①亞純函數。亞純函數是在區域 D 上有定義，且除去極點之外處處解析的 函數。從代數的觀點來看，如果 D 是一個連通集，則亞純函數的集合是全純函 數的整域的分式域。這和有理數 Q 和整數 Z 的關係類似。

②洛必達法則。洛必達法則是在一定條件下通過分子分母分別求導再求極 限來確定未定式值的方法。眾所周知，兩個無窮小之比或兩個無窮大之比的極 限可能存在，也可能不存在。因此，求這類極限時往往需要適當的變形，轉化 成可利用極限運算法則或重要極限的形式進行計算。洛必達法則便是應用於這 類極限計算的通用方法。

③特徵值。特徵值是線性代數中的一個重要概念。在數學、物理學、化學、 計算機等領域有著廣泛的應用。設A 是 n 階方陣，如果存在數m 和非零n 維 列向量x，使得Ax=mx 成立，則稱m 是 A 的一個特徵值（characteristicvalue) 或 本徵值（eigenvalue)。非零 n 維列向量x 稱為矩陣A 的屬於（對應於）特徵值 m 的特徵向量或本徵向量，簡稱A的特徵向量或 A 的本徵向量。

④差分算子。差分算子是一種算子，對任一實函數 f(x)，若記 Δf(x)=f(x+1)-f(x)，則稱Δ為向前差分算子，簡稱差分算子。差分是計算數學的基本概念之一， 指離散函數在離散節點上的改變量。

⑤極坐標。在平面內取一個定點O，叫極點；引一條射線Ox，叫作極軸， 再選定一個長度單位和角度的正方向（通常取逆時針方向）。對於平面內任何一點M，用ρ表示線段OM 的長度，θ表示從Ox 到 OM 的角度，ρ叫作點M 的極徑，θ叫作點M 的極角，有序數對（ρ，θ）就叫點M 的極坐標，這樣建 立的坐標系叫作極坐標系。本文的極坐標有所改進，從極中心出發的螺線的根 數為極徑長的讀數，螺線的相鄰區分格點為螺線長的讀數，其中極徑長的讀數可以為有限值也可以為無限值，轉換為笛卡爾坐標系時的y軸讀數是原極徑長讀數的倒數。

 ⑥精細結構常數。精細結構常數，是物理學中一個重要的無量綱數，常用希臘字母α表示。精細結構常數表示電子在第一玻爾軌道上的運動速度和真空中光速的比值，計算公式為α=e2/（4ε0cђ）（其中 e是電子的電荷，ε0 是真空介電常數，ђ是約化普朗克常數，c是真空中的光速）。精細結構常數是一個數字，量綱為1（或說是無單位），1/ α≈137（更近似為137.03599976）。

⑦夾逼定理。函數A>B，函數 B>C，函數 A的極限是X，函數 C的極限也是X，那麼函數B 的極限就一定是X，這個就是夾逼定理。