西安交通大學郗平副教授論文由國際頂尖數學期刊《Inventiones...

2020-12-06 中國教育在線

西安交通大學郗平副教授論文由國際頂尖數學期刊《Inventiones mathematicae》在線發表

　　近日，西安交通大學郗平副教授的論文「When Kloosterman sums meet Hecke eigenvalues」已在線發表於國際頂尖數學期刊《Inventiones mathematicae》。

　　在長達67頁的論文中，郗平研究了美國科學院院士、普林斯頓大學Nicholas Katz教授提出的Kloosterman和模結構問題(下稱Katz問題)，即模為素數p的Kloosterman和是否對應於某個Hecke-Maass尖形式的第p個Hecke本徵值?若是，則可由素數模的Kloosterman和作為局部因子構造一種Euler乘積，其本質為Hecke-Maass尖形式的L函數，這將為解決著名的Kloosterman和Sato-Tate猜想提供強有力的分析工具。

　　長期以來，對Katz問題的研究始終處於探索階段。直至2000年，英國布裡斯託大學Andrew Booker教授指出，若Kloosterman和與Hecke本徵值一致，則對應的尖形式的相關參數必須足夠的大，這為否定回答Katz問題提供了數值上的支持。最近，郗平在Katz問題上取得了實質性突破，即證明了對任意給定的Hecke-Maass尖形式，均存在無窮多個殆素數(即素因子個數不超過給定大小的正整數)，使得對應的Kloosterman和與Hecke本徵值並非一致。在證明過程中，他利用代數幾何中的l-adic上同調給出了Kloosterman和與Hecke本徵值的某種非關聯性的定量刻畫，同時還提出了一類新的Selberg加權篩法，得以更加有效地捕獲殆素數。在方法上，不僅深化了巴黎十一大Étienne Fouvry教授與瑞士洛桑聯邦理工學院Philippe Michel教授等人的工作，也給出了一種廣義的Barban-Davenport-Halberstam型均值定理並發展了漸近形式的二維Selberg篩法，相關思想亦可應用於其它諸多數論問題中。審稿人指出，「在該問題上，本文首次成功避開了Maass尖形式的Ramanujan猜想」，並認為「文中成功處理的情形是令人吃驚的」。

　　郗平於2004年進入西安交通大學理科試驗班學習，自2008年加入數論團隊，2014年在易媛教授與Philippe Michel教授聯合指導下獲得博士學位。主要研究領域為數論，涉及代數跡函數的解析理論、素數分布、篩法及自守形式等方面的研究。

　　論文信息：

　　Ping Xi, When Kloosterman sums meet Hecke eigenvalues, Invent. math., https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-019-00924-y

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