複數,通往真理的最短路徑

現代數學家對複數的看法如斯，無限拔高了複數的地位，這樣說有道理嗎？

我想，對於複數，或許大家一般會有以下的認知吧。

1.1 應付考試

高中的時候，會粗略地學習下複數，首先定義：

然後形如：

這樣的數就是複數。有了複數之後，開方運算就不再局限於大於0的數了，這樣高中必考的一元二次方程：

就總是有解了：

書上還會給出一些複數的運算法則，這樣高考命題組就可以出題了。最後留給同學們的印象，似乎複數就是一個類似於太陽能電筒（不帶蓄電池）一樣，屬於智力過剩的產物，是數學家的玩具。

1.2 數系完善

增加負數，可以使得減法任意進行。而有了  之後，開根號運算就可以隨意了，比如：

對數運算也可以操作負數了，比如（下面用到歐拉公式，可以參考這裡）：

這樣，基本上就只有：

除以0

這兩個運算沒有辦法執行了。不過大家思考過沒有，完善數系真的那麼重要呢？如果非常重要的話，為什麼不能發明一個數系能夠使得「除以0 」可以進行下去？

你別說，史上有非常多的數學家想去發明能夠兼容「除以0」的數系，可惜都失敗了，因為沒有辦法自洽。比如說，某個數系兼容「除以0 」，那麼很容易得到荒謬的結論：

你說這種擴展數系的方法不對，換種別的擴展方式或許就能自洽。但是數學家試過各種擴展方式，都沒有辦法自洽。

深想一步，嘗試了無數種方法都沒有發明出兼容「除以0 」的數系，是否意味著不存在這樣的數系。就好比，嘗試了無數種永動機，下面是其中之一：

這些永動機最後都被證偽，實際上「永動機」這個目標就是錯誤的（1775年法國科學院通過決議，宣布永不接受永動機。現在美國專利及商標局嚴禁將專利證書授予永動機類申請。據說現在有什麼時間晶體，不了解就不發言）。

再深想一步，為什麼擴展  就那麼容易呢？沒有遇到自洽的問題呢？這是因為當人們抽象出「1+1=2」的時候，複數就根植於邏輯之上、存在於數學之中，靜靜地等待著人們的發現。

假設有一個生活在二維空間中的紙片人：

突然發現有一個黑點在草地上忽大忽小的閃爍，紙片人完全不知道怎麼去解釋：

如果切換到三維視角去的話，問題就很簡單了，原來是一個三維的球體穿過二維平面：

實數是一維的數，既生活在一維的實數軸上，又困囿其上：

而複數生活在二維複平面，擁有更大的自由度：

類比剛才的動畫，你就會明白為什麼複數域更加重要，也不可或缺，因為它帶給我們更廣闊的視野。在複數域中解決一些問題會更加簡單、更接近本質。

讓我們帶著這個模型重新審視下複數的發現歷史，進一步去理解複數。

3.1 紙片人卡爾達諾

義大利數學家，吉羅拉莫·卡爾達諾（1501－1576），在它的著作《大術》中（這本書首次記載了一元三次方程的完整解法）提到這個一個問題，能否把10分成兩部分，使它們的乘積為40？

他給出一個答案，令：

這樣就滿足題目的要求：

不過他自己也認為這不過就是一個數學遊戲，雖然出現了虛數，但是「既不可捉摸又沒有什麼用處」。

此時的卡爾達諾就好像之前的紙片人，雖然想到了虛數，觸摸到了更高的維度，但是終究還是把它看成一種幻想。

之後的笛卡爾把  稱為虛數，也就是虛幻的、想像出來的數；萊布尼茲描述它為「介乎於存在與不存在之間的兩棲數」。

確實，紙片人要跳出自己的維度去想問題是非常困難的。

3.2 邦貝利的思維飛躍

拉斐爾·邦貝利（1526－1572），文藝復興時期歐洲著名的工程師，同時也是一個卓越的數學家，其出版於1572年的《代數學》一書討論了負數的平方根（虛數）：

正是這本書產生了一個思維飛躍，下面用現代語言來介紹一下。

3.2.1 一元二次方程

首先，標準的一元二次方程：

它的解為：

從幾何上看，解就是  與  的交點。當  時，  與  有兩個交點，也就是有兩個根  、  ：

而  ，此時  與  不相交：

也就是說，不引入虛數（因為  ，如果根據公式求解的話，就會引入虛數），是不會產生任何問題的。本來從幾何上看，此時方程就不應該有解。

3.2.2 一元三次方程

形如：

的三次方程，卡爾丹諾在《大術》這本書中給出了通解：

如果  ，  ，可以得到方程：

從圖像上看，  與  有三個交點的：

套用通解會得到：

邦貝利指出：從幾何上看是有解的，但是必須通過虛數來求解！

邦貝利大膽地定義了複數的乘法（就是多項式乘法的合理延伸）：

最終通過複數以及複數乘法，邦貝利解出了此方程的三個實數解（這裡不過多解釋了，這不是本文的重點）。

這是一個巨大的思維飛躍，就好像剛才的紙片小人，困惑於「為什麼有一個黑點在草地上忽大忽小的閃爍」？最終發現，需要通過更高維度才能真正解決這個問題。

邦貝利通過更高維度的複平面，解決了低維度的實數問題，真正的把複數帶入了人們的視野。所以他被認為是複數的發現者。

3.3 傅立葉變換

複數進入紙片人的視野，大家花了很長的時間才真正接受它。接受它之後發現了非常多的應用，比如傅立葉變換。

還是回到之前紙片人的動畫，對於紙片人，它只有上下左右的觀念：

而三維空間的人卻可以看到更多的方向、更多的內容：

傅立葉變換也可以說是同樣的思路，  是低維度的函數：

對  進行傅立葉變換：

拋開其它細節不談，最重要的是  ，乘以一個複數，就把  拉到更高維度的空間去審視，從而可以得到更多的細節，比如頻域。

關於傅立葉變換，我們也寫過很多的文章，感興趣可以去看看：

如何直觀地理解傅立葉變換？

如何理解傅立葉級數公式？

從傅立葉級數到傅立葉變換

自然會有這麼一個問題，是否有更高維度的數？答案是有的，比如四元數。

威廉·哈密頓爵士（1805－1865）發現了四元數：

其中 、 、  就是對虛數維度的擴展。為此還成立了四元數推廣委員會，提議學校像實數一樣教授四元數。

四元數剛開始的時候引起了很大的爭議，計算很複雜，但是用處不明顯。用處不明顯的原因或許是，當時面臨的問題還不夠複雜，還用不到比複數還高的維度。

到了現代，終於在電腦動畫中、量子物理中找到了四元數更多的應用，只是這些應用對普通人距離太遠了。

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