均值不等式問題屬於極值問題當中的一種，在考試過程中會時有出現，這一類問題規律性較強，如果可以熟練掌握，在考試當中將起到事半功倍的作用。今天中公教育和大家一起來學習均值不等式在數量關係當中的運用。
一、認識均值不等式
二、均值不等式的應用
(一)和一定，兩數相等時，積最大。
(二)積一定，兩數相等時，和最小。
三、題目練習
【例題1】直角三角形兩條直角邊的和等於10釐米，則三角形的面積最大是多少平方釐米?
A.10 B.12.5 C.20 D.25
【例題2】某市有一個長方形的廣場，面積為1600平方米。那麼，這個廣場的周長至少有?
A.160米 B.200米 C.240米 D.320米
【答案】A。中公解析：這道題目中，要求廣場的周長至少為多少，也就是要求最小值，屬於極值問題。已知的條件為長方形廣場的面積為1600平方米，若設長方形的長為a，寬為b，則已知a×b=1600，要求的長方形的周長，即2×(a+b)的最小值，也就是a+b的最小值，利用均值不等式的應用，當積一定時，兩數相等時，和取最小值，即當a=b時，且滿足a×b=1600，此時a=b=40，a+b取最小值是80，那麼周長的最小值為2×80=160，選擇A選項。
【例題3】一段長為36米的籬笆圍成一個一邊靠牆的矩形菜園，問這個矩形的長為多少米時，菜園的面積最大?
A.12 B.14 C.16 D.18
【答案】D。中公解析：這道題目中，要求矩形菜園長為多少時，面積最大，已知條件為此矩形菜園是由36米長的籬笆靠牆圍成的，假設矩形菜園的長為a，寬為b，靠牆的一邊為長，可得a+2b=36，而要求的菜園的面積可表示為a×b，即求a×b的最大值，通過已知a+2b的和為定值，可以得出當a=2b時，a×2b可取最大值，那麼此時a×b也可取最大值，解得a=2b=18時，菜園的面積最大。選擇D選項。
例3區別於上述兩個例題在於，相等的量不是a=b，而是a=2b，這也是均值不等式運用需要注意的地方，定義中的a和b只是一個表示的符號，在做題過程中，a或b代表的可能是某個整體的值，我們可以把它們簡單把a、b理解為兩部分，當加號或者乘號左右兩部分相等時，可以取得最值。類似於這種題目還有很多，在備考過程中，解決此類題目的關鍵就在於對a和b的理解。希望大家可以多多練習此類題目，更好的掌握題目的呈現形式，從而考場中才能遊刃有餘，考出理想的成績。
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