數學珍寶梅森素數:迄今人類僅發現47個

已知最大的梅森素數

法國數學家馬林_梅森

 

伊利諾伊大學數學系蓋的郵戳

10月13日消息，眾所周知，素數也叫質數，是只能被1和自身整除的數，如2、3、5、7、11等等。2300年前，古希臘數學家歐幾裡得就已證明素數有無窮多個，並提出一些素數可寫成「2^p-1」的形式，這裡的指數p也是一個素數。這種特殊形式的素數具有獨特的性質和無窮的魅力，千百年來一直吸引著眾多的數學家(包括數學大師費馬、笛卡爾、哥德巴赫、歐拉、高斯、哈代等)和無數的業餘數學愛好者對它進行探究。而17世紀法國數學家、法蘭西科學院奠基人馬林•梅森是其中成果較為卓著的一位，因此後人將「2^p-1」型的素數稱為「梅森素數」。

迄今為止，人類僅發現47個梅森素數。由於這種素數珍奇而迷人，它被人們稱為「數學珍寶」。梅森素數歷來是數論研究的一項重要內容，也是當今科學探索的熱點和難點之一。

貌似簡單 探究極難

梅森素數貌似簡單，但探究難度卻極大。它不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且還需要進行艱巨的計算。

1772年，有「數學英雄」美名的瑞士數學大師歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了2³¹-1(即2147483647)是第8個梅森素數。這個具有10位的素數，堪稱當時世界上已知的最大素數。歐拉的頑強毅力與解題技巧令人讚嘆不已；法國大數學家拉普拉斯說的話，或許可以代表我們的心聲：「讀讀歐拉，他是我們每一個人的老師。」

在「手算筆錄」的年代，人們歷盡艱辛，僅找到12個梅森素數。而計算機的產生加速了梅森素數探究進程。1952年，美國數學家拉婓爾•魯濱遜等人使用SWAC型計算機在短短的幾個月內，就找到了5個梅森素數：2⁵²¹-1、2⁶⁰⁷-1、2¹²⁷⁹-1、2²²⁰³-1和2²²⁸¹-1。

探究梅森素數不僅極富挑戰性，而且對探究者來說有一種巨大的自豪感。1963年6月2日晚上8點，當第23個梅森素數2¹¹²¹³-1通過大型計算機被找到時，美國廣播公司(ABC)中斷了正常的節目播放，在第一時間發布了這一重要消息。而發現這個素數的美國伊利諾伊大學數學系全體師生感到無比驕傲，為了讓全世界都分享這一重大成果，以至把所有從系裡發出的信封都蓋上了「2¹¹²¹³-1是個素數」的郵戳。

隨著指數p值的增大，每一個梅森素數的產生都艱辛無比；而數學家和業餘數學愛好者仍樂此不疲，激烈競爭。例如，在1979年2月23日，當美國克雷研究公司的計算機專家大衛•史洛溫斯基和哈裡•納爾遜宣布他們找到第26個梅森素數2²³²⁰⁹-1時，有人告訴他們：在兩星期前美國加州的高中生蘭登•諾爾就已經給出了同樣結果。為此他們潛心發奮，又花了一個半月的時間，使用Cray-1型計算機找到了新的梅森素數2⁴⁴⁴⁹⁷-1。這件事成了當時不少主流報紙的頭版新聞。後來史洛溫斯基還獨自發現了6個梅森素數，因而被人們譽為「素數大王」。

人們在尋找梅森素數的同時，對它的重要性質——分布規律的研究也一直在進行著。從已發現的梅森素數來看，它在正整數中的分布時疏時密、極不規則，因此研究梅森素數的分布規律似乎比尋找新的梅森素數更為困難。英、法、德、美等國的數學家都曾經分別給出過有關梅森素數分布的猜測，但他們的猜測都以近似表達式給出，而與實際情況的接近程度均難如人意。

中國數學家和語言學家周海中是這方面研究的領先者——他運用聯繫觀察法和不完全歸納法，於1992年2月首次給出了梅森素數分布的精確表達式；後來其猜測被國際上命名為「周氏猜測」。著名的《科學》雜誌有一篇文章指出：這項成果是素數研究的一項重大突破。美籍挪威數論大師、菲爾茨獎和沃爾夫獎得主阿特勒•塞爾伯格認為：周氏猜測具有創新性，開創了富於啟發性的新方法；其創新性還表現在揭示新的規律上。

愛因斯坦曾說：「提出一個問題往往比解決一個問題更為重要，因為解決一個問題也許只是一個數學上或實驗上的技巧問題。而提出新的問題、新的可能性，從新的角度看舊問題，卻需要創造性的想像力，而且標誌著科學的真正進步。」周氏猜測的提出已有近20年，目前人們需要做的是破解這一難題。

網格給力 金錢獎賞

網格(Grid)這一嶄新技術的出現使梅森素數的探究如虎添翼。1996年初，美國數學家和程序設計師喬治•沃特曼編制了一個梅森素數計算程序，並把它放在網頁上供數學家和業餘數學愛好者免費使用，這就是著名的「網際網路梅森素數大搜索」(GIMPS)項目。該項目採取網格計算的方式，利用大量普通計算機的閒置處理能力來獲得相當於超級計算機的運算能力。1997年美國數學家和程序設計師斯科特•庫爾沃斯基建立了「素數網」(PrimeNet)，使分配搜索區間和向GIMPS發送報告自動化。現在只要人們去GIMPS的主頁下載那個免費程序，就可以立即參加GIMPS項目去尋找梅森素數了。

為了激勵人們尋找梅森素數和促進網格技術的發展，設在美國的電子新領域基金會(EFF)曾經向全世界宣布了為通過GIMPS項目來探尋梅森素數而設立的獎金。它規定向第一個找到超過1000萬位數的個人或機構頒發10萬美元。後面的獎金依次為：超過1億位數，15萬美元；超過10億位數，25萬美元。當然，絕大多數研究者參與該項目並不是為了金錢，而是出於樂趣、榮譽感和探索精神。

2008年8月23日，美國加州大學洛杉磯分校的計算機專家埃德森•史密斯發現了迄今已知的最大梅森素數2^43112609-1，該數也是目前已知的最大素數。這個素數有12978189位；如果用普通字號將它連續寫下來，長度可超過50公裡！這一重大成就被著名的《時代》雜誌評為「2008年度50項最佳發明」之一。前不久，史密斯獲得了EFF 頒布的10萬美元大獎。不過，史密斯是私自利用學校的75臺計算機參加GIMPS項目的；本來這種行為應該被處罰，但鑑於他為學校爭了光，因而還受到了校方的表彰。

而另一位仁兄就沒有這樣的運氣。美國一家電話公司的僱員麥克•福雷斯特偷偷地使用公司內的2585臺計算機參加GIMPS項目；隨後公司發現計算機經常會出些差錯，本來只需要5秒鐘就可以接通的電話號碼，需要5分鐘才能接通。聯邦調查局最終查到了原因，福雷斯特承認「被GIMPS項目引誘」；他最後被解僱，並被罰款一萬美元。這只能說是公事與私事沒有分開，實在令人嘆息。

15年來，人們通過GIMPS項目找到了13個梅森素數，其發現者來自美國、英國、法國、德國、加拿大和挪威。目前，世界上有180多個國家和地區超過23萬人參加了這一國際合作項目，並動用了45萬多臺計算機聯網來尋找新的梅森素數。目前該項目的計算能力已超過當今世界上任何一臺最先進的超級矢量計算機的計算能力，運算速度達到每秒700萬億次。著名的《自然》雜誌說：GIMPS項目不僅會進一步激發人們對梅森素數尋找的熱情，而且會引起人們對網格技術應用研究的高度重視。

理論意義 實用價值

梅森素數在當代具有重大的理論意義和豐富的實用價值。它是發現已知最大素數的最有效途徑；其探究推動了「數學皇后」——數論的研究，促進了計算技術、密碼技術、程序設計技術的發展以及快速傅立葉變換的應用。

梅森素數的最新意義是：它促進了網格技術的發展；而網格技術是一項應用非常廣闊、前景十分誘人的高新技術。另外，梅森素數還可用來測試計算機硬體運算是否正確。

由於梅森素數的探究需要多種學科和技術的支持，所以許多科學家認為：梅森素數的研究成果，在一定程度上反映了一個國家的科技水平。英國頂尖科學家馬科斯•索託伊甚至認為：梅森素數探究可以挑戰人類科技與智慧極限，其成果是一個國家科技創新能力的重要標誌之一。

最後，有必要指出的是：梅森素數是否有無窮多個？這是目前尚未解決的著名數學謎題；而揭開這一未解之謎，正是科學追求的目標。讓我們以數學大師希爾伯特的名言來結束本文：「我們必須知道，我們必將知道。」(盛來)

來源：新浪科技  編輯：段若蘭