梅森素數，數學寶山上的鑽石

「梅森素數」(Mersenne prime)是指形如2^P-1的素數，如2^2-1=3、2^3-1=7、2^5-1=31等。早在2300年前，古希臘數學家歐幾裡得用反證法證明素數有無窮多個；他認為，其中一些素數可寫成2^P-1的形式。由於2^P-1型素數具有獨特的性質和無窮的魅力，千百年來一直吸引著眾多的數學家和無數的業餘數學愛好者對它進行探究。17 世紀法國數學家馬林·梅森是他們中最傑出的探究者。

由於梅森學識淵博、才華橫溢、為人熱情以及最早系統而深入地研究2^P-1型素數，為了紀念他，數學界將這種特殊形式的素數命名為「梅森素數」。迄今為止，人類僅發現51個梅森素數；這種素數珍奇而迷人，因而被人們譽為「數學寶山上的鑽石」。梅森素數歷來是數論研究的一項重要內容，也是當今科學探索的熱點和難點之一。

2^P-1貌似簡單，但探究難度卻很大；當指數P值較大時，不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且還需要進行艱巨的計算。1772年，有「數學英雄」美名的瑞士數學大師萊昂哈德·歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了2^31-1(即2147483647)是第8個梅森素數。這個具有10位的素數，堪稱當時世界上已知的最大素數。

在「手算筆錄」的年代，人們歷盡艱辛，僅找到12個梅森素數。而計算機的產生加速了梅森素數探究進程。1952年，美國數學家拉婓爾·魯濱遜等人使用SWAC型計算機在短短的幾個月內，就找到了5個梅森素數：2^521-1、2^607-1、2^1279-1、2^2203-1和2^2281-1。

網格(Grid)這一嶄新技術的出現使梅森素數的探究如虎添翼。1996年初，美國數學家、程序設計師喬治·沃特曼編制了一個梅森素數計算程序，並把它放在網頁上供數學家和業餘數學愛好者免費使用；這就是舉世聞名的「網際網路梅森素數大搜索」(GIMPS)項目，也是世界上第一個基於網際網路的網格計算項目。網格計算就是通過利用大量異構計算機(通常為桌面計算機)的未用資源，為解決大規模的計算問題提供一個新的模型。

為了激勵人們尋找梅森素數和促進網格計算發展，總部設在美國的電子前沿基金會(EFF)於1999年設立了專項獎金懸賞梅森素數的發現者。它規定向第一個通過GIMPS項目找到超過100萬位數的個人或機構頒發5萬美元；後面的獎金依次為：超過1000萬位數，10萬美元；超過1億位數，15萬美元；超過10億位數，25萬美元。不過，絕大多數人參與GIMPS項目並不是為了金錢，而是出於好奇心、榮譽感和探索精神。

現在只要人們去GIMPS的主頁下載一個名為「Prime95」免費程序，就可以立即參加GIMPS項目來搜尋梅森素數了。目前，世界上有190多個國家和地區近23萬在線網民參與GIMPS項目，並動用了超過215萬核中央處理器(CPU)聯網來尋找梅森素數。另外，全球最大的網格計算平臺——BOINC的參與者也可加入GIMPS項目。可見，梅森素數的探究非常火爆；這在數學史上前所未有，在科學史上也極為罕見。

前不久，來自美國佛羅裡達州的網際網路專家、數學愛好者派屈克·拉羅什利用GIMPS項目，成功發現第51個梅森素數——2^82589933-1；該數有24862048位，它是當今人類發現的最大素數。如果用普通字號將這個梅森素數列印下來，其長度將超過100公裡！

特別值得一提的是，在梅森素數的素性判斷方面，法國數學家愛德華·魯卡斯和美國數學家德裡克·雷默都做出了重要貢獻；以他們命名的「魯卡斯-雷默方法」是目前已知的檢測梅森素數素性的最佳方法。在梅森素數分布研究方面，中國數學家、語言學家周海中給出了梅森素數分布的精確表達式；這一研究成果被國際上命名為「周氏猜測」。

梅森素數在當代具有重大的理論意義和豐富的實用價值。它的探究推動了「數學皇后」——數論的研究，促進了計算技術、密碼技術、程序設計技術的發展以及快速傅立葉變換的應用。順帶一提，近百年來，人們發現的「最大素數」幾乎都是梅森素數。

此外，梅森素數常用來測試計算機硬體運算是否正確。例如前不久，德國一名GIMPS項目參與者發現：當Intel Skylake處理器在執行Prime95應用來搜索梅森素數時，運算到指數P=14942209就出現了觸發系統死機的Bug。有關專家認為：這個Bug輕則導致程序凍結，重則引發系統崩潰。美國英特爾公司已承認存在該Bug，並做了修復。

由於梅森素數的探究需要多種學科和技術的支持，所以許多科學家認為：梅森素數的研究成果，在一定程度上反映了一個國家的科技水平。英國數學協會主席、《素數的音樂》一書作者馬科斯·索託伊甚至認為：梅森素數探究可以挑戰人類科技與智慧極限，其成果是一個國家科技創新能力的重要標誌之一。完全可以相信，魅力無窮的梅森素數將吸引更多的探究者，今後的探究成果將會越來越多。