梅森素數為什麼這麼重要?

2021-01-18 算法與數學之美

「它反映了一個國家的科技水平，是人類智力發展在數學上的一種標誌，更是整個科技發展的裡程碑之一。梅森素數究竟是個怎樣的數，為何如此重要呢？」

眾所周知，素數也叫質數，是只能被自己和1整除的數。2300多年前，古希臘數學家歐幾裡得在《幾何原本》一書中證明了素數有無窮多個，如2、3、5、7、11等等。在素數的探究中，人們發現少量的素數可表示為2^P-1（即2的P次方減1，其中指數P為素數）的形式，如2^2一1=3、2^3-1=7、2^5-1=31、2^7-1=127等。由於這種特殊形式的素數具有獨特的性質和無窮的魅力，它吸引了包括數學大師歐幾裡得、笛卡爾、費馬、萊布尼茲、哥德巴赫、歐拉、高斯和圖靈等在內的眾多數學家和無數的業餘數學愛好者。

17世紀的法國數學家馬林·梅森在歐幾裡得、笛卡爾、費馬等數學大師的有關研究基礎上對2^P-1型素數作了大量的計算、驗證。由於梅森學識淵博、才華橫溢，是法蘭西科學院的奠基人和當時歐洲科學界的中心人物。為了紀念他，數學界就把2^P-1型素數稱為「梅森素數」。2300多年來，人類僅發現50個梅森素數。這種素數稀奇而迷人，故被人們稱為「數學領域的璀璨瑰寶」。

梅森素數貌似簡單，但當指數P值較大時，它的探究不僅需要高深的理論和純熟的技巧，還需要進行艱苦的計算。例如，1772年，素有「數學英雄」之稱的瑞士數學大師歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了2^31-1是第8個梅森素數；這個具有10位的素數（即2147483647），堪稱當時世界上已知的最大素數。他的的頑強毅力和解題技巧都令人讚嘆不已；難怪法國大數學家拉普拉斯經常對他的學生說：「讀讀歐拉，他是我們每一個人的老師。」在「手算筆錄年代」，人們歷盡艱辛，一共只找到12個梅森素數。

即使是在「計算機時代」，每一個梅森素數的產生都艱辛無比，並且存在著十分激烈的競爭。例如，在1979年2月23日，當美國克雷研究公司的計算機專家戴維·史洛溫斯基和哈利·納爾遜宣布他們找到第26個梅森素數2^23209-1時，有人告訴他們：在兩星期前美國加州的高中生蘭登·諾爾就已經給出了同樣結果。為此他們發憤忘食，又花了一個半月的時間，找到了第27個梅森素數2^44497-1。

梅森數的素性檢驗難度是非常大的。法國數學家愛德華·盧卡斯和美國數學家德裡克·萊默在這方面做出了重要貢獻；以他們的姓氏命名的「盧卡斯-s萊默檢驗法」是迄今為止判斷梅森數素性最快最有效的工具。另外，探究梅森素數的重要性質——分布規律似乎比尋找新的梅森素數更為困難。中國數學家和語言學家周海中在這方面取得了重大突破；以他的姓氏命名的「周氏猜測」敘述了梅森素數的分布狀況，並給出了精確表達式。

網格計算的出現使梅森素數的尋找工作如虎添翼。1996年美國數學家和計算機專家喬治·沃特曼編寫了一個尋找梅森素數的計算程序，並把它放在網上供數學家和業餘數學愛好者免費使用；這一計算程序就是舉世聞名的「網際網路梅森素數大搜索」（GIMPS）項目，也是全世界第一個網格計算項目。現在人們只要從該項目下載開放原始碼的Prime95或MPrime軟體，就可以馬上搜尋新的梅森素數了。

美國洛杉磯加州大學的計算機專家埃德森·史密斯通過參與GIMPS項目，於2008年8月找到一個超過1000萬位的梅森素數——2^43112609-1。這一重大成就被著名的《時代》雜誌評為「2008年度50項最佳發明」之一。史密斯獲得了電子前沿基金會（EFF）頒布的10萬美元大獎，並受到了學校的表彰。2017年12月26日，美國田納西州傑曼鎮的業餘數學愛好者喬納森·佩克通過參與GIMPS項目發現了第50個梅森素數2^77232917-1。這一巨大素數共有23249425位。假設我們每一秒鐘寫一個數字的話，要連續寫近200個晝夜才能寫完！


梅森素數在當代具有十分豐富的理論意義和實用價值。它是發現已知最大素數的最有效途徑，它的探究可以推動數論的研究，還可以促進密碼技術、網格計算技術、程序設計技術的發展以及快速傅立葉變換和快速橢圓加密系統的應用。另外，在梅森素數的探究過程中，人們可以發現計算機晶片存在的問題。

有專家認為，梅森素數的研究成果，在一定程度上反映了一個國家的科技水平。英國數學協會主席、《素數的音樂》一書作者馬科斯·索託伊甚至認為，梅森素數的研究進展不但是人類智力發展在數學上的一種標誌，也是整個科技發展的裡程碑之一。

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