梅森素數探究的一些奇聞趣事

美國中央密蘇裡大學數學家庫珀領導的研究小組通過參加一個名為「網際網路梅森素數大搜索」(GIMPS)項目，日前發現了第48個梅森素數——2^57885161-1；該素數也是目前已知的最大素數，有17425170位；如果用普通字號將它連續列印下來，它的長度可超過65公裡！

素數也叫質數，是只能被自己和1整除的數，如2、3、5、7、11等等。2300年前，古希臘數學家歐幾裡得在《幾何原本》一書中證明了素數有無窮多個，並提出少量素數可寫成「2^P-1」（其中指數P也是一個素數）的形式。由於2^P-1型素數具有許多獨特的性質和無窮的魅力，千百年來一直吸引著眾多的數學家和無數的業餘數學愛好者對它進行探究。這種素數被稱為「梅森素數」(Mersenne prime)。迄今為止，人類僅發現48個梅森素數。梅森素數珍奇而迷人，因此被譽為「數海明珠」。在梅森素數的探究歷程中，曾有不少奇聞趣事，這裡僅略舉幾例。

「梅森猜想」有錯漏

1644年，法國數學家梅森在《物理數學隨感》一書中提出著名的猜想（現稱「梅森猜想」）：對於P=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127和257時，2^P-1是素數；而對於其他所有小於257的數時，2^P-1是合數。前面的7個數（即2，3，5，7，13，17和19）屬於被證實的部分，是他整理前人的工作得到的；而後面的4個數（即31，67，127和257）屬於被猜測的部分。當時，人們對其猜想深信不疑，連德國數學大師萊布尼茲和哥德巴赫都認為它是對的。

其實梅森的猜想有若干錯漏(錯了兩個，漏掉三個)；但由於他是當時歐洲科學界一位獨特的中心人物，還是法蘭西科學院的奠基人，為了紀念他，數學界在19世紀末將2^P-1型素數稱為「梅森素數」。

「數學英雄」歸歐拉

梅森素數貌似簡單，但當指數P值較大時，其探究難度就會很大。它不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且還需要進行艱巨的計算。1772年，瑞士數學大師歐拉在雙目失明的情況下，花了兩天的時間，靠心算證明了2^31-1(即2147483647)是第8個梅森素數。這個具有10位的素數，堪稱當時世界上已知的最大素數。

歐拉證明這一素數的頑強毅力和解題技巧都令人讚嘆不已；他也因此獲得了「數學英雄」的美名。難怪法國大數學家拉普拉斯經常對他的學生說：「讀讀歐拉，他是我們每一個人的老師。」

一言不發的「演講」

也許是因為梅森的名氣太大了，而沒有人敢對其猜想表示懷疑。1930年，在美國數學學會的年會上，數學家科爾作了一次精彩的演講，他提交的論文題目是「關於大數的因子分解」。在「演講」過程中，他始終一言不發，只默默地在黑板上進行計算。他先算出2^67-1的結果，再算出193707721×761838257287的結果，兩個結果完全一樣。科爾第一個否定了「2^67-1是個素數」這一自梅森斷言以來一直被人們相信的結論，其「演講」贏得了全場聽眾起立熱烈鼓掌和齊聲喝彩。這個「一言不發的演講」成了科學史上的佳話。

會後，人們問科爾：「你花費多少時間來研究這個問題？」他靜靜地說：「三年的全部星期天。」後來，這一傳奇的「演講」使他當選為美國數學學會的會長。他去世後，該學會專門設立了「科爾獎」，用於獎勵作出傑出貢獻的數學家。

探究梅森素數不僅極富挑戰性，而且對探究者來說有一種巨大的自豪感。1963年6月2日晚上8點，當美國數學家吉利斯領導的研究小組通過大型計算機找到第23個梅森素數——2^11213-1時，美國廣播公司(ABC)中斷了正常的節目播放，在第一時間發布了這一震奮人心的消息；這在ABC的節目史上是絕無僅有的一次。另外美國一些報紙把這一消息作為頭版頭條來報導。

吉利斯所在的伊利諾伊大學數學係為這一重大發現感到無比驕傲。為讓全世界都分享這一成果，以致於把所有從系裡發出的信件上都蓋上了「2^11213-1是個素數」的郵戳。這一做法一直延續到1976年該係數學家證明著名的「四色定理」為止。

「素數大王」的誕生

隨著指數p值的增大，每一個梅森素數的產生都艱辛無比；而數學家和業餘數學愛好者仍樂此不疲，激烈競爭。例如，在1979年2月23日，當美國克雷研究公司的計算機專家史洛溫斯基和納爾遜宣布他們找到第26個梅森素數——2^23209-1時，有人告訴他們：在兩星期前美國加州的高中生諾爾就已經給出了同樣結果。

為此他們潛心發奮，繼續尋找，使用Cray-1型超級計算機並花了一個半月的時間，終於找到了新的梅森素數——2^44497-1。這件事成了當時不少主流報紙的頭版新聞。後來史洛溫斯基還獨自發現了6個梅森素數，因而被人們譽為「素數大王」。順帶一提，找到梅森素數最多的單位是美國加州大學洛杉磯分校數學系，一共發現8個。

靈機一動見曙光

梅森素數的分布時疏時密、極不規則，另外人們尚未知梅森素數是否有無窮多個，因此探究梅森素數的重要性質——分布規律似乎比尋找新的梅森素數更為困難。中國數學家、語言學家周海中1976年在廣東雷州半島當「下鄉知青」時就開始探究梅森素數的分布規律。因當時這方面的資料十分匱乏，加之沒有計算機，所以其探究在初期就困難重重，有過無數次的失敗，但他並不氣餒。有一天，他在閱讀一本關於法國數學大師費馬的書時，突然想到了「費馬數」的形式，這為他日後解決難題找到了突破口。

經過多年的不懈努力，周海中終於在1992年發現了梅森素數的分布規律，並給出它的精確表達式。後來這項重要成果被國際上命名為「周氏猜測」。美籍挪威數論大師、菲爾茨獎和沃爾夫獎得主塞爾伯格認為：周氏猜測具有創新性，開創了富於啟發性的新方法；其創新性還表現在揭示新的規律上。

蓋上素數的郵戳伊利諾伊大學數學系蓋的郵戳

網格技術顯身手

在「手算筆錄」的年代，人們僅找到12個梅森素數。而計算機的誕生，尤其是網格技術的出現，加速了梅森素數探究的進程。1996年，美國數學家、程序設計師沃特曼編制了一個梅森素數計算程序，把它放在網頁上供數學家和業餘數學愛好者免費使用。它就是舉世聞名的GIMPS項目。該項目採取網格計算的方式，並利用大量普通計算機的閒置處理能力來獲得相當於超級計算機的運算能力。1997年，美國數學家、程序設計師庫爾沃斯基建立了「素數網」（PrimeNet），使分配搜索區間和向GIMPS發送報告自動化。為了激勵人們尋找梅森素數和促進網格技術發展，總部設在美國的電子新領域基金會（EFF）於1999年設立了專項獎金懸賞參與GIMPS項目的梅森素數發現者。

迄今為止，人們通過GIMPS項目找到了14個梅森素數，其發現者來自美國、英國、法國、德國、挪威和加拿大。目前，世界上有180多個國家和地區超過27萬人參加了這一國際合作項目，並動用了74萬多臺計算機聯網來尋找新的梅森素數。

真是同人不同命

2008年8月23日，美國加州大學洛杉磯分校數學系計算中心的僱員史密斯，通過GIMPS項目發現了第46個梅森素數——2^43112609-1。他是私自利用中心內的75臺計算機參加該項目的。按校規他本應受到懲罰，但由於為學校爭了光，他反被表彰。著名的美國《時代》周刊曾將第46個梅森素數評為「2008年度50項最佳發明」之一。前不久，史密斯還獲得了EFF頒發的10萬美元大獎及金牌一枚。

另一位仁兄就沒有這樣的運氣。美國一家電話公司的僱員福雷斯特偷偷地使用公司內的2585臺計算機參加GIMPS項目。隨後公司發現計算機經常會出些差錯，本來只需要5秒鐘就可以接通的電話號碼，需要5分鐘才能接通。聯邦調查局最終查到了原因，福雷斯特承認「被GIMPS項目引誘」。他最後被解僱，並被罰款一萬美元。

（來源：拉普拉斯的憤怒）

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作者：佚名
來源：大數據實驗室