形如2p－1的一類數，其中指數p是素數，常記為Mp 。如果梅森數是素數，就稱為梅森素數早在公元前300多年，古希臘數學家歐幾裡得就開創了研究2p－1的先河。他在名著《幾何原本》第九章中論述完全數時指出：如果2p－1是素數，則 2p－1（2p－1）是完全數。
前幾個較小的梅森數大都是素數，然而梅森數越大，梅森素數也就越難出現。
目前僅發現50個梅森素數，最大的是277232917－1（即2的77232917次方減1），有23249425位數。
素數是指在大於1的整數中只能被1和其自身整除的數。素數有無窮多個，但目前卻只發現有極少量的素數能表示成 2p－1（p為素數）的形式，這就是梅森素數（如3、7、31、127等等）。它是以17世紀法國數學家馬林·梅森的名字命名。
1640年6月，費馬在給馬林·梅森（Marin Mersenne）的一封信中寫道：「在艱深的數論研究中，我發現了三個非常重要的性質，我相信它們將成為今後解決素數問題的基礎。」 這封信討論了形如2p－1的數。
馬林·梅森是當時歐洲科學界一位獨特的中心人物，他與包括費馬在內的很多科學家經常保持通信聯繫，討論數學、物理等問題。17世紀時，學術刊物和科研機構還沒有創立，交往廣泛、熱情誠摯的梅森就成了歐洲科學家之間聯繫的橋梁，許多科學家都樂於將成果告訴他，然後再由他轉告給更多的人。梅森還是法蘭西學院的奠基人，為科學事業做了很多有益的工作，被選為 「100位在世界科學史上有重要地位的科學家」 之一
梅森素數是數論研究中的一項重要內容，自古希臘時代起人們就開始了對梅森素數的探索。由於這種素數具有著獨特的性質（比方說和完全數密切相關）和無窮的魅力，千百年來一直吸引著眾多數學家（包括歐幾裡得、費馬、歐拉等）和無數的數學愛好者對它進行探究。
在現代，梅森素數在計算機科學、密碼學等領域有重要的應用價值。它還是人類好奇心、求知慾和榮譽感的最好見證。
2300多年來，人類僅發現50個梅森素數，由於這種素數珍奇而迷人，因此被人們譽為 「數海明珠」 。自梅森提出其斷言後，人們發現的已知最大素數幾乎都是梅森素數，因此尋找新的梅森素數的歷程也就幾乎等同於尋找新的最大素數的歷程。
梅森素數的探尋難度極大，它不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且需要進行艱苦的計算。
至2018年4月，已經發現50個梅森素
它們的數值、位數、發現時間、發現者等列表如下：
M1～M12
序號
p
梅森素數
位數
發現時間
發現者
2
3
1
古代
古人
3
7
1
古代
古人
5
31
2
古代
古人
7
127
3
古代
古人
13
8191
4
1456年
無名氏
17
131071
6
1588年
Pietro Cataldi
19
524287
6
1588年
Pietro Cataldi
31
2147483647
10
1772年
Leonhard Euler
61
2305843009213693951
19
1883年
Ivan Mikheevich Pervushin
89
618970019642690137449562111
27
1911年
Ralph Ernest Powers
107
162259276829213363391578010288127
33
1914年
Ralph Ernest Powers
127
170141183460469231731687303715884105727
39
1876年
Édouard Lucas
M13～M34
序號
p
位數
發現時間
發現者
計算機
521
157
1952 / 01 / 30
Raphael Mitchel Robinson
SWAC
607
183
1952 / 01 / 30
Raphael Mitchel Robinson
SWAC
1,279
386
1952 / 06 / 25
Raphael Mitchel Robinson
SWAC
2,203
664
1952 / 10 / 07
Raphael Mitchel Robinson
SWAC
2,281
687
1952 / 10 / 09
Raphael Mitchel Robinson
SWAC
3,217
969
1957 / 09 / 08
Hans Riesel
BESK
4,253
1,281
1961 / 11 / 03
Alexander Hurwitz
IBM 7090
4,423
1,332
1961 / 11 / 03
Alexander Hurwitz
IBM 7090
9,689
2,917
1963 / 05 / 11
Donald Bruce Gillies
ILLIAC II
9,941
2,993
1963 / 05 / 16
Donald Bruce Gillies
ILLIAC II
11,213
3,376
1963 / 06 / 02
Donald Bruce Gillies
ILLIAC II
19,937
6,002
1971 / 03 / 04
Bryant Tuckerman
IBM 360/91
21,701
6,533
1978 / 10 / 30
Landon Curt Noll & Laura Nickel
CDC Cyber 174
23,209
6,987
1979 / 02 / 09
Landon Curt Noll
CDC Cyber 174
44,497
13,395
1979 / 04 / 08
Harry Lewis Nelson & David Slowinski
Cray 1
86,243
25,962
1982 / 09 / 25
David Slowinski
Cray 1
110,503
33,265
1988 / 01 / 28
Walter Colquitt & Luke Welsh
NEC SX-2
132,049
39,751
1983 / 09 / 20
David Slowinski
Cray X-MP
216,091
65,050
1985 / 09 / 06
David Slowinski
Cray X-MP/24
756,839
227,832
1992 / 02 / 19
David Slowinski & Paul Gage
Harwell Lab's Cray-2
859,433
258,716
1994 / 01 / 10
David Slowinski & Paul Gage
Cray C90
1,257,787
378,632
1996 / 09 / 03
David Slowinski & Paul Gage
Cray T94
M35～M50
序號
p
位數
發現時間
發現者
國家
1,398,269
420,921
1996 / 11 / 13
GIMPS / Joel Armengaud
法國
2,976,221
895,932
1997 / 08 / 24
GIMPS / Gordon Spence
英國
3,021,377
909,526
1998 / 01 / 27
GIMPS / Roland Clarkson
美國
6,972,593
2,098,960
1999 / 06 / 01
GIMPS / Nayan Hajratwala
美國
13,466,917
4,053,946
2001 / 11 / 14
GIMPS / Michael Cameron
加拿大
20,996,011
6,320,430
2003 / 11 / 17
GIMPS / Michael Shafer
美國
24,036,583
7,235,733
2004 / 05 / 15
GIMPS / Josh Findley
美國
25,964,951
7,816,230
2005 / 02 / 18
GIMPS / Martin Nowak
德國
30,402,457
9,152,052
2005 / 12 / 15
GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone
美國
32,582,657
9,808,358
2006 / 09 / 04
GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone
美國
37,156,667
11,185,272
2008 / 09 / 06
GIMPS / Hans-Michael Elvenich
德國
42,643,801
12,837,064
2009 / 04 / 12
GIMPS / Odd Magnar Strindmo
挪威
43,112,609
12,978,189
2008 / 08 / 23
GIMPS / Edson Smith
美國
48*
57,885,161
17,425,170
2013 / 01 / 25
GIMPS / Curtis Cooper
美國
49*
74,207,281
22,338,618
2016 / 01 / 07
GIMPS / Curtis Cooper
美國
50*
77,232,917
23,249,425
2017 / 12 / 26
GIMPS / Jonathan Pace
美國
2017年12月26日,美國數學家喬納森·佩斯發現了有史以來第50個，也是最大的一個梅森素數，位數超過2300萬位，這是一項重大的數學發現
佩斯發現的這個素數可以表示成277232917-1。
日本的一家出版社想出一個絕妙的創意，為目前發現的最大素數出了一本書。這本書的名字就叫做《2017年最大的素數》，裝幀設計非常簡單，一共720頁全是數字，其實就是把佩斯發現的素數從頭到尾給印出來了。
這本奇特的書在發行兩周後迅速攀上日本亞馬遜數學類暢銷書第1位，4天時間就售出了1500本。日本虹色社的工作人員說，這本書的銷量遠超過他們的預期，以至於新書剛出版就要加印。
尋找梅森素數在當代已有了十分豐富的意義。尋找梅森素數是目前發現已知最大素數的最有效途徑。自歐拉證明M31為當時最大的素數以來，在發現已知最大素數的世界性競賽中，梅森素數幾乎囊括了全部冠軍。
尋找梅森素數是測試計算機運算速度及其他功能的有力手段，如M1257787就是1996年9月美國克雷公司在測試其最新超級計算機的運算速度時得到的。梅森素數在推動計算機功能改進方面發揮了獨特作用。發現梅森素數不僅需要高功能的計算機，還需要素數判別和數值計算的理論與方法以及高超巧妙的程序設計技術等等，因此它的研究推動了 「數學皇后」 ——數論的發展，促進了計算數學和程序設計技術的發展。
尋找梅森素數最新的意義是：它促進了分布式計算技術的發展。從最新的16個梅森素數是在網際網路項目中發現這一事實，可以想像到網絡的威力。分布式計算技術使得用大量個人計算機去做本來要用超級計算機才能完成的項目成為可能，這是一個前景非常廣闊的領域。它的探究還推動了快速傅立葉變換的應用。
梅森素數在實用領域也有用武之地，現在人們已將大素數用於現代密碼設計領域。其原理是：將一個很大的數分解成若干素數的乘積非常困難，但將幾個素數相乘卻相對容易得多。在這種密碼設計中，需要使用較大的素數，素數越大，密碼被破譯的可能性就越小。
由於梅森素數的探究需要多種學科和技術的支持，也由於發現新的 「大素數」 所引起的國際影響，使得對於梅森素數的研究能力已在某種意義上標誌著一個國家的科技水平，而不僅僅是代表數學的研究水平。英國頂尖科學家、牛津大學教授馬科斯·索託伊甚至認為它的研究進展不但是人類智力發展在數學上的一種標誌，同時也是整個科學發展的裡程碑之一。
梅森素數這顆數學海洋中的璀璨明珠正以其獨特的魅力，吸引著更多的有志者去尋找和研究。