數海明珠:梅森素數

2020-11-23 中國婦女報

■ 張翔

最近，一位名叫派屈克·拉羅什（Patrick Laroche）的美國人利用「網際網路梅森素數大搜索」（GIMPS）項目，成功發現第51個梅森素數2^82589933-1(即2的82589933次方減1)；該素數有24862048位，是迄今為止人類發現的最大素數。

眾所周知，素數又叫質數，是在大於1的自然數中只能被1和其自身整除的數。每個自然數都可以唯一地分解成有限個素數的乘積，素數因此構成了自然數體系的基石。2300多年前，古希臘數學家歐幾裡得在《幾何原本》一書中證明了素數有無窮多個，並提出一些素數可寫成「2^P-1」（其中P也是素數）的形式。

由於這種特殊形式的素數具有獨特數學性質，千百年來，許多著名數學家以及無數數學愛好者對它情有獨鍾。其中，17世紀的法國數學家、法蘭西科學院奠基人梅森在這方面有過重要貢獻。為了紀念梅森，數學界在19世紀末就將「2^P-1」型的素數稱為「梅森素數」。這種素數珍奇而迷人，因而被稱為「數海明珠」。

梅森素數貌似簡單，但當指數P值較大時，其素性檢驗的難度就會很大；它的探究不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且還需要進行艱巨的計算。例如，享有「數學英雄」美譽的瑞士數學家及物理學家歐拉1772年在雙目失明的情況下，以頑強毅力靠心算證明了2^31-1（即2147483647）是第8個梅森素數；該素數有10位，堪稱當時世界上已知的最大素數。

在「手算筆錄年代」，人們歷盡艱辛，共計才找到12個梅森素數。而電子計算機的出現，尤其是網格計算時代的到來，大大加快了梅森素數探究步伐。1996年年初，美國數學家及程序設計師沃特曼編制了一個梅森素數計算程序，並把它放在網頁上供人們免費使用。這一計算程序就是舉世聞名的GIMPS項目，也是全球首個基於網際網路的網格計算項目。

為了激勵人們尋找梅森素數以及促進網格計算技術發展，總部設在美國的「電子前沿基金會」（EFF）於1999年3月向全世界宣布了為通過GIMPS項目來尋找梅森素數而設立的協同計算獎。該獎規定：向第一個找到超過1000萬位數的個人或團體頒發10萬美元；後面的獎金依次為：超過1億位數，15萬美元；超過10億位數，25萬美元。

至今人們通過GIMPS項目已經找到17個梅森素數。目前，世界上有190多個國家和地區近70萬人參加了這一項目，並動用了超過180萬核中央處理器聯網來尋找新的梅森素數。可見，當今的梅森素數探究非常火爆；這在數學史上前所未有，在科學史上也極為罕見。

值得指出的是，在梅森素數的基礎研究方面，法國數學家魯卡斯和美國數學家雷默都做出了重要貢獻；以他們命名的「魯卡斯-雷默方法」是目前已知的檢測梅森素數素性的最佳方法。另外，中國數學家及語言學家周海中給出了梅森素數分布的精確表達式；這一研究成果被國際上命名為「周氏猜測」。

探究梅森素數具有重大意義，是發現已知最大素數的最有效途徑，有力推動了素數論的研究。另外，梅森素數在計算機科學領域具有重要應用價值——它可以用來檢測計算機系統或程序中存在的問題。因此許多專家認為，梅森素數的研究成果一定程度上反映了一個國家的科技水平。英國數學協會主席、《素數的音樂》一書作者索託伊甚至認為，梅森素數的探究進展不但是人類智力發展在數學上的一種標誌，也是整個科技發展的裡程碑之一。

（作者系美國加州大學博士後）

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    梅森素數之所以探究異常火爆,與其自身強大的吸引力是分不開的。眾所周知，素數是在大於1的整數中只能被1和其自身整除的數。2300年前，古希臘數學家歐幾裡德就已證明素數有無窮多個，並提出一些素數可寫成「2^P-1」(其中指數P也是素數)的形式。
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    據路透社近日報導，到目前為止，世界上有150多個國家和地區超過10萬人參加一個名為「網際網路梅森素數大搜索」（GIMPS）的國際項目，並動用26萬多臺計算機來進行大規模的網格計算，以尋找新的梅森素數。數學中形如2P－1（其中指數p為素數）的素數稱為梅森素數；它是以17世紀法國著名數學家、法蘭西科學院奠基人梅森命名的，因為他對這一特殊形式的素數作了大量的計算和驗證工作，以及他在當時歐洲科學界有著崇高的學術地位。梅森素數是數論研究中的一項重要內容，也是當今科學探索的熱點和難點之一。英國數學史家索託曾認為它的研究可以檢驗人們的智慧和運算能力。
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