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2300多年前，古希臘的數學家歐幾裡得在證明了素數有無窮多個之後，就順便指出：有許多素數可以寫成2的P次方－1的形式，其中指數P也是素數。
很容易想到的是，2的平方－1、2的立方－1、2的5次方－1、2的7次方－1正是其中排列最前面的4個！那麼當P＝11、13、17、19、23......的時候，2的P次方-1還是素數嗎？到底又有多少這種2的P次方-1型的素數呢？在計算能力低下的公元前，這個關於素數的探尋之旅就已經吸引了無數人。
人們唯獨對素數情有獨鐘不是沒有理由的，它有著許多簡單而又美麗的猜想，有的已經成為定理，而有的則至今還沒有答案。比如著名的哥德巴赫猜想，就讓人們苦苦追索：是否任一大於2的偶數都可寫成兩個質數之和？再比如孿生素數的問題：像5和7、41和43這樣相差2的素數，到底有多少對呢？
除此之外，在數學史上起個大早的古希臘人，還有許多關於素數的發現，完美數就是其中之一。畢達哥拉斯學派指出，如果一個數的所有因數的和正好等於它本身，那麼這個數就叫做完美數。很容易發現的是，6是第一個完美數，因為6＝1＋2＋3。28則是第二個完美數，28＝1＋2＋4＋7＋14。
歐幾裡得在《幾何原本》中證明了如果2的P次方－1是一個素數，那麼2的P－1次方乘（2的P次方－1）一定是一個完美數。你會發現，當P分別等於2和3時，它就對應著前兩個完美數6和28。
完美數
再後來，歐拉進一步證明，每一個偶完美數也必定是歐幾裡得所給出的形式。而至於奇完美數，人們還不知道其存在與否，這也是無數個關於素數的難題中至今未解的一個。總之就是，找到了2的P次方－1形式的素數，也就發現了新的完美數。
此外，形如2的P次方－1的素數，還長期佔據了人們尋找到的最大素數的光榮榜。歷史上也只出現過一次意外，那就是在1989年時，人們發現了39158×2216193－1這一素數，不過沒多久，2的756839-1被發現，梅森素數重新奪回了最大素數的寶座。之所以最大素數的寶座一直是由梅森素數佔據的，是因為判斷這樣一個數是素數的方法，比判斷一個差不多大小的其他類型數是素數的方法要簡單得多。
可以說，正是素數的無窮魅力以及其與眾多數學奧秘間剪不斷的關係，使得人類從未停止對2的P次方－1型素數的搜尋之旅。在歐幾裡得之後，更有費馬、笛卡爾、萊布尼茲、哥德巴赫、歐拉、高斯、哈代、圖靈等數學大師，先後投入這一漫漫長途，這一個個閃光的名字正如暗夜前行的火炬手，照亮了人類通往未知的道路。
所以，就讓我們坐上時間機器，回到過去，重新瀏覽這一路風光。
1456年，一個沒有留下姓名的人發現了第5個2的P次方－1型的素數，這就是2的13次方－1。如果黃博士降生在那個年代，或許這次發現的光榮將歸屬於他。不過，他更有可能犯下和當時的人們一樣的錯誤，那就是以為對於所有的素數P，2的P次方－1都是素數。要知道，這個錯誤是近100之後，直到1536年，才由數學家雷吉烏斯打破。他指出2的11次方-1＝2047，這個數不是素數，因為2047＝23×89，不是素數。
在此之後，人類尋找2的P次方－1型的素數之路，開始走上了正軌，第一個對這種類型的素數進行整理的是義大利數學家皮特羅-卡達迪，在1603年，卡達迪宣布：對於p=17，19，23，29，31和37，2的P次方－1是素數。可惜的是，37年後，他的六個結果就被推翻了兩個，費馬使用著名的費馬小定理證明了P＝23和37時，2的P次方－1的結果並非素數。注意，這個費馬小定理並非我們常說的那個費馬大定理，至於這個費馬小定理是什麼，自己查吧，因為我也沒看懂。
屋漏偏逢連夜雨，大約一百年後的1738年，數學大神歐拉證明，卡達迪的結果中P＝29也是錯誤的。之後，歐拉又證明了P＝31的結論是對的，如此看來，歐拉還算是救了卡達迪一下，只是我們現在也不知道卡達迪當年是不是瞎編的了。
不過客觀地說，雖然卡達迪的六個結果被續了一半，但考慮到他是用手工計算取得結論的，也就是完全靠手算，而費馬和歐拉則是使用了在他們那時最先進的數學知識，避免了許多複雜的計算和因此可能造成的錯誤，所以我們仍然要對卡達迪致敬。你要是不服的話，你完全就手算，不用太大，你試試看2的23次方-1，這個數我們已經知道不是素數了，你來嘗試找一下它的因子，就知道其實這並不容易。就這樣，卡達迪便光榮地佔據了第6個和第7個的發現者之位，在他之前的，都是無名氏。
更為重要的是，卡達迪的成功，說明了整理和預測是正確道路，數學家們由此也有了道路自信，而且這種自信並非是為了相信而相信。繼他之後，集研究成果大成的，便是17世紀法國數學家和修道士馬林-梅森。
梅森
梅森熱心於宗教，但更喜愛數學。他是一個交往廣泛、熱情誠摯的人，更是一座「科學信息交換站」。之所以這樣說，是因為在當時，學術刊物、國際會議甚至科研機構都還沒有誕生。「及時雨」般的梅森便成為了歐洲眾多科學家之間聯繫的橋梁，大家紛紛把研究成果寄給他，然後再由他轉告給更多的人。費馬、笛卡爾等數學家每周在他家聚會，討論問題，就這樣慢慢形成了「梅森學院」，這個學院後來有了一個更響亮的名字，這就是法蘭西科學院。
1644年，也就是順治帝、多爾袞與吳三桂攜清軍入關那一年，梅森在歐幾裡得、費馬等人的有關研究的基礎上，對2的P次方－1作了大量的計算和驗證工作，並在他的《物理數學隨感》一書中斷言：對於P＝2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257時，2的P次方－1是素數；而對於P等於其他所有小於257的數時，2的P次方－1是合數。在這其中，前7個數，也就是p=2，3，5，7，13，17和19，是前人的工作已經證實的部分。而後面的4個數，也就是p=31，67，127和257，則屬於被猜測的部分。不過，人們對他的斷言深信不疑，連大數學家萊布尼茲和哥德巴赫都認為它是對的。
梅森的工作極大地激發了人們研究2的P次方－1型素數的熱情，成為素數研究的一個轉折點和裡程碑。為了紀念他，數學界就把這種數稱為「梅森數」，並以Mp記之，Mp=2的P次方－1。如果梅森數為素數，則稱之為「梅森素數」。
對梅森素數的驗證，需要進行艱巨的計算，即使是猜測部分中最小的M31=2的31次方－1=21 4748 3647，也是一個10位數。梅森自己也承認：一個人，使用一般的驗證方法，要檢驗一個15位或20位的數字是否為素數，即使終生的時間也是不夠的。他自己也是做不到的，更何況年邁力衰的梅森四年之後就去世了，最終並沒有任何一個梅森素數的發現權歸屬於他，但考慮到他已經享有了冠名權，所以，不妨就把榮譽分給那些在漫漫長途上跋涉的發現者們吧！
那麼梅森素數後來的發現之旅又是怎樣的呢？請看下集《數字中的鑽石：從人腦到電腦》。
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