本文以故事的形式展示了量綱分析在數學模型與科學中的廣泛應用。
作者： 湯姆·克勞福德 ，
牛津大學教授，經常只穿內褲教數學。
翻譯，MathIsAll，哆嗒數學網翻譯組成員。
想像一下這樣的場景：你是一名科學家，在上世紀40年代初為美國軍隊服務。此時軍方交給你一項任務：計算新式武器——原子彈——的爆炸半徑。很顯然，美國打算使用原子彈去攻擊敵人，而你要做的是確保原子彈爆炸時，友軍在安全區域內。那麼你要如何計算出爆炸半徑呢？
其中一種解決方法是做一系列的實驗。引爆不同尺寸，不同重量，不同強度的原子彈，並測量它們的爆炸半徑，分析不同的參數是如何影響爆炸傳播的距離。這也確實是美方軍隊所做的（下圖展示了一部分實驗結果）。
科學家從這些實驗中總結出3個對爆炸半徑有主要影響的參數：
1 --- 時間 爆炸後時間越長，爆炸形成的火球傳播得越遠；
2 --- 能量 增加爆炸的能量，火球的半徑會增大；
3 --- 空氣密度 這可能並不是特別顯然，實際上空氣密度變大會使火球半徑減少。如果你將空氣的密度想像成空氣的「厚度」，那麼空氣密度越大，空氣越「厚」，它會阻礙火球的傳播，因此傳播了更短的距離後火球就停止前進了。
當時，時間t，能量E，與密度ρ之間的具體關係是未知的。若要精確了解增加的能量對最終結果有何影響，你需要大量的數據。這意味著你需要大量的實驗，除非你和英國數學家G·I·泰勒想法一樣… …
Taylor主攻的領域是流體動力學，該領域研究的是液體，氣體，以及某些具有流體特性的固體（例如冰塊）的運動。聽聞美國要做如此危險的實驗時，他立即出手解決這個問題。他使用了一個巧妙的方法——量綱分析。對於上述提到的單位，我們可以列出它們的單位：[時間]=[T]
[能量]=[ML²/T²]
[密度]=[M/L³]
其中表示時間單位是秒(s)，M表示質量單位是千克(kg)，L表示距離單位米(m)。我們需要解決的是爆炸的半徑，而它的單位是長度L。Taylor的想法很簡單，就是將這三個變量以某種方式組合起來，以湊出長度的單位。實際上，只有一種方式可以湊出長度的單位，因此湊出的結果會準確地告訴你火球的半徑與這三個參數間的具體關係！可能聽起來就像魔術一樣，但是讓我們試試吧。
為了消去質量的單位M，我們必須用能量除以密度（這是唯一的初等方式）：
現在為了消去時間的單位，我們必須乘以時間的平方（同樣地，在不改變變量的情況下，這是唯一的選擇）：
最後，上述方程兩端開五次方，我們就得到了與長度有相同單位的式子：
因此我們就得到了計算爆炸半徑的式子：
就是它了！在那段時間，美國軍隊將該方程視為最高機密，而G·I·泰勒竟然只簡單使用了物理量的計量單位就如此簡單地解決了，這讓本來要做大量實驗的小夥伴們略顯尷尬。
我很喜歡這個故事，因為它展示了量綱分析在數學模型與科學中的廣泛應用。物理的計量單位經常被看成計算結果的附屬，但在這個故事中它們的確包含了大量重要的信息，這些信息能被用來推導出問題的解，而不必進行任何實驗或更深入的計算。在大學中若要進行更高層次的數學與科學的研究，量綱分析是非常重要的技能。因為在許多問題中，要想精確推導出方程對你而言可能很困難，因此你不得不使用類似的技術以獲得對問題的直觀理解。
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附作者照片：