原文作者：John Baez。
譯文作者：豆漿，哆嗒數學網翻譯組成員，數據分析師。
校對：donkeycn。
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克卜勒問題涉及一個質點在引力作用下運動，就像是一個行星圍繞太陽運動。牛頓證明了假設它不飛向無窮遠，這種粒子的軌道是一個橢圓。有很多方法可以證明這一點，但最富於啟發性的想法是將軌道想像成4維空間裡的一個圓。當這個圓投射到3維空間上，它就會變成一個橢圓。
Greg Egan創建了上面的動畫來展示這一過程。這個平面代表我們住的3維空間裡的2維，垂直方向代表了第四維。一個點在R^4繞了一圈。但是將這個圓投射到R，我們就會得到一個橢圓：行星的實際軌道。
什麼是第四維？它與時間有關，但不完全是時間。它是常規時間和一個時間的重新參數化版本之間的差，該時間的流逝速度與行星到太陽的距離成反比。
動畫使用了這個另類的時間。相對於這個時間，行星正在以恆定速度在4維空間上做圓周運動。但在普通時間下，當它接近太陽時，正如行星必須要做的，就是其在3維上的投影運動得更快。
至少從1980年以來物理學家們就知道了這個觀點，這得益於由數學物理學家Jürgen Moser寫的一篇論文。這個故事的某些部分是老得多。許多論文也已經有寫到，但這一次是特別優雅：
Jesper Gransson，克卜勒問題對稱性，2015年3月8日。
關於描述行星運動的Gransson 4維空間的最好的事情是，它給出了一個驚人的事實，一個乾淨的解釋。你可以取任何橢圓軌道，施加一個4維空間的旋轉，並獲得另一個有效的軌道！
當然，我們可以在通常的3維路徑下圍繞太陽旋轉一個橢圓軌道並得到另一橢圓軌道。有趣的是，我們還可以做4維旋轉。這樣可以使一個豐滿的橢圓看起來瘦小：當我們將一個圓傾斜到第四維，它在3維空間的「影子」變得更瘦！
事實上，你可以通過這樣的一個四維旋轉把任何橢圓軌道變成任何其它具有相同能量的橢圓軌道。所有具有相同能量的橢圓軌道都是四維空間裡在同一球面上的圓形軌道的投影！
讓我們來看看更多關於數學方面的細節。
克卜勒問題
假設我們有一個質點在平方反比定律的作用下運動。其運動方程為
其中R是它作為時間函數的位置，r是從原點的距離，m表示它的質量，而k是表示力有多強。由此我們可以得出能量守恆定律，如下
對於一些常數E，它依賴於粒子軌道，但不隨時間變化。
讓我們考慮一個引力，因此k>0，而且是橢圓軌道，因此E<0。讓我們把這個質點稱作一個'行星'。這是一顆圍繞太陽運行的行星，在這裡我們把太陽看得非常重以至於它完美地保持固定在原點。
讓我們把注意力集中在一個具有單一固定能量E的軌道上.這可以讓我們自由地選擇質量，長度和時間的單位
這將減少一堆雜亂的字母，使我們專注於關鍵的想法。如果您更希望看到技術細節方面的東西，那就去看看Gransson的論文吧。
現在運動方程變成了
能量守恆方程變成了
顯然是由於Moser，這個偉大的想法是從普通的時間概念切換到一種新的時間概念！我們將這個新的時間叫做s，並要求
你離太陽越遠，這種新的時間走得越慢。因此，當行星遠離太陽時，使用這種新的時間會加快它的運動。如果這看起來是倒退的，思考一下吧。對於一個離太陽很遠的行星，這個新時間的一天可以等於普通時間的一周。所以，使用新時間來測量，一個遠離太陽的行星可以運行一天，而這通常需要一周的時間。
當它遠離太陽時，這彌補了行星運行得很慢的正常傾向。事實上，用這種新的時間，當行星離太陽最遠和最近的時候，它運行得一樣快。
隨著這新的時間概念，令人驚奇的事情發生了！為了看到這一點，首先使用這一新時間概念改寫能量守恆定律。沿用牛頓的記號，我們一直在使用點表示普通時間的導數。讓我們使用上撇符號(′)來表示相對於s的導數。因此，例如，我們有
和
使用這種新的時間導數，Gransson證明能量守恆可以寫成
這是4維空間的一個球面方程！
稍後我們就會明白為什麼能量守恆定律可以這樣寫。首先讓我們來談談這意味著什麼。要理解它，我們應該把普通的時間坐標t和空間坐標（X，Y，Z）平等看待。點(t,x,y,z)隨著參數s的變化在4維空間移動。我們現在看到這個點的速度，即是v=(t′,x′,y′,z′)
在4維空間裡的一個球面上移動。它是以點(1,0,0,0)為中心的半徑為1的球面
在進一步的計算之後，我們可以得到一些其他精彩的事實：
和
這些是諧振子的普通方程，但加入了一個額外的導數。
這些事實證明如下。首先，讓我們思考一下他們意味著什麼。我們可以按如下說明用文字表達這些事實：4維的速度v進行了關於點（1,0,0,0）的簡諧運動。
那很漂亮。但由於v還停留在以這個點為中心的單位球面上，我們可以得出更好的結論：v必須以恆定的速度沿著這個球面一個大圓移動！
這意味著4維速度的空間分量的均值為0，而t分量的均值為1。
這裡的第一部分有很大的意義：地球永遠不會從太陽漂移得更遠，所以它的平均速度必須為零。第二部分是有點微妙，但它也有道理：普通時間t關於新的時間參數s以平均速度1向前移動，但其變化率是正弦振蕩的。
如果我們對方程R'''=-R 的兩邊積分，我們會得到
對於某個常數矢量a。這就是說位置R關於一個點a諧波振蕩。由於a不隨時間變化，這是一個守恆量：它被稱為龍格 - 楞次矢量。
人們常常從平方反比力定律入手，證明角動量和龍格 - 楞次矢量是守恆的，並使用這6個守恆量和諾特定理證明存在一個6維對稱群。對於具有負能量的解，這正是4維空間的旋轉群，SO(4)。隨著越來越多的工作，我們可以看到克卜勒問題是如何與在4維空間的諧振子相關的。這樣做涉及到重新參數化時間。
在很多方面來說，我更喜歡Gransson的做法，因為它堅持從重新參數化時間入手。這讓他更有效地證明，行星的橢圓軌道是四維空間中的圓軌道在三維空間的投影。四維旋轉對稱性是那麼明顯！
實際上Gransson在n維空間裡用平方反比定律進行論證;這沒有更困難。n維的橢圓形軌道是n +1維圓形軌道的投射。角動量是n維的二重向量;它與龍格-楞次矢量一起形成在n + 1個維的二重向量。這是與這個問題的第（n+ 1）維的旋轉對稱相關聯的守恆量。
他還證明了對於正能量的雙曲線形軌道和零能量的拋物線形軌道也有類似的結論。雙曲線的情況下有洛侖茲群對稱性，而零能量的情況下有歐幾裡德群對稱性！這是已知的，但很高興地看到Gransson的計算是如何輕鬆地處理所有這三種情況。
數學細節
用矢量微積分檢查所有這一切是一個簡單的練習，但它需要一些工作，所以讓我在這裡做了一些。仍然會有細節留待填補，我希望你可以試一試。
請記住，我們的時間重新參數化給出了
其中上撇符號(′)代表d / ds。因此，我們可以從能量守恆入手：
並且使用
（譯者註：原文可能有誤，根據上文，這裡應該是
）
得到
運用一點代數知識給出
這證明了4維速度v=（t』，x』，y』，z』）在中心為（1，0，0，0）的單位球上。
下一步就是取運動方程
並採用上撇符號(′)（s的導數），而不是點（t的導數）重寫。我們先從
並再次微分得到
接下來，我們其他的方程為R''給出了
或者
因此有
為了走得更遠，這也是為了給R''得出一個很好的公式。首先我們計算
然後再微分
給R''代入公式，會出現一些精彩的相消，我們得到
但我們還可以做得更好！記住了，能量守恆有
而且我們知道t'=r .因此,
和
所以，我們知道
因為 ，如預期的給出了
下一步讓我們給 得到一個類似的公式。我們先從
入手，然後兩邊微分，得到
然後給r''和R''代入我們的公式。 出現了一些真正的神奇的相消，然後我們如預期得到
公式兩邊積分，我們就得到了
對於一些固定的矢量a，龍格 - 楞次矢量。這是說R進行了關於a的諧波運動。這是相當了不起的，R和它的範數r都進行了諧波運動。
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