橢圓周長有精確計算公式嗎?對天體運算有什麼用?

圓的周長非常容易計算，因為圓的周長與其直徑之比為恆定的圓周率，所以圓的直徑乘以圓周率就能算出周長。在某種意義上，圓是橢圓的一種特殊形式，兩個焦點重合、半長軸（a）等於半短軸（b）的橢圓就是圓。

雖然圓的周長有初等函數表達式，但橢圓的周長卻沒有簡單的計算公式。不過，這並不意味著橢圓沒有周長計算公式。事實上，橢圓周長公式可以用積分形式精確表達出來：

其中e為橢圓的離心率：

只不過這是第二類完全橢圓積分，沒有解析解，這意味著它不能用初等函數表示，只有在是圓的情況下才能。但藉助計算機，通過插值法等數值方法可以算出一定精度的橢圓周長。或者，可以藉助其他近似的初等函數公式來計算橢圓的周長。

拉馬努金在短暫的一生中發現了許多經典的公式，其中包括收斂速度非常快的圓周率公式，也包括橢圓周長的近似公式，比較有代表性的是下式：

其中h表示：

這個公式的誤差很小，即便圓周率只取3.14，也能得到不錯的精度。

如果對第二類完全橢圓積分進行展開，橢圓的周長公式還有無窮級數的形式：

在上式中，取的項數越多，計算結果越精確。

在現實中，天體的運動軌道沒有完美的圓形，大都是橢圓形。利用橢圓周長的無窮級數公式來計算能夠得到極高的精度，這足夠用於天體運動的計算。

另外，由於引力作用引起的近日點進動，天體的每個公轉軌道其實也不是重合的。例如，地球每年的近日點和遠日點的位置和日地距離都在發生變化；水星的近日點進動是八大行星中最大的那個，因為它最為靠近太陽，受到的。