浮點數是我們在編程中常用的一個數據類型，不知道大家想過沒有，它為什麼叫做float呢？
還有，計算機對浮點數的內部表示方法IEEE 874到底是怎麼回事？
要徹底理解浮點數，需要從計算機的底層存儲開始。
假設有一個32 bit的計算機，需要你來設計一個支持存儲「小數」的方案，你會怎麼辦呢？
最簡單的辦法就是把這32位存儲分成若干部分， 例如三個部分
(1) 用1位來表達正負位， 0為正， 1為負。
(2) 再劃出8位來表示整數部分
(3) 剩下的23位表示小數部分。
就像這樣：
上圖表示的數值就是182.375，由於小數點固定在了第23位和第24位之間，這種方式可以稱為「定點數」。
很明顯，由於整數部分的長度比較短，所能表示的數據的範圍就比較小。 小數部分比較長， 所能表示的精度就比較高。
我們暫時把這種數據類型叫做fixed number A 。
如果想要表達更大範圍的數怎麼辦？ 我們還可以定義一個新的數據類型： fixed number B。 讓整數部分擴大一些。
用23位表示整數，這範圍比8位大多了， 但是精度又會受到損失了，可見用這種定點數的表示法，範圍和精度是一對兒矛盾。
如果再定義fixed number C, fixed number D， 程式設計師簡直就不知道用哪個了， 並且實現他們之間的計算也很麻煩。
所以定點數並不是完美的解決方案。
怎麼解決定點數的「僵化」問題呢？
我們都知道科學記數法，例如368.79 用科學計數法表示就是 3.6879 * 10 ^2 。
其中3.6879就是尾數，10 是基數， 2 是指數。
浮點數就是利用指數達到了小數點「浮動」的效果。從而可以靈活地表達更大範圍內的數, 比如 :
3.6879 * 10 ^ 2 = 368.79
1.2345 * 10 ^ 3 = 1234.5
7.89 * 10 ^ 2 = 789
小數點的位置是不固定的。
不過對於同一個浮點數，也有很多表達方式， 368.79 可以表達為：
3.6879 * 10 ^ 2
0.36879 * 10 ^ 3
36.879 * 10 ^ 1
由於其多樣性， 很多計算機廠商都設計了自己的表示浮點數的規則，以及對浮點數運算的細節。 多樣的規則對於程序的可靠性和移植性都是不利的。
1976年， 一家叫Intel的公司要設計一個叫做8087的晶片， 這個晶片在8086處理器（這可是大名鼎鼎的晶片啊，計算機系的同學估計很熟悉吧）上增加了支持浮點數的功能。 他們請加州大學伯克利分校的William Kahan教授作為顧問，幫助設計8087晶片。
Intel 還支持Kahan教授加入IEEE資助的制定工業標準的委員會， 最終這個委員會採納的標準非常接近於Kahan為Intel設計的標準，這就是大名鼎鼎的 IEEE 754 標準。
（碼農翻身註：這段描述來自於《深入理解計算機系統》）
該標準在1985年發布，成為了各個計算機廠商都支持的規範，大大提高了程序的可移植性。
最新的標準是2008年發布的 IEEE 754-2008 。
William Kahan教授
這個標準中有單精度(32位）和雙精度（64位）， 我們以32位為例來介紹一下，理解了32位，64位就不在話下了。
用科學記數法表示，應該是這樣的：
(+ or - ) 1.(mantissa) * 2 ^ exponent
注意：小數點前面是有個1的。
我們接下來用一個例子來計算一下， 把5.8 這個10進位小數轉換為IEEE 754表示的浮點數。
首先，5.8 = 1.45 * 2 ^ 2，可能有人問，這是怎麼算出來的？ 很簡單：
5.8/2 => 2.9
2.9/2 => 1.45
接下來就可以把他表示成IEEE 754的形式：
(1) 可以看出 符號位 s = 0
(2) 指數(exponent) 是2 嗎？
No! 指數也有正負之分，我們既要能用8位二進位數字表示正數，又要能表示負數。
所以2的8次方這256個數字要區分開來使用： 從0到127 表示負數， 從128到255表示正數。
127 被稱為 Bias value (偏置值)
所以exponent = 127 + 2 = 129 ， 把129用二進位表示就是10000001。
（註：如果原始的指數是 - 2 ， 那exponent 就是 127- 2 = 125）
（3） 尾數mantissa 是0.45 ， 需要轉化成二進位，怎麼做呢？ 也很簡單，不斷地乘2，取結果的整數部分就行，詳細過程如下：
可以看出，出現無限循環了，我們取夠IEEE 754要求的23位就行了（0.01 1100 1100 1100 1100 1100 1.），可見浮點數是不精確的！
最終，我們把5.8變成了符合IEEE 754 規範的浮點數表示：
很簡單的，對吧？
敏銳的同學可能已經看出問題了，這個尾數總是1.mantissa的形式， 那用這種方式怎麼才能表示零呢？
這就留作一個小問題讓大家去探索吧， 你會發現非規格化，無窮大，NaN等有趣的東西。
（完）