碩博學術專欄——主要的抽樣分配(二)

2021-01-18 講李學術

1. F分配

定義

若有兩個獨立的卡方隨機變量x²（v1）與x²（v2），各自除以自己的自由度後相除，其比值稱為F隨機變量（F random variable）：

此一利用卡方比值所定義的統計分配，最早是由Fisher與1924年推導得出，後於1934年，Snedecor將此比值分配定名為Fisher的縮寫F分配以推崇其貢獻。F量數是由自由度為v1與v2的兩個卡方變數之比值，以F(v1,v2)表示，當自由度小時，F分配呈現正偏態，自由度越大，越接近常態分配，如圖1所示。

 推導

    由前面的討論可知，利用卡方分配的機率分布，可檢驗某一個變異數的估計數是否與某特定變異數相等的虛無假設是否成立。對於兩個獨立卡方變量的比值，可以用來檢驗兩個獨立樣本的變異數估計數是否相同之假設。導出式如下：

由上式可知，利用F統計量可以檢驗兩個樣本變異數的差異性，統計假設如下所述，著名的變異數分析就是使用F統計量來進行假設考驗。

非中央F分配

如同非中央卡方分配的概念，F統計量亦有非中央F分配（non-central F distribution）的變化。F分配是兩個卡方分配的比值，因此當卡方分配具有非中央特質時，所計算出來的F統計量既是一個非中央分配。但是非中央F分配並不需要分子與分母的卡方分配均為非中央卡方分配，而僅發生在分子項而非分母項。在統計鑑定力的計算上，非中央F分配具有重要的地位。


2.t分配

定義

若今天有一個隨機變數X呈現常態分配，對於X變量的期望值平均數μ，X變量的變異數為σ2，將X變量取Z分數，然後對另一個獨立的x2隨機變量做公式（1）的轉換，即成t隨機變數（t random variable）。

T變量的分配模式最早是由一位工程師Gosset於1908年推導得出，並以化名Student發表，因此又稱為Student’s t。t分數的分布情形是自由度為n-1的對稱分配，期望值與變異數如下：

由變異數的期望式可以看出，t統計量所形成的t分配的變異數隨著自由度的變化而變動，當自由度越大，變異數越趨近於1，也就是接近標準化常態分配，但當自由度越小，變異數越大於1，也就是比標準化常態分配更趨於分散扁平，如圖2所示。一般而言，當樣本數大於30時，t統計量即可視為常態分配。

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