05-01-27_地球內最速折線隧道
本期高中物理競賽試題，我們繼續研究地球內部隧道中物體的運動規律，從前面幾期內容中同學們都已經有所了解了，物體在地球內部隧道中做無摩擦運動時，物體在地球萬有引力的作用下，將做簡諧振動，但同時我們也能夠發現，在前面內容中所考察的情況中，地球內部的隧道無論是經過地心還是不經過地心的情況，軌道的形狀都是直線型的，沒有考察過折線型軌道的運動情況，這裡小編就為同學們找到了一個軌道形狀並不是直線的題目，同學們可以從這個題目的解題思路和方法中，了解到折線型軌道與直線型軌道的相同之處在哪裡，以及折線軌道運動中的物體滿足怎樣的運動方程，是不是仍舊做簡諧振動，這些問題都可以從這個題目的解答過程中尋找到答案。
對於這個題目，小編還是比較推薦同學們從物理的角度上，也就是從單位圓的角度入手來解決問題，在同學們的求解過程中，更多的同學們並不是從單位圓角度入手的，而是從運動的過程入手，這樣很容易將題目中的極限情況的條件搞錯，這樣這個題目就不能求解出來了，因此通過這個題目的解題過程，還需要同學們對於運動中的極限情況，如何正確的轉變為數學條件，做出正確的判斷。
試題預覽
如圖1所示，若在地球表面上，A, B 兩點間打通一光滑對稱折線隧道，質點 m 由 A 靜止開始運動，運動至折點 C 時，該質點可通過弧形光滑軌道入 CB 軌道，最後再從 B 點出來，求 A 到 B 的最優折線和此時的最短時間，角度 φ 已知，地球半徑為 R ，重力加速度為 g ，最優意指所需時間最少。
解題步驟
模擬重現
方法分析
在分析這個題目的時候，很多同學都能夠從原來已有的經驗入手，當作簡諧振動，通過受力分析來證明運動過程是簡諧振動，當然在這個步驟上，同學們就能夠發現這個題目解決問題的入手點，並結合原來同學們做過的不經過地心的隧道中物體簡諧振動的特點來說，很大一部分同學都可以發現，折線隧道的一半正好是一個簡諧振動的四分之一周期的一部分，然後再根據題幹中的問題，就應該能夠明確這個題目中最優的含義，也就是運動時間最短的真正含義，同時通過這個題目的解題過程，我們可以發現，這個題目中折線隧道的一半由於是四分之一個周期的一部分，因此在折線隧道的角度將會影響到折線隧道運動過程佔四分之一周期的比例關係，而這個點也是同學們經常出錯的位置。
更多的同學會認為折線隧道長度越短，運動時間也就越短，其實這個想法並不正確，因為折線隧道長度變短以後，對應的缺少的那一部分也變短了，這樣折線隧道中的部分佔四分之一周期的比例其實並不是最小的，這就是很多同學在列出方程後，求解起來非常困難的原因，同時當領會到了時間最短的真正含義以後，也就是所佔比例最小以後，無論是通過單位圓結合相位來計算還是通過幾何關係來計算，在解題步驟上其實都是差不多的。