1900~1928年間是物理學史上最激動人心的時代，一群天才，主要是年輕人，在不到三十年的時間裡構造了嶄新的量子力學體系，從而改變了物理學的面貌，也徹底地改變了人類社會的面貌。本報告系統地解釋了什麼是量子、什麼是力學, 在對量子力學創建過程的回顧中講述構成量子力學的具體內容，然後介紹幾例量子力學帶來的新技術，最後還會談談如何學習量子力學的問題。量子力學從來都不是什麼革命，它只是經典物理學自然的、邏輯的延續。量子力學一如物理學的其它分支，都是人類思想智慧的結晶。量子力學，還有相對論，這些百年前的頭腦風暴，今天應該成為受教育者的知識標配。
2019年12月30日晚，中科院物理所研究員曹則賢在物理所做跨年科學演講《什麼是量子力學？》，本文為演講人親自撰寫的文字稿。
撰文 ∣ 曹則賢（中科院物理所研究員）
內容提要
為什麼要學習量子力學 ？
什麼是量子(quantum)？啥是力學(mechanics)?
量子力學是什麼樣的學問？
量子力學是如何創立的？
量子力學的威力
如何學習量子力學
尊敬的各位來賓，屏幕前的各位朋友，女士們、先生們，這裡是中關村南三街8號中國科學院物理研究所，我是物理所職工曹則賢。接下來我想和大家聊一個比較高大上的話題：什麼是量子力學？具體地，我會聊一聊我們為什麼要學習量子力學，什麼是量子 ，啥是力學 ，量子力學是什麼樣的學問，通過對量子力學創立過程的回顧介紹量子力學具體的內容，通過幾個例子談談量子力學的威力，最後作為結束語我會談談如何學習量子力學。在回顧量子力學創立過程中涉及的人物包括黎曼、玻爾茲曼、巴爾末、普朗克、愛因斯坦、索末菲、裡茲、玻爾、海森堡、約當、玻恩、德布羅意、康普頓、德拜、薛丁格、泡利、狄拉克、馮諾依曼、維格納、外耳、玻色，等等。
許多人會說量子力學很難學，可我要說的是首先量子力學不難學；其次，再難學也要學。大家可能注意到了，此刻我站在這裡講，世界的很多角落裡有人在拿手機看直播。這在幾年前都是不可想像的。從前，孫悟空翻江倒海，玉皇大帝——那可是神仙們的頭兒，也只能派千裡眼、順風耳去看看是怎麼回事。今天我們的人類，可以用望遠鏡巡天，可以在天空俯瞰整個大地。這是一個技術超越神話的時代，而物理學是一切技術進步的基礎。從前慢，慢到一生只夠學會用母語讀小說。但在今天這樣的科技支撐的、高度發達的時代裡，量子力學這樣的上世紀頭腦風暴的產物，也許今天應該成為人們的知識標配。
我們為什麼要學習量子力學呢？量子力學簡直就是一個號稱學物理的人的必備。從前法國先哲龐加萊說過一句話：「雖然人們並不是因為科學就幸福了，但是如今沒有了科學人們可不怎麼能幸福起來。」 仿此，我們可以說：「雖然，人們不會因為懂得量子力學就是物理學家了，但是今天的人們如果不懂量子力學而宣稱自己是物理學家的話，可能顯得有點魯莽！」
量子力學和相對論，據說是現代物理的兩大支柱啊！作為支柱的量子力學我們怎麼可以不學呢？當然了，正確的態度應該是把物理學看成一個不分割的整體，我們努力從不同的方向去學習，追求一種融會貫通的境界。學物理的人，大體會說學量子力學讓我們很happy。按照美劇《生活大爆炸》裡Sheldon 博士的說法：「Quantum physics makes me so happy, it’s like looking at the universe naked .」 如果在中學時期就能學一些量子力學，那就更棒了。不僅你自己感到快樂，還能讓你媽感到快樂。
圖1. Dr. Sheldon: Quantum physics makes me so happy.
什麼是量子 呢？拉丁語形容詞「多少」的陽性、中性、陰性形式分別是 Quantus，Quantum，Quanta. 如今英文的Quantity，quantitate, quantitative 都和數量有關，是定量、量化的意思。在拉丁語系的語言中，比如義大利語， quantum 的同源詞都明顯是多少的意思， 比如Quanto costano ？Quanti anni hai ? 在英語中，quantum 也一直當作「數量」在用。降雨量是quantum of rainfall而不是quantity of rainfall. 在著名的007系列中有一集quantum of solace，被翻譯成了「量子危機」。
其實這和「量子」沒有任何關係。Quantum of solace是舒適度、安全度的意思。過去的江湖人士而今的特工明星到了任何地方，都要有本領迅速評估出環境的安全度。如今在西方的和量子力學有關的語境中, quantum 被當成名詞單數，而quanta 被當成名詞複數用，偶爾也有用quantal的。Quantum mechanics,日本人把它翻譯成量子力學，我們玩的是拿來主義。
什麼是量子呢？可以說一個事物的最小構成單元就是quantum，它具有完整性、不可分辨性。比如，魚群的quantum就是一條一條的魚。將來我們會知道，抽象的事物，比如物理的作用量, action，它的量子是普朗克常數h. 談論量子世界要關注兩個詞， atom和integer, 不要把它們簡單地按照英漢字典理解成「原子」和「整數」，不，它們的正確意思應該按照字面理解，是拉丁語的不可分和不相連。我們的手指頭、腳指頭就分立的、不相連的，對它們計數用的就是integer，1, 2, 3, 4……這些不相連的數。基於這樣的分立對象的就是digital，我們說我們處於數字時代 ，但digital 來自digitus這個詞, 它就是手指頭、腳趾頭的意思。
Atom 和integer就體現了量子的精神，這種精神在日常生活中就有應用。春秋時期，齊景公麾下有三個猛士公孫接、田開疆、古冶子，因居功自傲得罪了相國晏嬰 ，結果「一朝被讒言，二桃殺三士。」為什麼二桃能殺三士呢？因為桃在被「計功而食」的語境中就有了不可分的特性 ，兩個桃子三個人分，只好爭搶。三個猛士因爭搶引起了羞辱感，結果全自殺身亡，這完全是著了人家的量子計謀。
另一例子是，人民解放軍有一位中將皮定均將軍，他規定「吃雞蛋必須以煮雞蛋的形式發到士兵手裡，不許做成雞蛋湯、炒雞蛋。」 煮雞蛋體現的是一個一個雞蛋的分立存在，忽略雞蛋大小的差別，則吃到了就是吃到了，不含糊。與之相對，炒雞蛋、雞蛋湯語境下的雞蛋是攪合到一起的，雞蛋失去了其量子特徵，則就有了很大的含糊的餘地：「二斤雞蛋炒兩個辣椒和二斤辣椒炒兩個雞蛋，都是辣椒炒雞蛋。」量子是存在的最小單元，對於群體由少數幾個單元組成的體系，我們談論它的問題時要抱著一種謹慎的態度，因為這裡要用到不同的處理問題的方式或者哲學。比如2018年 GDP是93萬億元，表示成人民幣的量子就是9300萬億分，是16位數。我們說增長率是6.6%，這個數值純從數學的角度來看是合理的；其實就是說是6.612724568932% 也行。
但是，我們說某單位工資比去年漲了6.61% 就可能不是很科學，因為可能就是分幾檔漲的，漲工資更多的是關係到個人的事情，含糊的、近似的6.61% 的說法數學上沒大毛病但也不科學。而若是提到誰家的人口增長，比如老王家的人口增長6.6%, 雖然只到小數點後一位，也顯得不是人話。這種情形，說清楚老王家到底幾口人添了幾個孩子才恰當。大家這時應該感覺到了吧，量子的概念不是多麼邪乎的存在，它存在於我們的日常生活中。
圖2. 二桃殺三士，選自《南陽漢畫像石精萃》
那麼quantum mechanics中的mechanics 是什麼意思？mechanic是機械，弓箭、拋石機是人類最早的機械，機械手錶是機械製造的巔峰。Mechanics, mechanism，說的是機巧、道理、機制，how it goes，類似漢語的「道」。早先人們用機械觀來理解遇到的各種物理現象，故有熱的機械觀 ，電的機械觀，原子的機械觀。Mechanics 被譯為力學是錯譯，英語裡的力學是theory of force，德語為die Kraftslehre，但是力的概念在1894年已經被赫茲踢出了物理學，後來的物理學基本不拿力來說事情。Quantum Mechanics ，字面上大約可以理解為關於小物理量世界的道。
量子力學是1900-1928年間一夥兒天才的頭腦風暴的產物，他們幾乎都出現在這張照片裡。這張1927年第五次索爾維會議的合影據說是人類有史以來智商和最高的合影，沒有之一。這些天才們之所以能有這樣偉大的成就，只不過是因為確實是天才；確實早學了數學與物理；恰巧在那個時空點上。1927年的第五次索爾維會議，其主題是電子與光子。那一年，光子一詞剛在前一年被創造出來。電子與光，就是量子力學，當然也是相對論，關切的對象和思想來源。我個人認為「光是人類同遠方的唯一聯繫，是第一物理對象和工具！」 關於光的性質，人們下意識中都能體會到。
關於光，電影《地道戰》的一段唱詞特別好。「太陽出來照 四方，毛主席的思想閃金 光，太陽照得人身暖 哎，毛主席思想的光輝照得咱心裡亮 ，照得咱心裡亮。」 短短四句，把光的性質說全了。而電子呢， 也叫陰極射線、β粒子，是1859-1909年間被以不同面目發現、被用多種方式研究的，它對物質的諸多電性質負責。注意，它的發現始終是和光聯繫在一起的。
圖3. 1927年第五次索爾維會議參會者的合影
量子這個概念，最先走進科學，是黎曼1854年的論文Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen 。在這篇論文中黎曼提出了流形的概念，奠立了微分幾何 ，還第一次將量子用於科學：「流形之通過某些特徵或者邊界想區分的部分稱為 Quanta. Quanta的比較依其性質或者通過計數得來的分立量，或者通過測量得來的連續量。」
圖4. 黎曼1854年的論文截圖
和量子力學有關的能量量子的概念，應該出現在玻爾茲曼 1877年的論文裡。為了得到氣體的麥克斯韋分布，
玻爾茲曼引入了能量單元的假設。一個 n個粒子的體系，每個粒子具有個能量單位的能量，則總能量一定的平衡態是什麼樣子？這個問題等價於在約束 n0+n1+…+np=n ，和 0*n0+1*n1+…+p*np=E下求狀態數
的最大值。利用拉格朗日乘子法，可得結果為
此正是麥克斯韋分布。但是，玻爾茲曼在得到這個分布函數後的應用中，又翻過頭來把能量當成了連續的物理量加以處理。能量是連續的，在十九—二十世紀之交的那個年代，是物理學家頭腦中根深蒂固的觀念。
圖5. 黑體輻射示意圖及實驗得到的譜分布
到了1900年，為了擬合黑體輻射的實驗結果，即找出空腔中光的能量密度同頻率的關係，熱力學老師普朗克 大膽地從熱力學著手。普朗克主要是在維恩工作的基礎上往前摸索的。他從熵概念出發，假設
也即
解得平均能量Uν為
則能量密度為
同實驗結果符合得非常好。幾天以後得到其中的常數 h=6.55x 10-34Js。
這個公式的巨大成功帶來了極大的困惑。於是，普朗克另闢蹊徑。普朗克假設 P=Uν/ hν 是個整數 ，這P 個能量單元來自N個頻率為ν的諧振子 ，則平衡體相當於求
的最大值。利用 S = k logW ，得
進一步地可得
這樣普朗克從兩種不同路徑得到了黑體輻射公式，這個公式從此就叫普朗克規律 ，他現在必須認真對待他的假設了。 P=Uν/ hν 是整數，這意味著 hν 是光的能量單元？光的能量真有單元，還和頻率成正比，啥意思啊？普朗克覺得很難接受。
1905年，愛因斯坦 利用輻射的基本能量單位的假說，成功解釋了光電效應。他進一步假設固體吸收光也是以吸收整個能量單位方式進行的，這樣出射的光電子動能為
，就能很好地解釋光電效應的測量結果。至此，光有能量單位塵埃落定！後來，愛因斯坦還提出光的能量單元還有動量單元 hν/c。
圖6. 氫光譜的照
量子力學的另一個起源是光譜學的研究。氫氣的液化溫度是20.28 K，氫是倒數第二個被液化的氣體，有了液化氫就有了純淨的氫氣。氫氣放電的光譜那時可見四條線，波長為6562.10，4860.74，4340.10 和4101.2 Å。這四個波長包含什麼秘密呢？1885年巴爾莫老師發現這四個數是3645.6的 9/5,16/12,25/21和36/32 倍。寫成公式就是正比於
，n=3, 4, 5, 6. 那麼，n=7呢？代進去，果然發現有第五條譜線。這說明氫的光譜線還真是有規律的。裡茲建議把公式
倒過來，寫成
的形式。這引導人們猜測也許
對應的波長處都有譜線，實驗發現果然如此。那麼如何解釋這個
的規律呢？
圖7. 氫光譜的示意圖
1913年，玻爾提出了氫原子的行星模型，他認為光是電子從高能量軌道向低能量軌道跳躍後發出的，這解釋了
公式裡的減號。可是，行星體系的能量是連續的啊，為什麼在氫原子體系裡變成了
。玻爾假設電子的軌道角動量是量子化的，
，在這個前提下去解平方反比力下的兩體問題，得
氫原子光譜線的頻率，或者譜線出現的位置，問題得到完美解決。
然而，注意光譜線，譜線的特徵除了位置，還有亮度、寬度、精細結構、簡併度等諸多問題。12年後的1925年，在哥廷恩給玻恩當助手的海森堡試圖回答譜線的強度問題，引出了矩陣力學。注意，譜線和兩個軌道有關係，那譜線強度也應該和兩個軌道有關係。如果把一組能量橫排，然後豎著排，看它們之間的能量躍遷，會得到了一個矩陣。海森堡試著從軌道的傅立葉展開中引入頻率，將之表示為兩項之差的方式。如果認定譜線是來自振蕩的話，其強度應該是和振幅的平方成正比。注意，此時愛因斯坦已經指出：「輻射強度的概念應該用經典的躍遷機率的概念替代。」海森堡將他的這一套思想試著在諧振子上尋找思路，得到了x(0)和p(0) 的表達式
然後呢，然後他也不知道怎麼辦好了，就把結果寫了下來，放到玻恩教授的辦公桌上，自己度假去了。玻恩教授認出海森堡寫成的東西是數學裡的矩陣。玻恩計算矩陣形式的xp，發現
這是有別於玻爾量子化條件的量子化條件。注意，除了愛因斯坦的輻射強度的概念應該用經典的躍遷機率的概念替代思想以外，還要注意經典概率的算法，比如從A 經過一些中間步驟到B的概率計算，就是矩陣的乘法！玻恩將海森堡的這些內容整理後以海森堡的名義發表。玻恩的助手約當 發現如接受
則這意味著
即動量是關於坐標的微分算符。後來，玻恩和約當一起發了一篇文章，玻恩和約當、海森堡一起發了一篇文章，這就是關於量子力學的一種形式，矩陣力學，的三部曲，即
1）. W. Heisenberg, über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen ，Z. Physik, 33 879.
2）. M. Born and P. Jordan, Zur Quantenmechanik , Z. Physik, 34 858.
3）. M. Born, W. Heisenberg, and P. Jordan, Zur Quantenmechanik II , Z. Physik, 35 557.
同時期，英國的狄拉克獨立地發展了躍遷概率理論。
在另外的方向上，1923年，康普頓研究X-射線的電子散射, 發現散射後散射角越大，X-射線變得越長。康普頓接受光的量子有能量
和動量
的說法，利用經典的彈球碰撞模型，求得散射後X射線波長同散射角之間的關係，即康普頓散射公式
這是光有粒子性的一個證據。1923年德布羅意 (Louis de Broglie, 1892-1987)提出了物質波的概念，粒子的波長為
頻率
。德布羅意的博士論文傳到德國，愛因斯坦表示說「很有意思」，德拜嘟囔了一句「總該有個波動方程吧？」而薛丁格 ，他早就對經典力學-經典光學之間的類比有深刻研究，很快就領會了德布羅意論文的內容。薛丁格於1925年聖誕節上了一個滑雪場，在那裡待了一周，得到了著名的薛丁格方程
他將這個方程應用到了氫原子上，得到方程形式為
複雜得嚇人，其解
也很嚇人。其得到的量子化的能量為
但是這個公式，與玻爾的結果有大的飛躍，這裡的能量是三個變量或曰量子數的函數。這樣，量子力學就有了第二種形式：波動力學。薛丁格的文章題目為量子化是本徵值問題 ，題目大有深意。文章分為四部分，分別為Erste Mitteilung: Ann. Phys. 79, 361；Zweite Mitteilung: Ann. Phys. 79, 489；Dritte Mitteilung: Ann. Phys. 80, 437；Vierte Mitteilung: Ann. Phys. 81, 109.
到1926年，光的粒子性和電子的波動性算是確立了，於是化學家路易 造了photon一詞。1927年，1927年，戴維森 和革末用電子束轟擊Ni晶體。玻恩認識到那花樣是晶體對波的散射的結果。至此，電子具有波動性質得到確認。
那麼，薛丁格方程
的主角，波函數
的物理意義是什麼？按照薛丁格的說法，
是電子的電荷在空間中的分布，而玻恩指出電子是粒子
是電子在空間體積元
出現的機率，這就是波函數的機率詮釋。這個詮釋同波函數作為矢量的性質是相關的。對波函數有許多不負責任的詮釋。
1924年泡利推斷電子還存在一個二值的自由度，並提出了「不相容原理」，指向了電子自旋這一內稟自由度。泡利矩陣是描寫自旋角動量的數學工具。1927年，泡利針對薛丁格方程給出了
形式的哈密度量，包含電子同電磁場的相互作用，將這個哈密頓量用之於薛丁格方程
則必須要求波函數是二分量的，
這個意義下的薛丁格方程也稱為泡利方程。泡利還於1930年預言了中微子的存在。
在這段時期，英國的狄拉克 在量子力學創立方面不斷取得進展。他發展了躍遷概率理論，從經典泊松括號得到了一般意義下的量子化條件
他還想得到相對論版的量子力學。從相對論質能關係 E2=p2c2+m2c4 出發，得到的
後來發現只能描述自旋為0的粒子，不適用於電子。於是，狄拉克嘗試把二次型 E2=p2c2+m2c4 降解到線性的層次，即嘗試做因式分解 x2+y2=(αx+βy)2 。狄拉克發現若 α2=β2=1 ，αβ+βα=0，則完成所需的因式分解。對於二次型 E2=p2c2+m2c4 ，這樣的分解要求α，β至少是 4×4 的反對稱矩陣。狄拉克構造了這樣的矩陣，寫出了相對論量子力學方程
這裡的波函數ψ是四分量的。狄拉克為了解釋他的量子力學方程的解，不得已於1931年提出了反電子的概念，反電子隨於1932年被發現。
圖8. 光子轟擊原子核產生電子-正電子對過程的氣泡室內粒子徑跡照片
關於量子力學，維格納也是要提的，他和外爾 一起將群論引入了量子力學，有了群論的量子力學才能理解光譜的各種特徵，包括譜線在電場下和磁場下的分裂。1922~1925年間，維格納在其博士論文中首次提到分子激發態有能量展寬Δε, 它同平均壽命Δt 通過關係式Δε·Δt ~h相聯繫，而海森堡提出Δx·Δp ~h的不確定性關係是在1927年。當然了，不存在什麼不確定性原理所宣稱的那些問題，比如什麼粒子位置測量得越準確、動量就越不準確。如果大家拿一維方勢阱和諧振子的精確解計算一下的話，會發現位置和動量的不確定性是正相關的！
外爾首先是個數學家，業餘時間對量子力學和相對論都有貢獻，還創立了規範場論。據信是外爾幫助薛丁格求解了氫原子的薛丁格方程。外爾這樣的數學家做的物理才更像物理。
1924年，印度人玻色 在假設相空間具有體積單元h3 的前提下也得出了黑體輻射公式。愛因斯坦接著玻色的工作發展起了玻色-愛因斯坦統計。自旋為整數的粒子都滿足玻色-愛因斯坦統計，被稱為玻色子。玻色1924年的兩篇德語論文 都是愛因斯坦翻譯的，這是科學史上難得的一段佳話。
1926年，馮·諾依曼 指出，算符的本徵態張成一個矢量空間併名之為希爾伯特空間，量子態可以看成希爾伯特空間中的一個矢量；1932年，馮·諾依曼撰寫了《量子力學的數學基礎》一書。
關於量子力學還有個關鍵的人物，索末菲A 。索末菲和玻恩一樣，是導師的大老師級的人物，泡利、海森堡、德拜 、貝特 、鮑林 這些諾獎得主皆出自其門下。索末菲認為玻爾模型把電子限制在一個平面內，簡化得太狠了些，電子是在整個三維空間內繞原子核運動的。三維空間內繞一點的運動可由距離r和兩個角坐標，傾角θ和方位角ϕ，來描述。傾角θ和方位角ϕ分別引入了第二和第三量子數。1916年索末菲引入三維的量子化模型，
量子化的條件為
解出的能量形式為
也就是說，玻爾模型裡的那個n，是這裡的k。索末菲的工作是舊量子力學的關鍵。
至此，我們有了薛丁格方程、泡利方程和狄拉克方程、克萊因-戈登方程，有能量量子化、作用量量子化和相空間量子化，量子力學的大框架就算有了。相空間量子化讓統計意義的量子力學走向了量子統計。如果要問什麼是量子力學，量子力學就是由量子力學方程及伴隨的概念、觀念所構成的一個物理理論體系。量子力學是一個集體智慧的結晶，是人類發展史上罕見的頭腦風暴爆發。因為對發展量子力學的貢獻而獲得諾貝爾物理學獎者包括普朗克、愛因斯坦、玻爾、康普頓、德布羅意 、海森堡 、薛丁格與狄拉克、泡利 、玻恩，等等。其中，愛因斯坦獲得的是1921年空缺的，玻恩則遲至1954年才終於獲獎，而偏偏這兩位才是奠立量子力學的關鍵人物。人世間的事兒啊，想來令人唏噓。
回顧一下量子力學的創立過程，發現它就是一個靠猜。構造量子力學，或者說構造近代物理，這是一門藝術。用玻恩的話說，是猜出正確公式的藝術。有人會問，量子力學客觀嗎，量子力學正確嗎？關於客觀性，我覺得這是個偽問題。人類的物理學，取決於人這種存在自身的物理及其與環境間的相互作用，必然打上人的烙印，而且是特定時代的人的烙印。古希臘智者色諾芬尼 說，「如果牛有上帝，牛的上帝一定長有犄角。」 可以想像，螃蟹設計的汽車，註定是橫行的。怎麼可以要求我們人類創造的量子力學是客觀的呢？它一定或多或少地帶上人類的烙印。
量子力學正確不正確？我不知道。我只知道周期勢場下薛丁格方程的解告訴我們什麼是導體，什麼是絕緣體。於是有了半導體的概念。半導體可以有n-型和p-型兩種載流子，電導率可以在十幾個數量級範圍內變化，可以製成不同的結。由此才有了電子學和我們的信息化社會！量子力學導出的氫原子能量是四個量子數
的函數。ms只取兩個值，而對於給定的自然數n，
，
，故對於給定的n, 四個量子數
的組合共有 2n2 種可能。2n2=2, 8, 18, 32…, 看到2,8,18,32你想起了什麼？對，元素周期表。量子力學解釋了元素周期表就該長成那個樣子。普朗克分布律是量子力學的緣起，1917年，愛因斯坦利用輻射~物質相互作用處於熱平衡的模型重新得到了普朗克分布 。 其中提出了受激輻射的概念。受激輻射是雷射的概念基礎。1960年，人類製造出了雷射器。
量子力學是一夥兒天才們的頭腦風暴的產出，如今應該是受教育者的知識標配，至少該是中學生的知識標配。那麼，如何學習量子力學呢？如果你關注創造史，可以讀讀Mehra的The historical development of quantum theory；如果你關注哲學，可以讀讀Jammer 的The philosophy of quantum mechanics；如果你關注創立者的工作手冊，可以讀讀Dirac 的The Principles of quantum mechanics；如果你關注量子力學的數學，可以讀讀Von Neumann 的Mathematical Foundations of quantum mechanics；如果你關注量子力學新論，可以讀讀Weinberg 的 Lectures on quantum mechanics；如果你關注習題集，可以讀讀Flügge 的Practical quantum mechanics，如果你關注最淺顯的入門，可以讀讀曹則賢的《量子力學~少年版》。
量子力學量力而學，但其實量子力學「說難學，也好學。人家咋著咱咋著！」我必須再次強調，量子力學是一門嚴肅的學問，是經典物理的自然延續。人們學習量子力學的困難主要在於沒有認真學過經典物理。在學習量子力學之前，如下的預備知識應該是學過或者至少聽說過的，這包括但不限於經典力學、經典光學、電磁學、流體力學、熱力學、原子物理、場論、相對論……. 微積分、變分法、常微分方程、數理方程、複分析、概率論、傅立葉分析、線性代數、群論、不變量理論，等等。
Quantum physics makes me so happy. 學習量子力學還可以讓媽媽高興！