「……衛星被準確送入近地點738公裡、遠地點750公裡、傾角98.5度的太陽同步軌道……」不少人犯嘀咕，近地點和遠地點總是有偏差，為什麼就不能打個漂漂亮亮的標準圓軌？殊不知，這細小的偏差是刻意而打的小偏心率橢圓軌道，本期介紹一種在攝動中尋得寧靜致遠的實用衛星軌道——凍結軌道。
在《太陽同步軌道，傾角總在98度處》文中講到採用太陽同步軌道的衛星能利用較為穩定的太陽入射條件，在相同光照條件下重複觀察地面目標，這似乎是非常完美的解決方案！可高性能的測地衛星要求在不同時間通過同一地區時的高度儘可能不變，但衛星橢圓軌道的長軸（又稱拱線）會因為攝動在軌道面內旋轉，衛星通過同一緯度地區時的高度會有幾十公裡高程變化。
對衛星高度進行軌道機動修正顯然是非常費神燒錢的手段，因此獲得的遙感數據就需要根據衛星星曆進行大量的高度補償和幾何修正等後期處理工作，這對於地形測繪、海洋勘測等高精度要求的衛星觀測項目來說變成了攔路虎，本期介紹目前應用廣泛的凍結軌道，這種軌道拱線方向固定、偏心率小，衛星飛越等緯度地區上空的高度如一，對於測地等進行垂直剖面的科學測量非常有利，常被用於大氣探測衛星、海洋衛星、陸地衛星等。
圖1.橢圓軌道拱線旋轉造成衛星通過同一緯度地區時的高度會有幾十公裡高程變化
說起這個凍結軌道的起因要回溯到1972年，當年美國國家航空航天局（NASA）啟動了Seasat衛星（海洋衛星，下簡稱海衛）項目，這是第一顆專門用於海洋觀測的多傳感器衛星，收集有關海風，海面溫度，浪高，海洋地形，大氣水含量和海冰形態和動力學的數據，是第一顆運用星載合成孔徑雷達技術（SAR）的海洋勘測衛星（詳見《看天線，識衛星——漫談衛星天線（三）》）。
海衛衛星依靠合成孔徑雷達成像，解析度達到25米；依靠高精度雷達測高儀測繪，星下點海浪測高精度達到±10cm，為了提高測繪精度，最大程度地減少軌道擾動的影響，使儀器的數據質量最大化，NASA在衛星項目書上列了很多約束條件，對衛星運行軌道提出了很高的要求，要求軌道高度控制在858公裡～761公裡區間內，高度變動控制±50米/秒，要求偏心率越小越好。
這個開拓性的海衛項目交給了JPL（噴氣推進實驗室）具體負責，項目組中有一位非常能幹的專家伊利奧特·卡廷（ElliottCutting），順便說一句，就是這位卡廷在1965年敏銳的捕捉到引力彈弓技術，並慧眼識才、穿針引線促成了旅行者號的行星之旅計劃，1974年獲得NASA卓越服務獎章，這是NASA排名第二的高規格榮譽。在海衛項目中，卡廷帶領他的團隊開展了攻堅。
卡廷帶領的小組認為解決這個問題的方案有兩個方向，一是能否找到一股神奇的力量，把橢圓的拱線固定不變，固化近地點輻角；二是減小橢圓的偏心率，儘可能接近圓形並維持不變。從數學角度定義這兩個目標即為：近地點輻角（升交點到近地點的地心張角）對時間變化為零，偏心率對時間變化為零。
基於勃勞威爾（DirkBrouwer）在1959年發表的《Solutionof the problem of artificial satellite theory withoutdrag》中的軌道力學攝動理論，考慮地球非球形攝動的一階、二階項，即J 2和J 3項，J 2表徵地球的扁率，常稱為地球扁率攝動，是地球非球形的主要攝動，J 3項則反映地球南北不對稱，地球呈梨形，北極地區約高出18.9米，南極地區則凹陷24～30米，把攝動函數代入拉格朗日攝動方程，要達到拱線和偏心率固定下述兩式要為0！
公式中R為地球半徑，n為衛星平均角速度，a為軌道半長軸，i為傾角，e為偏心率，ω為近地點輻角。先簡化問題，僅考慮J 2項，令J 3=0，dω/dt方括號內等於1，de/dt=0，凍結軌道存在條件簡化為1-5(sini)^2/4=0，即上式標紅部分，可以得出軌道傾角等於63.4或116.6度，這個傾角即為臨界傾角軌道，也就是大家熟悉的閃電軌道或莫爾尼亞（Molniya）軌道，蘇聯的「閃電」號通信衛星傾角選擇了大偏心率臨界傾角軌道，避免了橢圓軌道拱線漂移，衛星遠地點始終在蘇聯領土上空，加之衛星在遠地點的速度最小，故可以在較高的高度運行較長的時間，保持蘇聯國內較長的通信時間。不過要補充一句，閃電軌道面存在進動，並不是嚴格意義上的「靜止」，在蘇聯沒有合適的大型運載火箭發射地球靜止軌道通信衛星時，就一直採用3顆閃電通信衛星實現高緯度地區通信，可以說是低配版的靜止軌道通信解決方案。
肩負極地冰層覆蓋普查的近地軌道海衛衛星顯然不能採用臨界傾角，因為阿拉斯加北部海灣的緯度達到72度，超過了63.4度的傾角，所以近地軌道要實現對全球有效測量不能選擇這種特定傾角方案。那麼聯合考慮地球扁率J 2和J 3的疊加攝動影響，如果ω=90°或者270°，cosω為0，下式de/dt=0，再令上式方括號藍色部分為0，對於1000公裡以下的近地軌道，把ω=90°代入並忽略偏心率的高階小量，可以得到
也就是說當偏心率、傾角和軌道半長軸成一定關係，這個軌道的拱線偏心率就能固定，而不像閃電軌道需要特定的臨界傾角。經過計算，偏心率在千分之幾的範圍內，能非常好的滿足海衛衛星的任務需求，另外凍結軌道是動力學方程的一個穩定平衡解，偏心率和近地點幅角的長期變化項為零，一旦軌道調整到這種軌道標稱值附近，後續拱線將在一個較小範圍內振蕩，不需要進行主動控制。卡廷把這種軌道命名為凍結軌道(FrozenOrbit)，並把整個推導過程記錄下來，這17頁的報告《Missiondesign for Seasat-A, an oceanographic satellite》於1977年在AIAA發表。
1978年6月26日，海衛-1衛星從加利福尼亞州VAFB（范登堡空軍基地）發射進入傾角=108º，遠地點=799 km，近地點=775 km，周期=101分鐘的軌道，這是第一顆採用「凍結軌道」的衛星，軌道的近地點保持在90度時，衛星飛越同一緯度地區上空的高度如一。任務初期非常順利，入軌10天後SAR系統即啟用，但後續由於電源系統短路，海衛-1在軌運行僅105天後即退服。不過它已對地球表面多達1億平方千米的面積進行了全天候測繪，收集的海洋測高數據比過去一百年依靠船隻研究獲得的信息更多，海衛項目成為衛星海洋學的先驅。
圖3.1978年8月27日的Seasat合成孔徑雷達圖像顯示了麻薩諸塞州的海岸
但事實上，太陽同步軌道合理處理傾角、偏心率和半長軸之間的關係，同樣可以達到凍結的效果，並且兼顧回歸特性。LANDSAT系列光學地球資源衛星進行了太陽同步回歸軌道+回歸+凍結軌道的嘗試，希望對得到的遙感光學圖像的幾何校正工作降至最小。LANDSAT-5為了進入凍結軌道可以說是志在必得，精心設計了入軌方案：
1、軌道負偏置，入軌做加法：實際發射任務中，運載火箭受到各種因素影響，不會一步到位把衛星直接送入準確的目標軌道，需要衛星通過自身發動機來進行入軌和後續的軌道調整維持。而火箭如果把衛星射高了，衛星還需要180度掉頭減速才能降低軌道高度。LANDSAT-5入軌方案穩妥保守，僅要求運載火箭把衛星送入離目標凍結軌道低約12公裡的初始軌道，即初軌的半長軸留了12公裡的負偏置，後續自己來，依靠衛星多次點火加速，提升軌道並精確入軌。
2、8次點火，推力校準精確入軌：計劃實施8次點火，初期小步快跑，200米為單位提升軌道半長軸，並校準推力係數，後續6次較長時間的點火滿足精確入軌和與LANDSAT-4衛星工作周期的調相，兩顆衛星軌道相位相差180度，黑白兩班倒負責對地球24小時觀測。
這個策略穩紮穩打，LANDSAT-5於1984年3月1日從范登堡空軍基地發射，從3月7日到4月4日，LANDSAT-5通過8次點火升軌操作，準確進入太陽同步回歸凍結軌道，並和LANDSAT-4聯袂，晝夜不停實現8天對全球的觀測。在這次發射中，德爾他3920火箭給衛星傾角一個正偏置，滿足未來18個月中，太陽、月亮引力對衛星傾角的攝動影響。LANDSAT-5衛星超長服役，一直工作到2013年，整整30年所獲影像是迄今為止在全球應用最為廣泛、成效最為顯著的地球資源衛星遙感信息源之一，這當中凍結軌道對於減輕遙感數據的後期處理髮揮了不小的作用。後續，歐洲的地球觀測衛星ERS-1，ERS-2和Envisat也選擇了太陽同步凍結軌道。
儘管卡廷在論文中寫的凍結軌道方程看上去簡單，但如果仔細計算，按照論文中的公式，凍結軌道的偏心率為0.001，但最終給出的結論是0.0008，差值達到約20%。事實上，最早由庫克（G.E.Cook）在1966年進行的分析，僅考慮地球重力場J 2和J 3兩項並不能準確計算凍結偏心率，對於傾角為50到130度的軌道，考慮J 2～J 21帶諧項計算得到的凍結偏心率要比僅考慮J 2和J 3兩項低約20%，這背後的推導相當複雜，但論文中並沒有展開，如果沒有吃透凍結軌道的精髓後果不堪設想。
國內不少學者在上世紀80年代及時開展了跟蹤研究，其中南京大學劉林教授和北京空間飛行器總體設計部的楊維廉研究員深入研究了這種軌道的存在條件、特徵、穩定性和應用並發表了多篇論文。
圖4.左為南大劉林教授（1936～），右為現任中國空間技術研究院軌道設計師楊維廉研究員（1941～）
兩位老前輩辛勤工作，開展的大量基礎研究為後續國內突破凍結軌道技術立下了汗馬功勞，1999年10月14日我國發射地球資源衛星「資源一號」01星，這是我國第一顆實時傳輸型對地遙感衛星，在國內首次突破了太陽同步回歸凍結軌道控制技術，其入軌策略和美國LANDSAT-5可以說是英雄所見略同，初軌34km負偏置、5組7次軌道機動策略獲得了極高的太陽同步回歸凍結軌道入軌精度，衛星沿不同軌跡通過同一緯度時的高度只有百米量級的變化，另外保留傾角正偏差節省10公斤推進劑。「資源一號」01星的首發成功被兩院院士評為1999年中國十大科技進展之一，達到了國際先進水平。
事實上凍結軌道是各種常諧項平衡的結果，即偶次帶諧項引起的近地點輻角的長期攝動被奇次帶諧項引起的長周期攝動所平衡，這句話如同上述公式一樣，會讓讀者感覺軌道力學的高深和晦澀……航天確實非常難，但要感謝劉林和楊維廉兩位老師，他們不僅在學術上是領軍人，而且還編寫了大量的教材，為國家培養了很多軌道力學人才，桃李滿天下。兩位專家的步伐並未就此停止，他們的目光轉向了深空探測，研究在地外行星是否存在滿足測繪需要的凍結軌道，劉林老師在2003年6月發表了《關於大行星(或月球)軌道器的凍結軌道》，楊維廉擔任了嫦娥一號衛星軌道設計師，培養了團隊並發現了在極月軌道附近存在圓形的凍結軌道，2011年5月發表《火星衛星的凍結軌道研究》，這些基礎理論研究成果的發表，讓我們值得期待今年我國在火星探測項目上的跨越式邁進！
1.Cutting,E., Born, G. H., Frautnick, J. C., McLaughlin, W. L., Neilson, R. A.,and Thielen, J. A.: 1977, 「Mission design for Seasat-A, anoceanographic satellite,」 AIAA Paper no 77–31.
2.楊維廉,資源一號衛星軌道:理論與實踐，太空飛行器工程2001年3月刊