面上的等周問題是微分幾何的基本問題之一，研究歷史悠久，若要完整的講述其中的故事，我們不妨從亨利普賽爾（Henry Purcell, 1659-1695）最著名的歌劇《狄朵與埃涅阿斯》（Dido and Aeneas）聊起。這部歌劇取材於維吉爾（Virgil）的史詩《埃涅阿斯紀》（Aeneid），演繹了迦太基（Carthagia）女王狄朵和特洛伊英雄埃涅阿斯的愛情悲劇，歌劇中女巫姐妹為了破壞他們的愛情，欺騙埃涅阿斯離開迦太基去完成一項使命，狄朵誤以為他背叛了自己，於是自焚身死。
據說公元前814年，狄朵與埃涅阿斯的相遇其實並不浪漫，她一生命途坎坷，在此之前因丈夫被暗殺而被迫逃離故土，她一路逃亡來到北非海岸突尼西亞，想向當地人買一塊地皮，但屢遭拒絕。狄朵說：「我只要一塊牛皮能圍起來的面積就可以了。」當地人慷慨同意，卻未料到腓尼基人過人的智慧：他們將牛皮剪成小條，在海岸邊圍成一個面積最大的半圓形，建立了迦太基，昌盛一時。
在這裡我們看到了等周問題的影子——在給定的周長內圍住儘可能多的土地面積，遺憾的是這位潛在的女數學家選擇將生命獻給愛情，最終這個數學問題還是由古希臘數學家給大致解決了。
這個結論早已被人熟知，但要嚴格地證明，卻實屬不易。在所有周長相等的圖形當中，圓擁有最大的面積；同樣地，在所有面積相等的圖形當中，圓擁有最短的周長。這是數學中一個非常重要的結論，數學家們把它稱作「等周定理」。雖然直到19世紀，數學家們才嚴格地證明了等周定理，但早在古希臘時代，人們就已經認識到了圓的這個漂亮的性質。難怪古希臘大哲學家畢達哥拉斯會把圓看作是最美麗的圖形。
以等周定理為基礎，巧妙地利用軸對稱的方法，我們還可以解決很多與面積最大化或者線路最短化有關的問題。在這裡，我想給同學們留下兩個思考題。閱讀答案之前，不妨自己先仔細想一想。
問題1：如何用給定長度的柵欄在90度的牆角處圍出一塊面積最大的空地？
問題2：給定一個等邊三角形，如何用一根最短的線條（不一定是直線）把它分成面積相等的兩部分？
問題1的答案：圍出一塊90度扇形的空地。把整個圖形連續翻折三次，於是這段柵欄會變成原來的四倍長，並形成一條封閉曲線。我們只需要讓這條封閉曲線內的面積最大即可，而當這條封閉曲線正好是一個圓的時候，它內部的面積達到最大。因此，原問題答案便是，在牆角處圍出一個90度的扇形。
問題2的答案：一段60度的圓弧。把等邊三角形連續翻折五次，得到一個正六邊形。等邊三角形中的那根線條就會變成原來的六倍長，並且圍成了一個封閉圖形，其面積應該等於整個正六邊形面積的一半。我們的目標就是讓這個封閉圖形的周長最小，顯然我們應該讓這個封閉圖形正好是一個圓。因此，給定一個等邊三角形後，平分其面積的最短線條就是一段60度的圓弧。
最早嘗試證明的，是公元前2世紀古希臘的芝諾多羅斯。他先證明了：
1.等周的多邊形中，正多邊形面積大
我們準備任意一個多邊形。周長不變的情況下，要使它的面積大，那麼任意兩條相鄰邊，必須是相等的。
這是因為，對於兩條相鄰邊AB和AC，因總周長不變，有AB＋AC不變，A的軌跡恰是一個橢圓；所以當△ABC面積最大時，BC邊上的高最大，此時A是短軸端點，有AB＝AC。以此推類，得到任意一條邊都相等，因此正多邊形面積更大。
2.等周的正多邊形中，邊越多面積越大
我們再準備任意一個正n邊形。從中心聯結各個頂點，像切蛋糕一樣把它分成許多三角形。令周長為C，每個三角形的高為h，那麼總面積就是Ch。通過解三角形，能求出。
通過求導可知，隨著n變大，h也變大，而C不變；故邊數越多，該正n邊形面積越大。
綜上，通俗地說，面積要大，邊數就要多，就變成了「正無窮邊形」，那麼它是什麼？它正是一個圓。
所以芝諾多羅斯定下結論：等周的圖形，圓形面積最大。然而，從多邊形變成圓，看似小小的一步，實則牽涉到極限的討論。而當時對微分、無窮角的思想一頭霧水，所以該證明未被彼時世人所承認。
隨之而來的中世紀，人們專注於其他有趣的數學問題，連屬於三大數學家的歐拉、高斯也未鑽研該猜想，所以等周定理一度陷入一籌莫展的境地。
直到1839年，德國數學家雅可布斯坦納，才給出了第一個真正意義上的證明。我們來看一看他巧妙的證明。一個圖形面積最大，它必須滿足：
1.它一定是外凸的內凹的圖形可保持周長不變，通過翻折得到更大的圖形。
2.圖形的一條弦平分周長，那麼它一定平分面積
以平分周長的弦為分割線，左右兩邊面積一定相等，否則可通過翻折得到更大的圖形。
3.一條曲線與其兩端點所在直線組成的圖形，半圓面積最大
這點需要仔細講講。首先，曲線可為任意形狀，但總長是定值C。聯結曲線的兩個端點A和B，要使這個圖形面積最大，它至少需滿足定理1和2，即它是凸的。
現在我們在曲線上任取一點P，聯結PA與PB，將圖形分成三部分。因曲線長C不變，故左右兩部分不變，只有△ABP面積可以改變。
而△ABP面積最大時，PA與PB垂直，即P在以AB為直徑的半圓上。又P為曲線上任意一點，因此P的軌跡是一個半圓，即面積最大的圖形為半圓形。證明完了上述命題，我們取兩個半圓拼在一起，得到一個圓，則這個圓是等周圖形中面積最大的，這就證明了等周定理。
那至此就徹底解決了等周定理嗎？事實上仍然沒有。上述證明看似已經非常合理，數學家卻不以為然，提出質疑：這一切的前提都是，面積最大的圖形是存在的；如果不存在，上述證明只是無用功。可見解決問題的同時，往往會有更多問題層見疊出，並吸引數學家們砥志研思；而這正是數學乃至其他學科能蓬勃發展至今的原因。
斯坦納等一眾數學家的努力讓大眾相信，脫離了代數與分析的數學仍舊是強大的武器，但我們同時又會如此真切地感受到幾何與方程碰撞產生的奇妙結果。因為下文會用到面積公式，不妨先用幾何的方法來推導一下。
於是數學家們孜孜不倦地繼續尋找證明。時光荏苒，1870年，德國數學家魏爾斯特拉斯，用變分法第一次嚴格地證明了等周定理。變分法是處理函數的數學分支，關鍵定理是歐拉——拉格朗日方程，在數學、理論物理學、經濟學中有很大作用。證明過程較為複雜，在此略去。
隨後，1901年，赫爾維茨憑傅立葉級數和格林定理，給出純解析的證明。不少數學家也相繼給出證明，其中一些人使用了初等數學，是很簡單的。
三角形的面積誰都會算，但換一種思路，運用幾何直觀便可得到另一種表達方式。首先引入三角形的外接矩形，之後按照填補色塊的思路簡單推導就得到的另一種形式的面積公式。若將三角形頂點置於平面坐標系的第一象限中，逆時針方向賦予頂點坐標，則三角形面積為 A=(x1y2-x2y1)/2。
式。值得一提的是，斯坦納的證明皆是基於解的存在性假設，這一點使他的證明並不嚴謹，甚至有同行用歌劇中狄朵的最後一句話來調侃他：「銘記我，但啊，忘了我的命運吧。」（Remember me, but ah! Forget my fate.）如此看來，幾何方法還需要與其他數學知識相結合才能更好地發揮其效用，因此在十九世紀與其他數學學派的競爭中，以斯坦納為首的堅持純幾何方法的學派明顯處於了劣勢。
如我們所熟悉的等周定理的兩個共軛命題：
I 所有周長相等的平面圖形中，圓面積最大；
II 所有面積相等的平面圖形中，圓周長最小．
也有人證明了三維情況的等周定理，即表面積一定的封閉曲面，球體的體積最大，這和物理中的最小作用量原理有關：無重力的情況下，水珠會形成球體。 至此，困擾人們千年的等周定理終於得以解決。
大自然偏愛圓形，向日葵的子盤，千萬種美麗的花朵，都喜歡以圓形呈現，生活中各種容器和管道，其橫截面往往是圓的。這樣最節省材料，優化資源分配，有利於可持續發展。根據等周定理，我們知道如果原料有限，圓形能得到最大的面積，這也是為什麼現在的水管等的截面多是圓形。從樹木的啟示到數學定理，反映了技術（工匠傳統）和科學（學者傳統）互相促進的過程。
大自然也偏愛球形，太陽、地球、月亮、行星，頭蓋骨等都自然地形成球形或近似球形。這與等周問題跟物理中的最小作用量原理有關。依據三維等周原理：表面積相同，球的體積最大（等價於等體積球的表面積最小），根據這個定理，我們可以解釋很多現象，如天氣寒冷的時候蜷縮起來縮小表面積可以減少熱量損失，真空條件下水珠呈球形,使水珠形狀成為完全對稱的球體。很多水果是球形的。寒夜，一隻貓總是把自己的身體儘量蜷成球形。
樹木也遵循這個原理，截面圓形可以最大限度的運輸水分和養料，最有利於植物生長。同時根據帕斯卡定律，壓強等於壓力除以面積，整棵大樹全靠主幹支撐，圓形面積下數目承受的壓強最小。此外，植物生長風吹日曬，經常收到衝擊，圓形的樹幹不論風卷著塵砂雜物從哪個方向來，都容易沿著圓面的切線方向掠過，受影響的只是極少部分。鄭板橋《竹石》中說：「千磨萬擊還堅勁，任爾東西南北風」也是這個道理，而且暗合中國古代「外圓而內方」的君子之道，科學和文化內涵完美的融合在君子竹身上。
蘇步青教授認為：等周問題時人類理性文明中，既精要又美妙的一個古典幾何問題，是數學教授理想的進修課題。等周定理能啟迪我們不斷提出問題，波利亞說，等周的根深扎於我們的經驗直覺之中，它是靈感的不竭源泉。
參考文獻：
楊帆，一個愛情悲劇裡的數學問題