探尋穩健的時空白噪聲

我們先建立了隨機場的概念, 定義了G-高斯空間隨機場, 空間白噪聲及相應的積分, 最後定義了時空白噪聲和相應的It 積分。

2012年8月的一天, 在德國幽靜的黑森林數學研究所(Oberwolfach),Martin Hairer 正講解他在解決KPZ方程研究中的突破, 據說這個隨機偏微分方程是由3名物理學家為研究晶體生長規律而提出的。由於這項貢獻和他由此創立的Regularity Structure理論, Martin獲得了2014年Fields獎。講演結束後, 我問了他一個問題: 是否也可以考慮用Pardoux-Peng[11]建立的倒向重隨機微分方程(BDSDE)理論來解決這個問題？Martin並未給出肯定或否定回答, 但他立刻指出, KPZ-方程的噪聲源是一個時空白噪聲(而我們的BDSDE中所用的則是無窮維布朗運動, 不能直接代替前者)。而這又引出了另外一個方向的非常有趣的數學問題:當幹擾是時空白噪聲時BDSDE是否有解的存在唯一性？

這些都是非常有趣的數學問題, 但我當時的研究方向已經全面轉向了非線性的G-期望理論[12]。理論的基礎的表達非常簡捷: 沒有象Kolmogorov 那樣以測度理論為基礎來首先建立起概率測度空間的公理化體系, 而是徑直在這個新理論體系中引入了「期望」作為最基本的概念, 但捨棄了概率論中的期望概念的非常關鍵的線性性質。而這裡還有一個關鍵點: 從一開始就自然地建立起了非線性期望下的獨立和分布的基本概念,從而使整個理論頓然獲得了強大的生命力。使我們能站在巨人的肩上探索和前行,而這巨人就是幾百年來在概率理論及其相關領域中上下求索, 充滿傳奇先行者們。

我們知道, 在數據科學技術中常常要假設所涉及的隨機數據是i.i.d.的, 或由i.i.d.的隨機序列產生的,它保證了概率統計中起到關鍵和基礎作用的大數定律(LLN)和中心極限定理(CLT)的成立.但是現實世界的數據常常不滿足這個i.i.d.假設。而次線性期望則是一個非常穩健的非線性期望,而相應的i.i.d.假設也不再是一個苛刻的難以實現的條件了。但是也對非線性期望理論提出了一個基礎性的重要挑戰：在次線性期望下大數定律(LLN)和中心極限定理(CLT)是否仍然成立？這個問題上的突破形成了兩個全新的極限定理: 即穩健大數定律, 它以極大分布為其極限分布; 和穩健中心極限定理, 以G-正態分布為其極限分布。不僅結果出人意料,而其證明也與經典的證明大相庭徑, 並且是借用了完全非線性拋物型偏微分方程理論中的非常艱深的Krylov估計才最終得以完成的。這方面的突破始自[13](也見[17]第2章及其歷史評註), 研究至今還非常活躍, 主要集中在收斂速度估計方面的重要突破見Song[18,19], Krylov[10]。顯然, 這「Shige Peng's CLT」[10] 的一個典型情況就是線性期望情況，即概率論中的中心極限定理。

以上的重要發現也啟示和鼓勵我們去進行更系統深入的探討：是不是概率理論迄今為止所獲得的重要研究成果都會在非線性期望理論框架中有其非平凡的對應正等待著我們去發現呢？我們知道的在數學史上的一個獲得巨大成功的先例就是著名的黎曼幾何理論: 在高斯、羅巴切夫斯基和黎曼等一大批數學家的探索, 發現和推動下將古希臘的歐幾裡德空間幾何學系統地拓展到了彎曲的黎曼距離空間上。也由此形成了愛因斯坦引力場理論的數學理論基礎。

自1997, 特別是2006年以來, 在這個非線性期望的新領域的探索使我們系統地的獲得了系列重要的, 基礎性的研究成果,包括了非線性期望中的布朗運動-稱為G-布朗運動,及相應的隨機分析理論。這裡G是用以刻畫期望的非線性性質的一個基本的非線性函數。函數G的非線性的強弱直接決定了G-期望的強弱。如果G是線性的則G-期望也就成了經典概率中的線性期望, 此時我們又回歸到了概率空間理論框架。相應的G-布朗運動也就回歸到概率理論中的布朗運動。

考慮一下最初提及的時空白噪聲: 在次線性期望理論框架中是否也有對應於時空白噪聲的穩健的隨機場呢？我們先來考慮參數為1維的情況, 1維的時間白噪聲很自然地對應著G-布朗運動(G-BM), 但近一步研究發現,G-布朗運動是無法用來產生1維的空間白噪聲的, 因為G-布朗運動明顯的不具備空間對稱性。那麼, 何處能找到滿足這種對稱條件的隨機場呢？這個問題直到後來在探索高斯隨機過程(見[15])時才悟到其中的奧妙: 我們知道經典的布朗運動有兩個等價的定義: 1) 它是增量平穩且獨立的連續過程；2) 它是增量平穩且不相關的標準高斯過程。但是在次線性期望下, 1) 和 2) 卻對應著兩個完全不同的隨機過程, 而只有那個對應於 2) 的G-高斯過程才能給我們空間白噪聲。

謎團一旦破解, 我們(Ji & Peng [8])就可以著手嚴格地構建非線性期望下的, 1-維時間和d-維空間的時空白噪聲了。據我們所知, 這是關於非線性期望下的隨機場研究的第一篇論文, 所以要一步步從頭來: 文章[8]中我們先建立起非線性期望空間中的隨機場的概念,定義了G-高斯的空間隨機場, 空間白噪聲及相應的積分, 最後定義了時空白噪聲和相應的It 積分。非線性時空白噪聲在隨機場理論中起到了的非常重要的作用, 它相當於隨機過程分析理論中的G-布朗運動(見[12,17])。注意到次線性的G-期望控制了非常大的一族互相奇異的概率測度, 從而G-期望空間中的隨機變量和隨機過程的所獲的隨機變量的一個等式或不等式, 在其所控制的每一個概率測度下也仍然成立, 這說明在此空間中進行的隨機分析和計算是非常穩健的。而反之,其中任何一個概率空間中所獲得的隨機變量的等式或不等式都無法保證這一點。

一個基本的問題是為什麼要研究非線性數學期望, 僅僅是因為其數學理論的完美和所提問題的挑戰性嗎？次線性期望的一個重要特點就是對於風險預期的安全性和穩健性: 很多研究在處理這類不確定問題時都會先驗地假設: 概率空間的概率測度是已知的。但現實世界中極少有這樣的好事, 有時就會出重大問題。而次線性期望理論則後退一步，假設我們可能無法確定這個概率測度, 只知道其在一族給定的概率之中, 這一族概率經常有可能是無窮維的，但是我們照樣可以確定一個能夠控制它們的次線性期望，而在這個期望下所獲得的結論就有很強的智能性和穩健性(見[4])。例如此時如果得到了一個隨機場u，它是一個隨機偏微分方程(SPDE)的解, 就意味著在前述的每一個被控制概率測度下,u也仍舊是這個(SPDE)的解! 我們稱u為(SPDE)的一個穩健解: 因為我們無需擔心究竟是哪一個被控制的概率測度是 「真的測度」。高度智能的非線性期望已經自動地把所有可能的預案都納入其「考慮」之中了。這種穩健性也會幫助我們避免極端情況下的災難的發生。而這就是研究和應用穩健的時空白噪聲的意義。

實際上早在1921年，經濟學家Frank H. Knight就注意到了經濟世界中的概率測度的不確定性給經濟學帶來的挑戰[9]。以小g-期望為基本數學工具的經濟學研究見Chen-Epstein[2], 而大G-期望則見Epstein-Ji[5]。也可參見Lars Hansen 的諾貝爾經濟學獎獲獎報告[6]中關於這種Knight不確定性性研究的系統的回顧與前瞻,及他和另一個諾獎獲得者Tomas Sargent 的近作[7]。實際上, 金融風險管理中的著名的一致風險度量方法,本質上也可通過次線性或凸的期望的計算和分析, 以規避災難性的後果,見[1]和[3]。

更詳細的分析見專著[17], 我在2010年 ICM 所做的大會報告[14]，和我對非線性期望理論的一篇中文的綜述文章。

References

[1] Ph. Artzner, F. Delbaen, J.M. Eber and D. Heath (1999) Coherent measures of risk. Math. Finance 9, 203-228

[2] Zengjing Chen and Larry Epstein (2002) Ambiguity, Risk, and Asset Returns in Continuous Time. Econometrica 70:1403-1443

[3] Freddy Delbaen, Shige Peng and Emanuela Rosazza Gianin (2010) Representation of the penalty term of dynamic concave utilities,Finance Stoch., 14: 449-472

[4] Laurent Denis, Mingshang Hu, and Shige Peng (2011) Function spaces and capacity related to a sublinear expectation: application to G-Brownian motion paths. Potential Anal., 34(2):139-161

[5] Epstein, Larry G. and Shaolin Ji (2014) Ambiguous Volatility, Possibility and Utility in Continuous Time. Journal of Mathematical Economics 50:269-282

[6] Lars Peter Hansen (2014) Nobel Lecture: Uncertainty Outside and Inside Economic Models

[7] Lars Peter Hansen and Thomas J. Sargent (2019) Macroeconomic Uncertainty Prices when Beliefs are Tenuous, preprint

[8] Xiaojun Ji and Shige Peng (2020) Spatial and temporal white noises under sublinear G-expectation, Science China, Mathematics,

[9] Frank H. Knight (1921) Risk, Uncertainty and Profit, Dover Publications, Inc. Mineola, NewYork

[10] N.V. Krylov (2018) On Shige Peng's Central Limit Theorem. arXiv:1806.11238v1,

63(1), 61-82

[11] Etienne Pardoux and Shige Peng (1994) Backward Doubly Stochastic Differential equations and Systems of Quasilinear Parabolic SPDEs, Proba. Theory Related Fields. 98: 209-227

[12] Shige Peng (2006) G-expectation, G-Brownian motion and related stochastic calculus of It 's type, in Stochastic Analysis and Applications, The Abel Symposium 2005, Abel Symposia · 2,541--567, Springer-Verlag

[13] Shige Peng (2007) Law of Large Numbers and Central Limit Theorem under Nonlinear Expectations, arXiv:math/0702358 [math.PR]

[14] Shige Peng (2010) Backward stochastic differential equation, nonlinear expectation and their applications, lecture of plenary talk of ICM2010, in Proceedings of the International Congress of Mathematicians Hyderabad, India, 2010

[15] Shige Peng (2011) G-Gaussian processes under sublinear expectations and q-Brownian motion in quantum mechanics. ArXiv:1105.1055v1, 2011

[16] 彭實戈 (2017) 非線性期望的理論、方法及意義, 中國科學:數學 2017年 第47卷 第10期: 1223-1254

[17] Shige Peng (2019) Nonlinear expectation and stochastic calculus under uncertainty, Springer

[18] Yongsheng Song (2017) Normal approximation by Stein's method under sublinear expectations. arXiv:1711.05384

[19] Yongsheng Song (2019) Stein's Method for Law of Large Numbers under Sublinear Expectations. arXiv:1904.04674v1

作者簡介

彭實戈

山東大學教授，2005年當選中國科學院院士。主要研究方向：金融數學、概率論和隨機控制。

主要成就：發現並證明了一般隨機控制的最大值原理; 創立發展了倒向隨機微分方程理論和非線性數學期望理論及相應的G-布朗運動的隨機分析理論。研究成果在金融數學、概率理論和隨機控制領域產生了重要影響。獲得國家自然科學二等獎、首屆蘇步青應用數學獎、陳嘉庚科學獎、求實傑出科學家獎等, 並受邀先後在2010年國際數學家大會和第八屆ICIAM大會做大會報告。