我們這個世界可以由音樂的音符組成，也可以由數學公式組成。——愛因斯坦
從古代到現代，從西方到東方，研究音樂和數學的關係在一直是交叉學科的熱門課題。現在我們聽到的是江南小調《茉莉花》。中國古曲也有數學知識在其中。我國古代音樂「宮、商、角、徵、羽」的五音階就起源於數學算法。春秋時期的思想家管仲所寫的雜論名著《管子》當中，就記錄了這個我國音樂史上著名的「三分損益法」。
我們知道孔子說的六藝是「禮、樂、射、御、書、數」，其中「樂」指音樂，「數」指數學。即從孔子時代，就已經把音樂與數學並列在一起研究了。
中國的七弦琴(即古琴)取弦長1，7/8，5/6，4/5，3/4，2/3，3/5，1/2，2/5，1/3，1/4．1/5，1/6，1/8得所謂的13個徽位，含純率的1度至22度，非常自然，是很理想的弦樂器。中國著名古琴家查阜西早就指出，要學好古琴，必須有一定的數學素養。
《命運交響曲》的宏大、《月光》的靈動、《梁祝》的深情，當在聆聽和享受這些美妙的音樂時大多數人都無法將其與嚴肅的數學聯繫起來。
感性的音樂與理性的數學可謂是兩個極端，音樂是作為我們抒發感情、表現感情的一種感性藝術，數學則是一種通過抽象的思辨、嚴謹的邏輯論證等思維方式構建起的「思維體操」，從表面看二者並沒有明顯的聯繫，其實音樂中到處都是數學。
畢達哥拉斯的琴弦實驗
最早揭開音樂與數學的關聯這一神秘面紗的，當數2500年前古希臘的著名數學家畢達哥拉斯。
傳說中畢達哥拉斯(Pythagoras (579-520 B.C.)) 路過一家鐵匠店發現四個鐵匠打鐵的
聲音異常悅耳而開始研究聲音。他用以下的兩個規則試圖建立起西洋音樂的音階。
1. 由v → 2v: 高八度。
2. 由v → 3/2v: 完全五度。
現行的西方音樂是12 音階, 即一個八度共有12 個半音。我們按照畢達哥拉斯的兩個規則可幫樂器調音: 以中央C 為基準。設這個音的頻率是v, 則高八度的C 頻率是2v, 高八度G 的頻率是3v。因此G 的頻率是3/2v。因此我們得到G 的頻率了。經過多次地觀察與反覆地比較，他終於發現三弦琴發聲的協調性與琴上三根弦的長度有著密切聯繫，三根弦的長度比例為 3: 4: 6 時最為適合。
他發現每根振動著的弦只要按音樂數的比例劃分，就可以產生不同的音程。這和鐵匠鋪裡的打鐵的聲音高低是隨著鐵錘的大小和敲擊力度的輕重變化而變化的原理一樣。
後來，他繼而發現聲音在質上的差別，如聲音的長短、高低、強弱等等是由發音體數量的差別而產生差別的。
被撥動琴弦的每一組和諧組合都可以記為整數的比例，按照比例增加弦的長度就能產生音階。如從產生音高C的弦開始，C的16 /15 長度給出B，C的6 /5長度給出A，C的4 / 3長度給出G，C的3 / 2長度給出F，C的8 / 5 長度給出E，C的16 /9長度給出D，C的2 /1長度給出低音C。由此他得出結論：音樂能夠反映出的作為宇宙本質的數理關係，能夠體現作為宇宙根本規律的「和諧」。
這是第一次，將一種自然現象——聲音——能夠通過數字進行解釋，而這之前從來沒有過。畢達哥拉斯相信，音樂的和諧在一體的宇宙裡也可以反映出來，數字及其之間的關係可以解釋萬物。
鋼琴鍵盤上的裴波那契數列
當畢達哥拉斯首次揭開了音樂和數學關聯之謎後，數學與音樂的交響詩就此唱響。
菲波那契數列結構是1、1、2、3、5、8、13、21、34、 55、89……其規律是每一項（從第三項起）都是前兩項之和。而「黃金分割」在數學中的比例關係為較大部分與整體之比等於較小部分與較大部分之比，其比值為0.618。它們都與音樂的結構有著密切的聯繫。
菲波那契數列在音樂作品中所表現出來的暫時的不平衡與局部的不對稱，使音樂更具有的某種感召力和表現力。
仔細觀察一下，在鋼琴的鍵盤上，從一個C鍵到下一個C鍵就是音樂中的一個八度音程，其中共包括13個鍵，有8個白鍵和5個黑鍵，而5個黑鍵又分成2組，一組有2個黑鍵，一組有3個黑鍵，而2、3、5、8、13這一列數，從第三項開始，每一項都等於前兩項之和。比如5=2+3、8=5+3……以此類推。這就是大名鼎鼎的斐波那契數列中的前面幾個數。
有趣的是，這樣一個完全是自然數的數列，通項公式居然是用無理數來表示的。
比如，匈牙利作曲家巴託克作品《弦樂、打擊樂與鋼片琴音樂》的第一樂章，全曲共89小節，從高潮點劃分為兩個部分，分別為55和34小節，按照作曲家對音色和強度的布局，我們將開始到高潮的部分(55小節)劃分為34+21小節，將高潮到結尾的部分(34小節)劃分為13+21小節。我們會發現這些小節數與菲波那契數字驚人的一致，並且小節的劃分正是遵循了菲波那契數列結構的規律。
「黃金分割」在音樂結構中的運用更為廣泛。
大部分被大眾認可為名曲、優美的音樂其主題旋律的高潮部分大都被安排在了黃金分割點上。
1970年，我國著名琵琶演奏家劉德海決心運用「優選法」，尋找在琵琶沒根弦上能發出最佳音色的點，不久，華羅庚教授用數學方法幫助他解決了這一難題，在弦長的1/12處，彈出的聲音格外優美動聽。1980年5月在全國琵琶演奏會上，幾十位演奏家聽了「最佳點」的演奏後，一致認為數學與音樂之間有著深奧的內在聯繫。
比如，莫扎特《D大調奏鳴曲》第一樂章全長160小節，再現部位於第99小節，不偏不依恰恰落在黃金分割點上（160×0.618=98.88）。
D大調奏鳴曲第一樂章Franz Joseph Haydn - 歌曲合輯，貝多芬《悲愴奏鳴曲》Op.13第二樂章是如歌的慢板，迴旋曲式，全曲共73小節。理論計算黃金分割點應在45小節，在43小節處形成全曲激越的高潮，並伴隨著調式、調性的轉換，高潮與黃金分割區基本吻合。
雖然這並不能代表全部的音樂，但是也足以說明在創作音樂時對於音樂結構的設置以及安排已經具備了科學、理性的數學認知。這些音樂結構所體現出的比例、平衡感、有序感都讓人們感受到了數學公式、定理的抽象、嚴謹、以及邏輯性很強的形式美感。
大自然音樂中的數學奧妙
大自然中的音樂與數學的聯繫更加神奇,通常不為大家所知。一年四季，昆蟲的鳴叫此起彼伏。其中，蟋蟀的鳴叫尤為起勁，鳴聲也多種多樣。我國自古就有「蟋蟀上房叫，莊稼挨水泡」等諺語，以此作為人們識別天氣、安排農耕的有利依據。
難道在蟋蟀歌聲的背後還有著我們不曾了解的數學秘密嗎？其實，蟋蟀唱歌的頻率可以用來計算溫度。我們可以用一次函數來表示:C = 4 t – 160。其中 C代表蟋蟀每分鐘叫的次數， t 代表溫度。按照這一公式，我們只要知道蟋蟀每分鐘叫的次數，不用溫度計就可以知道天氣的溫度了！
這一現象最早是美國物理學家和發明家Amos Dolbear於1897年發現的，他總結出溫度和蟋蟀鳴叫次數之間關係的Dolbear定律。計算這一溫度計算公式，只在華氏45度（攝氏7.22度）以上時才起作用。低於這個溫度，蟋蟀就開始變得行動遲緩。如果溫度過高，超過華氏90度（攝氏32.22度），蟋蟀就會大幅度地減少鳴叫的次數以節省能量。
德國作曲家巴赫於1722年發表的《平均律鍵盤曲集》,有可能就是為十二平均律的鍵盤樂器所著。
再後來，日本的一位中學數學教師，從中學時代開始就從圓周率的無限不循環小數中感覺到一種音樂韻律。他根據曲子的抑揚頓挫來確定相對音符節拍的長短，然後將這一樂譜輸入電腦並對曲調進行加工，從而創作出一些優美的樂曲。
音樂之美就是數學之美
著名數學家笛卡爾，在《談談方法》中曾寫道：「我們可以在任何事物中獲得與算術和幾何示範相等同的確信」，他認為音樂的美可以在很大程度上用科學術語來解釋，而音樂之美其實就是數學之美。
十二平均律—— 人們注意到五度律十二聲音階中的兩種半音相差不大，如果消除這種差別對於鍵盤樂器的轉調將是十分方便的，因為鍵盤樂器的每個鍵的音高是固定的，而不象撥弦或拉弦樂器的音高由手指位置決定。消除兩種半音差別的辦法是使相鄰各音頻率之比相等，這是一道中學生的數學題——在 1 與 2 之間插入 11 個數使它們組成等比數列，顯然其公比就是，並且有如下的不等式
1.05350 = 256 / 243 ＜ = 1.05946 ＜ 2187 / 2048 = 1.06787
這樣獲得的是十二平均律，它的任何相鄰兩音頻率之比都是，沒有自然半音與變化半音之分。
歷史資料記載中的十二平均律發明者在歐洲是荷蘭人斯特芬（Stevin約1548 - 約1620），他於1600年前後用兩音頻率比 嚴格地確立了十二平均律；在中國是明代科學家、音樂家朱載堉（1536 - 1612），他表述的十二平均律甚至將及各次冪均計算到小數點後24位（約完成於1581年前）。十二平均律的確立是人類藝術稟賦的貫通性在音樂文化方面的又一驚人表現。
在音樂漫長的發展歷程中，最初的音樂創作更多的是處於一種隨意、混沌、散漫的狀態，而在發現數學理性與音樂感性之間的聯繫之後，理性的音樂作曲意識被喚醒。愛因斯坦也曾形象地稱這個世界可以由樂譜組成，也可以由數學公式組成。當音樂遇見數學，兩者相結合所揭示的自然和諧的統一規律，是音樂理論所追求的美學價值，也是數學理論所追求的美學價值。
事實上，隨著對數學與音樂關係之認識的不斷加深，以數學計算代替作曲，已成為現代作曲家的一種創作方式。創作樂曲乃是將作曲的過程公式化，把音程、節奏、音色等素材都編成數碼，然後按照需求發出指令，以計算器的功能進行選擇，再將其結果編寫成樂曲並演奏出來。在音樂理論、音樂作曲、音樂合成、電子音樂製作等等方面，都需要數學。在音樂界,有一些數學素養很好的音樂家為音樂的發展做出了重要的貢獻。所以，對音樂表演和創造有愛好或特長的學生如果能學好數學，必然能更好地為從事音樂事業作知識預備。
正如萊布尼茨的名言所說：「音樂是數學在靈魂中無意識的運算。」音樂正如有情緒的數學，而數學則像最純粹的音樂，樂音激蕩，而數字翩躚，音樂與數學恰似人類心智開出的兩朵玫瑰。就讓我們沉醉其中，縱情感受它們的魅力吧！
參考文獻：
1、常沁怡《音樂中的數學—淺談音樂與數學的關係》