演講專家
梁 進(同濟大學數學科學學院 教授)
在傳統印象中，數學家的樣子是固執的、保守的，而藝術家的樣子是非傳統的、瘋狂的。可以說，數學和美術是兩種截然不同的存在。然而，數學和藝術其實能夠在哲學層面產生交集。藝術是形象思維的高度抽象，數學是邏輯思維的高度抽象。但數學的研究對象是「數」和「形」，所以數學中包含「形象邏輯」;藝術講究邏輯，所以也包含「邏輯形象」——在哲學的層面上，二者殊途同歸、「高維連通」，這是一種非直觀關聯，是更高層面的浸潤。實際上，一些數學家在發現重大定理時，偶爾也會通過「藝術」的直覺來發現。
▲19世紀荷蘭「幾何形體派」畫家蒙德裡安利用繪畫三原色(紅黃藍)和幾何圖形創作的代表作《構圖 II》
藝術中也有廣闊時空
作為兩個領域，藝術和數學的思維方式的確有很大不同，數學的思維是嚴謹的，而藝術的思維是跳躍的、抽象的、發散的。時間和空間是數學和物理中最基本的概念，那麼時空在藝術中是如何反應的呢?
音樂是時間的藝術，音樂隨著時間流淌，一首樂曲必須從頭聽到尾才能理解其含義。而美術是一種空間的藝術：繪畫作品是二維的，雕塑作品是三維的。它們在時間上相對固定(不同時間點去欣賞同一幅作品，呈現的內容基本相同)。不過，藝術不是一成不變的，繪畫也可以在作品中「表現時間」，音樂也可以「尋找空間」，比如交響樂比獨奏的空間感要大得多，表現的內容也更豐富。
那麼，名畫是如何與數學產生交集的呢?事實上，繪畫的結構「很數學」，例如，色彩是繪畫中最基本的重要因素，從三原色開始，通過不同比例的調配能夠獲得更多的顏色，每一種色彩中紅、黃、藍的比例是不同且固定的。
因此，色彩可以組成一個具有x、y、z軸的坐標空間，每一種顏色都有屬於自己獨一無二的點，比如(255,255,255)為白色，而坐標原點(0,0,0)則為黑色，這就是一種典型的「數學」表現。
▲光學三原色(紅綠藍)可構建色彩坐標系
名畫中的數學結構
數學中最簡單的形狀是圓、三角形、四邊形，這些形狀不僅在生活中處處可見，還被賦予各種含義，例如圓往往代表「完美」。
古希臘數學家、哲學家畢達哥拉斯很早就發現了「黃金分割」。據說有一天，畢達哥拉斯在大街上聽到鐵匠在打鐵，他注意到打鐵的聲音非常好聽，一強一弱的節律很有規律，畢達哥拉斯通過分析其中的規律，發現了黃金分割點——這是音樂節奏中的數學。
▲斐波那契的「兔子數列」示意圖
喜歡數學的人一定知道斐波那契數列。這個數列還有一個「兔子」版本，即一隻兔子生下一隻小兔子，一個月後，小兔子也可以生小兔子。按照這個規律，兔子生兔子的數列就是0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144……這就是斐波那契數列。斐波那契數列又稱「黃金分割數列」——如果把通過斐波那契數列計算出的「黃金矩形」放在一起，便會進一步形成「等角螺線」。「等角螺線」在大自然中也很常見，比如葵花籽的排列方式就是按照等角螺線來排列的。
除了黃金分割點和等角螺線，自然界還有「黃金角度」——137.5度，如果細心觀察你就會發現，大自然中的許多樹杈就是137.5度。為什麼樹杈會正好長到這個角度?人們發現，這個角度正好可以讓樹木獲得最大的採光量。
說到繪畫與數學的融合，不得不提達文西。他不僅是美術家，也是數學家、科學家，是文藝復興時期的博學家。《蒙娜麗莎》是達文西的代表作，畫作的比例十分符合等角螺線和黃金三角形定律。後世畫家在處理半身像時，或多或少都加上了《蒙娜麗莎》的影子，其影響之大可見一斑。而達文西另一幅備受關注的畫作、人體繪畫的標杆《維特魯威人》也包含大量黃金分割。
▲ 達文西《維特魯 威人》手稿(來源： 視覺中國)
《維特魯威人》描繪了一個四肢張開的健壯中年男子。如果以頭、足、手為端點，正好外接形成一個圓形。同時，在畫中疊加著男子兩臂張開平伸的結構，則可以外接一個正方形。這幅畫，將數學的「形」體現得淋漓盡致。
「文藝復興藝術三傑」中除了達文西，拉斐爾的畫作同樣結構明顯。例如《嘉拉提亞的凱旋》的結構是由多個三角形組成。
▲拉斐爾畫作《嘉拉提亞的凱旋》(來源：維基百科)
藝術走在了數學之前
工業革命後，數學界經歷了一次危機。從微積分的誕生，到關於「無窮小」的爭論，再到非歐幾何的崛起、隨機問題對傳統的挑戰等，數學家的眼光逐漸從具象轉向抽象。
同一時期，畫家也受到了嚴酷的挑戰：特別是19世紀初，照相機的問世讓一批畫家丟掉了飯碗，這時候對於畫得「如何像實體」的追求已經已經走到了盡頭，藝術家們在方寸畫布上，也開始追求「抽象」和「感覺」，印象派畫家開始引領風潮，其獨有的朦朧風格畫作引起世人廣泛的共鳴。
可以說，這回藝術走到了數學前面。數學一直以精準著稱，然而直到印象派崛起的一個世紀後，數學界才發展出「模糊數學」學科(美國學者扎德發表「模糊集合」論文，標誌模糊數學誕生)。
什麼是模糊數學?我們可以用一個簡單的例子來理解一二，比如老師說「請高個子同學站起來」，你一定會想：我算不算高個子呢?但如果老師說「請一米七以上的同學站起來」，這時符合條件的同學就會起立。有了模糊數學，我們就可以通過計算「一米七是高個子的概率有多少」來描述高個子這個模糊概念。模糊數學目前在許多領域(包括醫學)中被大量應用。
其實，藝術與數學的發展都是無窮盡的。至少從目前人類掌握的知識來看，我們還有很長的路要走。我們可以把每個學科看成是不同的道路，或許在不同的時間和地點，這些路途就會產生交集，從而出現讓人類覺得不可思議的、看似巧合卻並非巧合的事物。■
不止達文西有密碼
文藝復興時期的德國藝術家丟勒留下了大量的版畫作品，其中最有名是《抑鬱症I》。在這幅作品中，多面體、球體、圓規、尺子代表幾何學;刀鋸、刨、錘代表工程學;船錨、指南針代表航海學;天平、沙漏、鍾代表科學。而最有意思的是少女頭頂上代表數學的4×4幻方。
幻方上的數字橫豎加起來都是34，是斐波那契數列中的數字。而且對角線上元素的平方和748或立方和9248等於非對角線上的元素平方和或立方和。幻方最下面一行中間的兩個數字15、14正是這幅畫創作的年代1514年，時年丟勒正好43歲，是34的鏡像。這種直接將數學研究成果放在藝術品裡真是神來一筆。
（記者/白竟楠 編輯/丁林）