撰文 | yubr
1 基本概念和基本思想
統計物理的研究對象是大量微觀粒子（mol級別，也就是10^23數量級）組成的宏觀系統。統計物理的基本目標是從系統的微觀性質出發，推導出系統的宏觀性質。為此，我們先澄清幾個概念。
我們假設一堆的氣體分子（10^23數量級）組成了一個系統。這個系統可以有自己的體積，壓強，溫度，內能等參數，這些參數稱為系統的宏觀量。另一方面，這10^23量級的分子每一個都可以有自己的位置矢量、速度矢量、動量、能量等參數，這些參數稱為系統的微觀量。
系統的微觀量每時每刻都在不斷變化，而系統的宏觀量可以不隨時間變化。我們把宏觀量不隨時間變化的系統稱為處於平衡態的系統。
為了描述這個系統的狀態，我們有兩種方法。
第一種方法是用系統的一組宏觀量來描述系統的狀態：
上式表明，當系統的壓強、體積、溫度、內能等宏觀量分別取一組特定值的時候，我們得到了系統的一個狀態，這種用一組宏觀量來標記的狀態稱為系統的宏觀態。
第二種方法是用系統中每個粒子的微觀量來描述系統的狀態：
上式表明，當每一個粒子的速度和動量分別取一組特定值的時候，我們得到了系統的一個狀態，這種用每一個粒子的微觀量來標記的狀態稱為系統的微觀態 [1]。
從原則上講，我們可以對每一個粒子做動力學分析，（對經典系統，每一個粒子都服從牛頓運動定律，對量子體系，每一個粒子都服從薛丁格方程，它們都是決定論性的動力學方程，只要初始條件和邊界條件給定，系統以後的演化就可以唯一確定），聯立10^23個微分方程，然後精確地確定任意時刻每個粒子的運動狀態，這樣我們也就確定了任意時刻系統的微觀態。
當然，很遺憾，這種方法完全不具有可操作性，根本原因還是因為宏觀系統包含的粒子數實在太多了，宇宙中沒有（現在沒有，以後也很可能不會有）任何一臺超級計算機能在有限時間內聯立求解10^23個方程 [2]，所以我們根本不可能通過求解出每一個粒子的微觀量然後外推出系統的微觀態。
暴力求解的方法不切實際，那麼是不是就意味著我們就沒法描述一個宏觀系統的狀態了呢？當然不是！這就是統計物理大顯身手的時候了，我們必須注意到以下重要的事實：（1）實驗上可以測量的只有系統的宏觀態（系統的微觀態不可測量），而確定系統的宏觀態只需要幾個有限的宏觀量就行了；（2）一個宏觀態可以對應大量不同的微觀態，而且不同的宏觀態對應的微觀態的數目並不相同 [3]。
接下來，我們來引入統計物理中最重要的假設（也是唯一需要的假設）：等概率假設
等概率假設：對一個處於平衡態的孤立系統，系統的每個微觀態都有相同的可能性達到。
這是一個非常樸素和自然的假定，根據這個假定，再加上上面的分析，我們可以很自然地得到下面的推論：系統最有可能取到的宏觀態是那個對應了最多微觀態數的宏觀態。
既然我們可以測量的只有系統的宏觀態，而確定一個宏觀態只需要幾個有限的宏觀量，那麼為了描述一個宏觀系統，我們只需要得到所有的宏觀量的值就行了。對此，熱力學採用了直接用實驗測量來確定宏觀量的方法，這是一種自下而上(bottom-up)的唯象方法；而統計物理則採用了從微觀態出發，然後理論推導出宏觀量的方法，這是一種自上而下(top-down)的理論方法。我們這裡只討論後者。
必須要注意的一點是，（可測量的）宏觀量其實是（不可測量的）微觀量統計平均後的結果。例如我們考慮一個裝滿氣體分子的宏觀容器的壓強，我們測量到的壓強並不是某一時刻某個分子撞擊器壁的力，而是一段時間內大量分子撞擊器壁後的平均效果。更一般地，設A是一個任意的物理量，則有
2 經典統計
在統計物理中，我們常用的系綜有三類：微正則系綜，正則系綜和巨正則系綜，下面分別加以介紹 [5]。
首先，為了保證系統具有確定的溫度，我們可以把系統和一個大熱源耦合，大熱源的熱容假設為無窮大，以至於其溫度在熱量交換下不變，所以當系統和大熱源達到平衡態後，系統將具有和大熱源相同的確定的溫度，但因為系統存在漲落，所以系統的能量（微觀量）並不確定，但是系統的平均能量（也即系統的內能，是宏觀量）是確定的。
3 量子統計
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