當前量子計算技術前沿是什麼水平？

一個首當其衝的問題是，什麼是量子？這個詞雖然看起來有些抽象，但實際的意思卻很簡單，可以解釋為「離散變化的最小單元」。比如我們登臺階時，只能上一個臺階、兩個臺階等，而不可能上半個臺階、1/3個臺階等，這就是一種離散的概念，一個臺階就相當於一個量子。

在微觀世界裡，很多物理量都是離散變化的，這是微觀世界的一種本質特徵。例如，氫原子中電子的能量只能取一個基本值（-13.6電子伏特）或者它的1/4、1/9、1/16、1/25等等，但不能取其2倍或1/2、1/3。準確地描述微觀世界的物理學理論就是量子力學。

宏觀物體是由微觀粒子組成的，所以要準確描述宏觀世界，原則上也必須用量子力學。牛頓力學只是量子力學在宏觀條件下的一個近似理論，又被稱為經典力學。在後文中，我們將會看到在某些問題中經典結果和量子結果的對比。讀者只要記住「如果兩個結果不一致，量子總是對的，經典總是錯的」，就差不多了。

新舊量子論

量子力學的起源是在1900年，普朗克（Max Planck）在研究「黑體輻射」問題時，第一次發現必須把某個物理量當作離散變化的，在黑體輻射中這個物理量是輻射攜帶的能量。在此基礎上，愛因斯坦（Albert Einstein）、玻爾（Niels Henrik David Bohr）、德布羅意（Louis Victor de Broglie）等人後來提出了許多重要的概念，大大擴展了量子力學的應用範圍。

有趣的是，愛因斯坦獲得諾貝爾物理學獎，是因為他在解釋光電效應時提出了光量子理論，而不是因為相對論。上述這些科學家的工作被後人稱為「舊量子論」，因為，雖然屢經擴展，這些理論卻仍然是一堆智慧的碎片，缺乏統一的數學框架，對稍微複雜一點的體系就無法定量處理了。

1925年，這種狀況被海森堡（Werner Karl Heisenberg）的工作所改變，他使用矩陣的數學語言，第一次給出了一套能夠精確描述任何微觀現象的理論。過了沒多久，薛丁格（Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger）用微分方程的數學語言給出了另一套理論，很快又證明了兩種理論是等價的。從那以後，人類更深一步地了解了微觀世界的奧秘，進而創造了不計其數的奇蹟。

量子力學創始人群像

量子力學對陣相對論

量子力學和相對論是二十世紀的兩大革命性科學理論，對人類的世界觀都造成了巨大的震撼。但科學界之外的人往往不知道，其實這兩者在實際應用和研究的活躍程度上相差甚遠。

未來的量子通信（示意圖）

量子力學能用來幹什麼呢？更該問的是它不能幹什麼！宏觀物質的性質是由其微觀結構決定的，所以量子力學解釋了導電性、導熱性、硬度、超導、超流、相變等日常可以見到的多種物理現象。可以說，現代社會碩果纍纍的技術成就，幾乎都與量子力學有關。

另一方面，相對論在物體以接近光速運動時和強引力場條件下有基礎作用。可是想一想，日常生活中有多少機會遇到這些情況呢？所以目前相對論的應用，局限在宇宙學、原子鐘、全球定位系統等領域。攏起來能講出不少，跟量子力學的應用相比卻是九牛一毛。

量子態疊加（想像圖）

因此，現在所有的物理專業學生和許多相關專業（尤其是化學）的學生，都要學量子力學，而學廣義相對論的只有少數理論物理專業的學生。在科技新聞中你會發現，量子力學領域日新月異，相對論領域卻是在驗證愛因斯坦100年前預測的引力波。

多重量子態（想像圖）

量子力學的「三大神秘」和「一個必需」

從信息科學的角度看，量子力學是一種可資利用的數學框架。能不能利用量子框架做到在經典框架下做不到的事？這就是量子信息研究的問題。

向非專業的讀者解釋量子力學，從來就是一個難題。從幫助人們通俗地理解量子信息的角度來說，我們可以把量子力學的框架總結為「三大神秘」和「一個必需」。「三大神秘」包括：疊加，測量，糾纏。「一個必需」則是：對量子態的變換。

從這四個元素，可以引出「量子比特」，以及多種多樣的量子算法和量子通信方案。下面分別來介紹這些元素。

每當你感到「這怎麼可能」、「這不是胡說八道嗎」的時候，請記住，這些原理不是某個科學家的心血來潮無端虛構，而是已經經過近百年來的無數實驗反覆證明的，其應用範圍幾乎涉及我們身邊所有事物。

第一大神秘：疊加

比特是計算機科學的基本概念，指的是一個有且僅有兩個可能的狀態「0」和「1」的體系，這類似於硬幣的正、反兩個面。但在量子力學中，情況出現了本質的不同。量子力學有一條基本原理叫做疊加原理：如果兩個狀態是一個體系允許出現的狀態，那麼它們的任意線性疊加也是這個體系允許出現的狀態。

那麼，什麼叫做「狀態的線性疊加」呢？為了說清楚這一點，最方便的辦法是用一種數學符號表示量子力學中的狀態，就是在一頭豎直一頭尖的括號「|>」中填一些表徵狀態特徵的字符。在量子信息中，經常把兩個基本狀態寫成|0>和|1>。而|0>和|1>的線性疊加，就是a|0> + b|1>，其中a和b是兩個常數。這種符號是狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac）發明的，稱為狄拉克符號。疊加原理說的是，如果一個體系能夠處於|0>和處於|1>，那麼它也能處於任何一個a|0> + b|1>。後面在討論第二大神秘「測量」的時候，我們會看到，對a和b唯一的限制就是它們的絕對值的平方和等於1，即|a|^2 + |b|^2= 1。

疊加原理乍看起來完全和常識相反。假如用|0>代表你正在北京喝茶，|1>當作你正在巴黎喝茶，那麼(|0> + |1>)/√2就意味著你同時處於北京與巴黎喝茶！這種狀態怎麼可能存在呢？但量子力學的一切實驗結果都表明，疊加原理是正確的，是一條必不可少的基本原理。至少在微觀世界的應用中，科學家對疊加原理充滿信心。一個電子確實可以同時位於兩個地方。至於宏觀世界裡為什麼沒見過一個人同時位於兩處，那是另一個深奧的問題，相當於著名的問題「薛丁格的貓」，我們在本文中不做更多的討論。

量子疊加

在疊加原理的框架下，經典的比特變成了量子比特，也就是說它不是只能取0或取1了，而是可以處於任意的a|0> + b|1>狀態，包括a = 1、b = 0的|0>和a = 0、b = 1的|1>。這是個巨大的擴展，可以想像，一個量子比特潛在地包含比一個經典比特大得多的信息量。之所以說「潛在地」，是因為這只是一個可能性，要發揮出來還需要十分聰明的實驗設計。

量子糾纏（想像圖）

為了更方便地理解這個概念，我們可以把一個量子力學的狀態理解成一個矢量，實際上狄拉克符號|>正是為了讓人聯想到矢量而設計的。在一個由這些態矢量組成的平面上，|0>和|1>定義了兩個方向，相當於兩個坐標軸上的單位矢量。在|a|^2 + |b|^2 = 1的條件下，a|0> + b|1>就是任何一個從原點到半徑為1的單位圓上一點的矢量。看清楚這個幾何圖象，我們立刻就明白，單位圓上任何一點的地位都是相同的，沒有一個狀態比其他狀態更特殊，可謂「眾生平等」。

多世界理論（想像圖）

現在來定義兩個狀態，|+> = (|0> + |1>)/√2和|-> = (|0> - |1>)/√2。它們相當於|0>和|1>都向一邊旋轉45度。如果把|+>和|->當作基本狀態，用它們的線性疊加來表示所有的其他狀態，同樣是可行的。取一組矢量，如果其他所有的矢量都能表示成這組矢量的線性疊加，那麼這組矢量就叫做「基組」。|0>和|1>構成一個基組，|+>和|->也構成一個基組，這樣的基組有無窮多個。

第二大神秘：測量

在經典力學中，測量固然是一種重要的操作，但我們並不會認為測量過程跟其他過程服從不同的物理規律。可是在量子力學中，測量跟其他過程確實有本質性的區別，描述量子力學中的測量要用與眾不同的物理規律！關於量子力學的許多著名的爭論，如「薛丁格的貓」、多世界理論，都是由測量造成的。我們在這裡不擬詳細討論這些爭論，而是直接給出絕大多數科學家接受的共識。

量子力學中的測量，特殊在哪裡呢？首先，一次測量必須對應某個基組。不同次的測量可以改變基組，比如說這次用|0>和|1>，下次用|+>和|->，這是允許的，但你每次必須說清當前用的是哪個基組。然後，在|0>和|1>的基組中測量a|0> + b|1>（a和b都不等於0），會使這個狀態發生突變，變成|0>和|1>中的某一個。我們無法預測特定的某次測量變成|0>還是|1>，能預測的只是概率：以|a|^2的概率得到|0>，|b|^2的概率得到|1>。由於只可能有這兩種結果，所以這兩個概率相加等於1，這就是前面所說的|a|^2 + |b|^2 = 1的來源。

量子測量

舉個例子，在|0>和|1>的基組中測量|+> = (|0> + |1>)/√2，會以1/2的概率得到|0>，1/2的概率得到|1>。1/2概率的意思是，如果你重複這個實驗很多次，可以預測有接近一半的次數得到|0>，接近一半的次數得到|1>。但對於單獨的一次實驗，你沒辦法做出任何預測。也就是說，同樣的原因可以導致不同的結果！

量子態

這種內在的隨機性是量子力學的一種本質特徵。在經典力學中，一切變化都是有確定原因的，同樣的原因必然要導致相同的結果，而量子力學卻不是。

量子力學實驗室

有人在這裡可能要問：經典力學中也有隨機性，擲硬幣不就是一半可能朝上，一半可能朝下嗎？回答是：同樣是概率，背後的原因不一樣，可改進的餘地也不一樣。擲硬幣的結果難以預測，是因為相關的外界因素太多：硬幣出手時的方位、速度、空中的氣流狀況等等。也就是說，擲硬幣的概率反映的是信息的缺失。你可以通過減少這些因素的幹擾來增強預測能力，例如在真空中擲，消滅氣流，用機器擲，固定方向和力度，最終使得擲出某一面的機會顯著超過另一面。但在量子力學中，概率是由體系本身的狀態決定的，不是由於外界的幹擾，不是由於缺少任何信息，因此完全沒有辦法做什麼「改進」。所以再次強調，這種隨機性是內在的，是量子力學的一種本質特徵！

第三大神秘：糾纏

前面說的都只是一個量子比特的體系，已經有這麼多不可思議之處。多個量子比特的體系，可想而知會更加奇怪。

EPR對（想像圖）

在經典力學中，我們如何描述一個兩粒子體系的狀態？我們會說，粒子1處於某某狀態，粒子2處於某某狀態。在量子力學中，有些兩粒子體系的狀態也可以用這種方式來描述，例如常用狄拉克符號|00>表示兩個粒子都處於自己的|0>態，|01>表示粒子1處於|0>態，粒子2處於|1>態，|11>表示兩個粒子都處於自己的|1>態。在數學上，把這樣的狀態稱為兩個單粒子狀態的「直積」，就是直接相乘的意思。我們還可以用直積來定義兩個粒子都處於自己的|+> =(|0> + |1>)/√2態的狀態，即|++> = [(|0> + |1>)/√2] [(|0> + |1>)/√2] = (|00> + |01> + |10> + |11>)/2。看起來，直積態已經能表示所有的多粒子態了，但是這不對，事實並非如此！

漫畫：貝爾不等式

考慮這樣一個兩粒子狀態：(|00> + |11>)/√2。它是|00>和|11>的一個疊加態（是的，疊加原理對於多粒子體系也適用），我們把它記作|β00>。這個態能不能寫成兩個單粒子態的直積呢？也就是說，(|00> + |11>)/√2能不能寫成(a|0> + b|1>) (c|0> + d|1>)？回答是不能。因為這個狀態中不包含|01>，也就是說ad = 0，但是a如果等於0，|00>就不會出現，而d如果等於0，|11>又不會出現。無論如何都矛盾，所以只能承認這個狀態不能分解成兩個單粒子態的直積。這就意味著，不能用「粒子1處於某某狀態，粒子2處於某某狀態」來描述|β00>。

那麼對於|β00>，我們能說些什麼呢？你去測量粒子1的狀態，會以一半的概率得到|0>，與此同時粒子2也變成|0>；以一半的概率得到|1>，與此同時粒子2也變成|1>。你無法預測單次測量時粒子1變成什麼，但你可以確定，粒子1變成什麼，粒子2也同時變成了什麼。兩者似乎被一種神秘的力量綁在一起，總是同步變化。只要不是直積態，對一個粒子的測量就必定影響另一個粒子，這種現象就叫做「糾纏」，這樣的狀態稱為「糾纏態」。

量子糾纏

EPR對

有趣的是，糾纏這個重要的量子力學現象，是由幾位反對量子力學的人提出的。而這幾位反對量子力學的人當中，領頭的就是愛因斯坦！

如前所述，愛因斯坦曾經對舊量子論的發展做出重要的貢獻，他得諾貝爾獎是因為提出光量子理論而不是因為相對論（當然這是諾貝爾獎評獎委員會在開歷史玩笑，不是愛因斯坦的問題）。但隨著新量子論的發展，愛因斯坦對量子力學的許多特性產生了深深的懷疑。他認為每個粒子在測量之前都應該處於某個確定的狀態，而不是等到測量之後。在他看來，這才叫「物理實在」。愛因斯坦的一個經典問題是：「你是否相信，月亮只有在我們看它的時候才存在？」

1935年，愛因斯坦、波多爾斯基（Boris Podolsky）和羅森（Nathan Rosen）提出了一個思想實驗，後人用他們的姓名首字母稱為EPR實驗。先讓兩個粒子處於|β00>態，這樣一對粒子稱為「EPR對」。然後把這兩個粒子在空間上分開很遠，可以任意的遠。然後測量粒子1。如果你測得粒子1在|0>，那麼你就立刻知道了粒子2現在也在|0>。好比成龍電影《雙龍會》中有心靈感應的雙胞胎，一個做了某個動作，另一個無論有多遠都會做同樣的動作。而最重要的問題是，既然兩個粒子已經離得非常遠了，粒子2是怎麼知道粒子1發生了變化，然後發生相應的變化的？EPR認為兩個粒子之間出現了「鬼魅般的超距作用」，信息傳遞的速度超過光速，從而違反了狹義相對論。所以，看來量子力學肯定有「問題」。

玻爾與愛因斯坦

這個問題非常深邃。不過量子力學有一個標準回答：處於糾纏態的兩個粒子是一個整體，絕不能把它們看作彼此獨立無關的，無論它們相距有多遠。當你對粒子1進行測量的時候，兩者是同時發生變化的，並不是粒子1變了之後傳一個信息給粒子2，粒子2再變化。所以這裡沒有發生信息的傳遞，並不違反相對論。

量子通信（想像圖）

貝爾不等式

在愛因斯坦的時代，人們只能對EPR實驗進行哲學辯論，無法通過實驗做出判斷。1964年，貝爾（John Stewart Bell）指出，可以設計一種現實可行的實驗，把雙方的矛盾明確表現出來。對兩粒子體系測量某些物理量之間的關聯，如果按照EPR的觀點，這些物理量在測量之前就有確定的值，那麼這個關聯必然小於等於2；而按照量子力學，這個關聯等於2√2，大於2。這個經典體系應該滿足的不等式就叫做貝爾不等式，而量子力學不滿足貝爾不等式。

量子通信網絡（想像圖）

1980年代，阿斯佩克特（Alain Aspect）等人做了實驗，結果是在很高的置信度下違反貝爾不等式。EPR的思想實驗最初是用來批駁量子力學的，結果卻證實了量子力學的正確！

類似的故事在科學史上也有。十九世紀的時候，泊松（Simeon-Denis Poisson）主張光是粒子，菲涅耳（Augustin-Jean Fresnel）主張光是波動。1818年，菲涅耳計算了圓孔、圓板等形狀的障礙物產生的衍射花紋。泊松指出，按照菲涅耳的理論，在不透明圓板的正後方中央會出現一個亮點。他認為這是不可能的，於是宣稱駁倒了波動說。但菲涅耳和阿拉果（Dominique Francois Jean Arago）立即做實驗，結果顯示果然有亮斑出現，波動說大獲全勝。後人很有幽默意味地把這個亮點稱為泊松亮斑。這正應了尼採的話：「殺不死我的，使我更強大！」

EPR現象既然是一個真實的效應，而不是愛因斯坦等人以為的悖論，人們就想到利用它。現在EPR對成了量子信息中最有力的工具。對此我們只能說，深刻的錯誤超過淺薄的正確，偉人連錯誤都是很有啟發性的！

現在科學家們認為，糾纏是一種新的基本資源，其重要性可以和能量、信息、熵或任何其他基本的資源相比。但目前還沒有描述糾纏現象的完整的理論，人們對這種資源的理解還遠不夠深入。有人把糾纏比喻為「青銅時代的鐵」，它可能會在下一個歷史時代大放異彩。

量子計算（想像圖）

一個必需：對量子態的變換

前面說了這麼多，都是對量子態的描述，還沒有回答另一個基本問題：如何把一個態變成另一個態？對這個問題的回答倒是不神秘：所有的可逆變換都是可以實現的。用線性代數的術語說，可逆變換就是「酉變換」，不過在下文中我們不使用這個術語。

在可逆變換中，信息沒有損失。例如對兩粒子體系，有一個對換操作，把兩個粒子的狀態對換，即把|ab>變成|ba>。如果這個操作連續進行兩次，就回到了最初的狀態，例如|01>變成|10>，又變回了|01>。

測量也能改變量子態，但它是不可逆的，會丟失信息。例如對處於|+> =(|0> + |1>)/√2態的一個粒子，在|0>和|1>基組下測量，第一次測量得到|0>，那麼後面你再做多少次同樣的測量，體系都一直保持在|0>，再也不可能回到|+>態了。在經典力學的實驗中，隨便在哪裡進行一次測量都沒有關係。但在量子力學的實驗中，在某個地方進行一次測量會造成不可逆的後果（不一定是有害的），所以一定要仔細設計，確保由此得到的結果對實驗的目的有利。事實上，量子信息的許多應用都用到了測量操作，例如後面要談到的量子隱形傳態、量子密碼術。

量子信息的優勢

從上述內容可以看出，量子信息跟經典信息相比有很大的優勢。經典比特的0和1隻有兩個狀態，量子比特的a|0> + b|1>卻有無窮多個狀態，這是一個顯而易見的優勢。還有一個稍微複雜一點的優勢。一個包含n個經典比特的體系，總共有2^n個狀態。想知道一個變換在這個n比特體系上的效果，需要對這2^n個狀態都計算一遍，總共要2^n次操作。對n個量子比特的體系，卻有一個巧妙的辦法。使所有量子比特都處於自己的|+>態，那麼整個體系的狀態是|++…+> = (|00…0> + |00…1> + … + |11…1>) /2^(n/2)，0和1的所有長度為n的組合都出現在其中。對這個疊加態做一次操作，所有2^n個結果都會產生出來！

但在歡呼之前，我們需要認清，這個巨大的優勢並不容易利用。因為所有2^n個結果是疊加在一起的，要讀取出其中某一個需要做測量，而一做測量就把其餘的結果破壞了。所以這個優勢只能稱為潛在的巨大優勢，真要利用它，需要非常聰明的算法設計，只有對極少數問題能夠設計出這樣的算法。有些科普文章把量子計算機描寫成無所不能，這是重大的誤解。量子計算機的強大，是與問題相關的，只針對特定的問題。

量子計算和量子通信

量子信息學是量子力學和資訊理論結合的產物。量子信息的研究內容可以分為兩大塊，量子計算和量子通信。從這個分類，我們立刻就可以發現，量子信息還遠沒有進入生活，因為大家都還在用經典的電腦和手機呢。

量子通信（想像圖）

具體地說，量子通信已經有了一些實際應用，量子衛星就是做相關實驗的。而量子計算的發展要原始得多，還處於演示階段，還沒有造出有實用價值的通用的量子計算機。這對中國倒可以算作一個好消息，因為我們在接近實用化的量子通信方面是領先的，在量子計算方面雖然落後於歐美，但大家都還在盲人摸象，並沒有產生實際效益，我們完全有可能趕上來。

量子計算的實驗體系

要用某個體系實現量子計算，需要滿足四個條件：一，用它表示量子比特，能長時間處於量子疊加態；二，使這個體系按照期望的方式變換；三，把量子比特製備到特定的初始狀態；四，測量體系的輸出狀態。遺憾的是，這些條件往往是互相矛盾的。例如原子核的自旋可以作為很好的量子比特，但是測量它的狀態卻非常困難。

因此，量子計算的實驗體系目前還是八仙過海，莫衷一是。主流的方案有四種：光子、光學共振腔、離子阱、核磁共振。包括中國科學技術大學的潘建偉、郭光燦、杜江峰三個研究組在內，世界各大研究組在這些方向有許多實驗研究。

至於非主流的方案，那就更多了：有說用量子點中的電子的，有說用超導體中的庫珀對的，有說用光頻點陣的，有說用玻色-愛因斯坦凝聚物的……這些都還算常規。還有說用粒子物理中的介子、夸克、膠子的！在你驚掉下巴之前，別急，還有說用宇宙學中的黑洞的！！

位於青海湖海心山的糾纏源（示意圖），用於百公裡量級自由空間量子隱形傳態和糾纏分發實驗

量子信息的應用

量子信息究竟能用來幹什麼呢？下面我們就開始介紹量子信息的若干項應用。在概念演示方面，有量子鈔票（一個有趣的防偽構想）和超密編碼（一個量子比特如何相當於兩個經典比特）。在量子計算方面，有因數分解（破解最常見的密碼體系）和量子搜索（用途最廣泛的量子算法）。在量子通信方面，有量子隱形傳態（「傳送術」，最科幻的應用）和量子密碼。量子密碼是目前唯一接近實用化的應用，但這一個就足夠證明量子信息的重要性。

量子原理（想像圖）

量子鈔票

設想一家銀行在鈔票上印一個|0>和|+>的量子比特序列，除了銀行外沒有人知道這個序列是什麼，那麼這種鈔票是無法偽造的。為什麼呢？一個用戶拿到一張鈔票，與銀行聯繫，銀行告訴它量子比特的序列。然後他對|0>的位置在|0>和|1>的基組下測量，必然得到|0>，對|+>的位置在|+>和|->的基組下測量，必然得到|+>，這樣就確認了鈔票的真實性。

量子世界（想像圖）

假如有一個人拿到這張真鈔後企圖複製一張偽鈔，在銀行不告訴他真實狀態的情況下，他只能自己做測量來嘗試知道哪些位置是|0>，哪些位置是|+>。但一旦他對|0>用了|+>和|->的基組，或者對|+>用了|0>和|1>的基組，就有一定的概率產生不應該有的|1>或|->。隨著量子比特序列的長度增加，這個概率無限趨近於100%，所以造假者會以接近100%的機率暴露其面目。

超密編碼

有兩個粒子處於前述的EPR態|β00> = (|00> + |11>)/√2，甲乙兩人各持有一個粒子。現在甲想要傳給乙一個兩位的經典信息（即00、01、10或11這四個字符串中的一個），卻只允許他傳一個量子比特，他能做到嗎？回答是：能。

微觀量子（想像圖）

做法是這樣的。如果想傳00，甲什麼都不用做。如果想傳01，甲就對手裡的粒子做一個變換，使整個體系變成|β01> = (|00> - |11>)/√2。如果想傳01，甲就對手裡的粒子做另一個變換，使整個體系變成|β10> = (|01> + |10>)/√2。如果想傳11，甲就對手裡的粒子做另一個變換，使整個體系變成|β11> = (|01> - |10>)/√2。做完這個變換後，甲把手裡的粒子交給乙，現在乙有了這兩個粒子的整體。所有這四個態|β00>、|β01>、|β10>和|β11>都是EPR對，或者稱為貝爾態。它們構成一個雙粒子態的基組，稱為貝爾基組。乙在貝爾基組下對兩個粒子做一次測量，確認是哪一個EPR對，就知道了甲要傳的是哪個二比特信息。

當然，這裡用到了兩個量子比特，但甲從來都沒有和乙手裡的粒子打交道。關鍵在於，僅僅對自己手裡的粒子做一次操作，就能使雙粒子狀態從一個貝爾態變成另一個貝爾態。

前面說過，一個量子比特潛在地具有很大的信息量。到底是多大呢？超密編碼說明，在某種意義上，一個量子比特相當於兩個經典比特，能夠以一當二！

因數分解

所謂因數分解，就是把一個合數分解成質因數的乘積，例如21 = 3 × 7。因數分解是數學中的經典難題。有人也許會問，這有什麼難的？分解21當然輕而易舉，但分解2^67 - 1 = 147,573,952,589,676,412,927呢？這是個18位數。直到1903年，人們才發現它是一個合數，等於193,707,721 × 761,838,257,287。

讓我們想想，如何分解一個數字N。最容易想到的算法，是從2開始，一個一個地試驗能否整除N，一直到N的平方根為止。如果N用二進位表示是個n位數，即N約等於2^n，那麼嘗試的次數大約就是2^(n/2)。位數n出現在指數上，這是非常糟糕的情況，因為指數增長是一種極快的增長，比n的任何多項式都更快。舉個例子，2^(n/2)比n的10000次方增長得還要快。

在計算機科學中，把計算量指數增長的問題稱為不可計算的，把計算量多項式增長的問題稱為可計算的。當然，你可以尋找效率更高的算法。對於因數分解，「從2開始一個一個試」並不是最聰明的算法。在經典計算機的框架中，目前最好的算法叫做數域篩，計算量是exp[O(n^(1/3) log^(2/3)n)]（在數學中，大寫字母O後面跟一個式子，表示結果跟這個式子具有同等的數量級），雖然有些改進，但仍然是指數增長。如果計算機一秒做10^12次運算，那麼分解一個300位的數字需要15萬年，分解一個5000位的數字需要50億年！

由此可以看出因數分解的一個特點：它的逆操作，即找兩個質數並算出乘積，是非常容易的；而它本身，卻是非常困難的。這種「易守難攻」的特性，使它在密碼學中得到了重要的應用。現在世界上最常用的密碼系統叫做RSA加密算法，這個名字是三位發明者李維斯特（Ron Rivest）、薩莫爾（Adi Shamir）和阿德曼（Leonard Adleman）的首字母縮寫。RSA是一種公開密鑰密碼體系，它的密鑰是對所有人公開的。為什麼敢公開？因為解密需要知道這個密鑰分解成哪兩個質數，而發布者有信心別人在正常的時間段內解不開。

量子計算（想像圖）

但是這種狀況要被量子計算改變了。前面說過，量子計算相對經典計算有潛在的巨大優勢，只是實現這種優勢需要聰明的算法設計，只有對極少數問題能夠設計出這樣的算法。而因數分解，就是這樣的問題之一。1994年，肖爾（Peter Shor）發明了一種量子算法，把因數分解的計算量大幅減少到O(n^2 logn loglogn)，指數式地加快！在這裡我們只舉兩個例子表明它的威力。同樣還是分解300位和5000位的數字，量子算法把所需時間從15萬年減到不足1秒鐘，從50億年減到2分鐘！

經典科幻電影《星際迷航記》中的場景，類似於量子隱形傳態

如此重大的變化，足以令密碼人員陷入恐慌。但實際上還沒有，人們仍然在淡定地用著RSA。為什麼呢？因數分解的量子算法只是理論，真要實現它還需要很多努力。

如前所述，量子計算的實驗非常難做。第一次真正用量子算法分解質因數是在2007年實現的，把15分解成3 × 5。有兩個研究組同時做出了這個實驗，一個是中國科學技術大學的潘建偉和陸朝陽等人，一個是澳大利亞布裡斯班大學的A. G. White和B. P. Lanyon等人。此後各國科學家不斷努力，使用種種辦法推向前進。目前分解的最大的數是143 = 11 × 13，是由中國科學技術大學的杜江峰和彭新華等人在2012年實現的，他們把肖爾算法改進成了量子絕熱算法。所以，密碼人員仍然可以照常工作，但必須時常關心量子計算的進展。不定什麼時候，全世界的密碼體系就必須徹底更新換代了！

量子搜索

設想有一部雜亂無章的N個人名的花名冊，其中的人名沒有按照任何特別的順序排列，你想在其中找到一個特定的名字，如「張三丰」，怎麼辦呢？在經典框架下，最好的算法就是老老實實地從頭看到尾。如果運氣好，第一個就找到了；運氣不好，到最後一個即第N個才找到。平均而言，這需要N/2次操作。

1996年，格羅弗（Lov Kumar Grover）提出了一種全局搜索的量子算法。如前所述，量子計算機能在一次操作中遍歷所有的條目。但如果我們只做一次操作然後去做測量，就只有1/N的概率得到正確結果，所以這沒有用處。但如果我們做了一次操作後不做測量，再做另一個操作，就會使正確結果的概率增大一些。把這種操作重複√N次，就會使正確結果的概率達到一半。把整個過程再重複幾次，就可以以非常接近100%的概率找到所需的條目。量子搜索付出的代價是結果不再是完全確定的，但好處是計算量從O(N)下降到了O(√N)，而不確定程度可以隨需求任意減少。

因子分解的量子算法對經典算法是指數級的改進，把不可計算變成了可計算。量子搜索對經典搜索卻只是平方級的改進，沒有發生質的變化，仍然是不可計算。但是這個改進已經非常大了。如果N等於一億，這就是一萬倍的節約。一類問題不可計算的意思，並不是完全不能計算，而是在問題的尺度大到一定程度後才算不動。量子搜索帶來的計算量下降，可以使「在實際條件下能夠計算」的問題範圍大大增加。由於全局搜索是非常常見而重要的問題，所以量子搜索的重要性並不遜於量子因數分解，甚或猶有過之。

量子隱形傳態

在科幻電影中，經常有把人從一個地方瞬間傳送到另一個地方的鏡頭。如果說這種傳送術有什麼科學依據，那就是量子隱形傳態。當然，實際上離傳送人還很遠，但現在已經能傳送一個光子了，——真的很了不起耶！：-）

量子隱形傳態是1993年設計出來的一種實驗方案，把粒子A的未知的量子態傳輸給遠處的粒子B，讓粒子B的狀態變成粒子A最初的狀態。請注意，傳的是狀態而不是粒子，兩個粒子的空間位置都沒有變化。好比A處有一輛汽車或一個人，不是把這輛汽車或這個人搬到B處，而是把B處本來就有的一堆汽車零件或原子組裝成這輛汽車或這個人。

有人要問了：那豈不得到了相同的兩輛汽車？兩個人？！哪個是真正的自己呢？！在為倫理問題發愁前，一句話就可以消滅這個問題：不會出現相同的兩個人。大自然早有安排，杜絕了這種可能性。當粒子B獲得粒子A最初的狀態時，粒子A的狀態必然改變。任何時刻都只能有一個粒子處於目標狀態，所以只是狀態的移動，而不是複製。如果一定要說複製，也是一種破壞性的複製。這好比武俠小說中，前輩把功力傳給後輩，傳完後前輩就沒有功力了，而不會同時出現兩個高手。在宏觀世界中複製一本書或一個電腦文件是很容易的，在量子力學中卻不能複製一個粒子的狀態，這是量子力學與經典力學的一個本質區別。

類似於量子隱形傳態，蟲洞也是科幻中出現的傳送方式

很多人認為隱形傳態可以瞬間把人傳到任意遠的地方，而且超過光速，推翻相對論。很遺憾，這個理解又是錯誤的。量子力學中狀態的變化確實是瞬時的，但是隱形傳態的方案中有一步是把一個重要的信息（可以理解為一個密碼）從A處傳到B處，利用這個信息才能把B粒子的狀態變成目標狀態。這個信息需要用經典信道傳送，例如打電話、發郵件，這一步的速度不能超過光速，所以整個隱形傳態的速度也不能超過光速。

利用量子原理進行加密

也有人以為隱形傳態是先掃描出A處的物或人的狀態，再在B處組裝一個相同的物或人。事實也並非如此。如果要先知道目標狀態，那還有什麼意思？隱形傳態是在不知道A粒子的狀態的情況下，把B粒子變成這個狀態！就像送快遞，不知道送的是什麼東西，但保證原原本本地送到。

總而言之，量子隱形傳態是以不高於光速的速度、破壞性地把一個粒子的未知狀態傳輸給另一個粒子。打個比方，用顏色表示狀態，A粒子最初是紅色的，通過隱形傳態，我們讓遠處的B粒子變成紅色，而A粒子同時變成了綠色。但是我們完全不需要知道A最初是什麼顏色，無論A是什麼顏色，這套方法都可以保證B變成A最初的顏色，同時A的顏色改變。

量子隱形傳態的基本思路是這樣：讓第三個粒子C跟B組成EPR對，而C跟A離得很近，跟B離得很遠。做一個操作，改變C的狀態，於是B的狀態也發生了相應的變化。這時A和C這個兩粒子集合的狀態有四種可能，即四個貝爾態。B的狀態也相應地有四種可能，每一種可能都跟A最初的狀態有一定程度的相似之處，可以通過某些量子力學的操作變成目標狀態。對A和C的整體做一次測量，A和C就隨機地突變到了四個貝爾態中的某一個上，相當於得到了一個兩比特的字符串，00、01、10或11，B也突變到了相應的狀態。把這個兩比特的字符串通過經典的通訊手段（比如電話、光纜）告訴B那邊的人，對B按照密碼進行操作，就得到了A最初的狀態。在某種意義上，可以把量子隱形傳態理解為超密編碼的逆操作，都是一個量子比特和兩個經典比特的交換，區別只是交換的方向。

第一次實現量子隱形傳態是在1997年，當時潘建偉在奧地利因斯布魯克大學的塞林格（Anton Zeilinger）教授門下讀博士，他們在《自然》上發表了一篇題為《實驗量子隱形傳態》（「Experimental quantum teleportation」）的文章，潘建偉是第二作者。這篇文章後來入選了《自然》雜誌的「百年物理學21篇經典論文」，跟它並列的論文包括倫琴發現X射線、愛因斯坦建立相對論、沃森和克裡克發現DNA雙螺旋結構等等。

2015年，潘建偉、陸朝陽等人在《自然》上發表了《單個光子的多個自由度的量子隱形傳態》（「Quantum teleportation of multiple degrees of freedom of a single photon」），新的成果是「多個自由度」。這項成果被英國物理學會評為2015年十大物理學突破之首。

什麼是自由度呢？自由度就是描述一個體系所需的變量的數目。例如在數學中確定一條線上一個點的位置，只需要一個數，自由度就是1。定位一個面上的一個點，無論用直角坐標、極坐標還是任何其他的坐標系，都需要兩個數，自由度就是2。同理，定位三維空間中的一個點，需要三個數，自由度就是3。在物理中描述三維空間中一個運動的粒子，確定位置需要3個數，確定速度又需要3個數，所以自由度是6。光子具有自旋角動量和軌道角動量，如果你看不懂這兩個詞，沒關係，只要明白它們是兩個自由度就夠了。在1997年的實驗中，傳的只是自旋角動量。此後人們傳輸過多種體系的多種自由度，但每次實驗都只能傳輸一個自由度。

量子密碼是迄今唯一有望實用化的量子信息應用（想像圖）

傳輸一個自由度固然很厲害，但是只具有演示價值。隱形傳態要實用，就必須傳輸多個自由度。這在理論上是完全可以實現的。打個比方，現在用顏色加形狀來表示狀態，A粒子最初是紅色的正方形，我們通過隱形傳態讓B粒子變成紅色的正方形，同時A變成綠色的圓形。這個擴展看似顯而易見，但跟傳輸一個自由度相比，有極大的技術困難。隱形傳態需要一個傳輸的「量子通道」，這個通道是由多個粒子組成的，這些粒子糾纏在一起，使得一個粒子狀態的改變立刻造成其他粒子狀態的改變。用量子力學的術語說，這些粒子處於「糾纏態」。讓多個粒子在一個自由度上糾纏起來已經是一個很困難的任務了，而要傳輸多個自由度，就需要製備多粒子的多個自由度的「超糾纏態」，這更加令人望而生畏。潘建偉研究組就是攻克了這個難關，搭建了6光子的自旋-軌道角動量糾纏實驗平臺，才實現了自旋和軌道角動量的同時傳輸。

《道德經》說：「道生一，一生二，二生三，三生萬物。」我們可以說1997年實現了道生一，那時潘建偉還是博士生。2015年實現了一生二，這時他已經是量子信息的國際領導者。從傳輸一個自由度到傳輸兩個自由度，走了18年之久，這中間有無數的奇思妙想、艱苦奮鬥，是人類智慧與精神的偉大讚歌。

量子通信有很好的保密性（想像圖）

好，我們現在終於可以傳送一個光子的兩個自由度的完整狀態了，那麼離傳人還有多遠的距離呢？可以這樣估算。12克碳原子是1摩爾，即6.023 × 10^23個。人的體重如果是60公斤，就大約有5000摩爾的原子，3 × 10^27個。描述一個原子的狀態，我不知道要多少個自由度，姑且算作10個吧。那麼要描述一個人，就需要10^28量級的自由度。我們剛剛從1進步到了2……所以，嗯，我們的徵途是星辰大海！

量子密碼

這是迄今唯一接近實用化的量子信息應用。雖然只有這一個，但這一個就具有極高的軍事和商業價值，足以證明各國對量子信息的大力投入是物有所值的。許多人把量子密碼跟量子隱形傳態混為一談，其實它們完全是兩回事，而且在實現的難度上相差甚遠。在許多語境下，「量子通信」這個詞指的就是量子密碼，也就是量子保密通信。

前面說到目前最流行的密碼體系是RSA，它的可靠性是以因數分解的困難性為基礎的。量子密碼的基本出發點與它不同，不是基於任何數學運算的困難性，而是基於物理原理。因此，量子計算的進步會使RSA岌岌可危，量子密碼卻不會被任何技術進步攻破。這麼好的東西，原理究竟是什麼呢？

其實很簡單。製備若干個處於|β00> = (|00> + |11>)/√2態的EPR對，每一個EPR對都讓甲乙兩人（在文獻中常稱為Alice和Bob）各拿一個粒子。甲通過擲骰子產生一個序列，擲出正面時就在自己粒子的|0>和|1>基組中做測量，擲出反面時就在自己粒子的|+>和|->基組中做測量。乙通過擲骰子產生另一個序列，也是擲出正面時就在自己粒子的|0>和|1>基組中做測量，擲出反面時就在自己粒子的|+>和|->基組中做測量。請注意，(|00> + |11>)/√2 = (|++> + |-->)/√2，所以這個EPR對不但在測量粒子1的|0>和|1>態時必然使粒子2變成相同的狀態，也在測量粒子1的|+>和|->態時必然使粒子2變成相同的狀態。

擲完骰子，做完測量後，甲乙兩人通過公開的經典信道把自己的骰子序列傳輸給對方。有些地方骰子序列不同，兩人做的是不同基組下的測量，那就把這些測量結果扔掉，只留下那些相同基組下測量的結果。這樣就得到一串0和1的序列。由於|β00>這個糾纏態的性質，兩人的序列必然是完全相同的。而且這個序列還是完全隨機的，在測量之前無法預測，每次重新生成也都會不同。這正是密碼學中「一次性便箋」的思想。

為了應對可能的竊聽者，甲乙兩人在相同基組下測量的結果中又隨機地挑一些公布，和對方的結果對比。一旦發現有一個不同的，就說明有人在竊聽，因為竊聽是一種測量，必然會改變系統的狀態。隨著對比的位數增多，竊聽者會以趨近於100%的機率暴露無遺。

通過反竊聽的檢驗後，兩人把序列中剩下的部分作為密鑰。這時他們可以放心，這個密鑰沒有任何別人知道。然後他們用任何經典的方法傳輸信息，電話也好，電子郵件也好，光纜也好，甚至平信，都可以。唯一的特別之處，只是用量子密鑰對信息進行了加密，對方收到後用同一個量子密鑰解密。

量子密碼有多種實現方案或者稱為協議，以上所述是其中的一種「EPR協議」。各種協議的基本思想是一樣的，都是利用量子力學的內在隨機性，在物理層面上排除被破解的可能性。如果說因數分解的量子算法是最強的矛，量子密碼是最強的盾，那麼請問，以子之矛攻子之盾，誰勝？答案是：盾勝！

有趣的是，研究量子密碼的緊迫性跟量子計算的進展有關。等到可以破解RSA的量子計算機實用化時，量子密碼必然成為各國的不二選擇。

量子衛星

量子科學實驗衛星是幹什麼的呢？量子保密通信的理論是歐美科學家提出的，而在實驗方面是中國科學家領先。最初只能在不到1米的距離內傳輸，現在已經超過了200公裡。近年來紀錄不斷刷新，而創造紀錄的幾乎全都是中國科學技術大學的研究組。但目前都還是在地面上的光纜中傳輸。下一個問題就是，能不能在太空與地面之間的自由空間中傳輸？這就是量子科學實驗衛星要實驗的首要科學問題。

量子通信地面站

不但如此，量子衛星還可以進行更多的量子信息實驗。它包括4個有效載荷：量子密鑰通信機、量子糾纏發射機、量子糾纏源、量子試驗控制與處理機。現在，你明白這些詞都是什麼意思了吧？衛星採用的是平臺和載荷一體化設計，體積不大，重量只有數百公斤。

量子衛星問答

問：量子衛星和以前的衛星有何區別？目前全世界有幾家有這類衛星？

答：這是第一顆專門用來做量子信息實驗的衛星。以前有一些衛星能夠做量子信息實驗，但時間窗口非常有限，每天大概只有十幾分鐘。目前沒有任何別的國家有專門的量子衛星，中國這是全世界第一顆。

問：什麼時候能民用普及？

答：這取決於成本的下降速度。量子保密通信的終端機，五年間成本就從百萬元下降到一二十萬元左右，降幅近10倍。潘建偉估計，在可預見的未來，終端設備還可能降至萬元以下，進入家庭是完全可能的。在2016年的兩會上，他表示：「希望通過10年左右的努力，將來每個人在網際網路上進行的轉款、支付等消費行為，都能夠享受到量子通信的安全保障。」

問：量子計算機什麼時候能造出來？

答：很難預測，因為誰也不知道這些技術難題用什麼樣的材料、什麼樣的思路去解決，還需要很多嘗試。用一位專家的話說，可能是明年，可能是一千年後。

問：在量子信息領域，中國和歐美有多大差距？

答：在量子通信的實驗方面，中國領先，已經接近產業化了。在量子計算方面，歐美領先，中國也有很多重要的成果，而整個領域離實用還非常遠。在量子信息的理論方面，歐美領先，中國需要向理論研究投入更多的人力物力。

當然，隨著中國實驗條件的提高，例如量子衛星佔據相關實驗的制高點，中國的理論家也會獲得更多更好的實驗機會，會形成良性循環。這可能會導致一種「工程技術逆襲理論研究」的發展模式。

大圖景

量子衛星發射，標誌著中國的量子通信產業化邁出一大步。中國首先創造一個新的產業，叢人類進入現代社會以來還是第一次。中國的高鐵現在做到了世界第一，但日本早就有新幹線了。華為在通信領域做到世界第一，但通信行業也早已存在。只有量子通信，在國際上是沒有先例的，所以這個中國首創的產業歷史意義非常重大。現在中國的發展已經到了要以科技創新為核心的階段。潘建偉、郭光燦、杜江峰等科學家的業績，是時代的最強音。