中考數學壓軸題專題訓練,巧作平行線構造相似三角形,值得研究

2020-12-21 胡說評教育

中考數學壓軸題涉及的知識面廣，綜合性強，不僅考查學生的知識應用和計算能力，還考查學生的解題方法和解題技巧。

今天，胡老師給大家分享與相似三角形相關的中考壓軸題。解題時，往往會遇到要證的問題與相似三角形聯繫不上或者說圖中根本不存在相似三角形的情況，添加輔助線構造相似三角形是這類幾何證明題的一種重要方法．常作的輔助線有以下幾種：(1)由比例式作平行線；(2)有中點時，作中位線；(3)根據比例式，構造相似三角形。

證明：

（方法一）

過點C作CF∥AB，交DE於點F，

∴△CDF∽△BDE.∴CF：BE＝CD：BD.

∵點M為AC邊的中點，∴AM＝CM.

∵CF∥AB，∴∠BAC＝∠MCF.

又∵∠AME＝∠CMF，

∴△AME≌△CMF.∴AE＝CF.

∵AE＝1/4AB，BE＝AB－AE，∴BE＝3AE.

∴AE：BE＝1：3.

∵CF：BE＝CD：BD，

∴AE：BE＝CD：BD＝1：3，即BD＝3CD.

又∵BD＝BC＋CD，∴BC＝2CD.

(方法二)

過點C作CF∥DE，交AB於點F，

∴AE：AF＝AM：AC.

又∵點M為AC邊的中點，∴AC＝2AM.

∴2AE＝AF.∴AE＝EF.

又∵AE＝1/4AB，∴BF：EF＝2.

又∵CF∥DE，∴BF：FE＝BC：CD＝2.

∴BC＝2CD.

(方法三)

過點E作EF∥BC，交AC於點F，

∴△AEF∽△ABC.

由AE＝1/4AB，

知EF：BC＝AE：AB＝AF：AC＝1/4，

∴EF＝1/4BC，AF＝1/4AC.

∵EF∥CD，∴△EFM∽△DCM，∴EF：CD＝MF：MC.

又∵AM＝MC，∴MF＝1/2MC，

∴EF＝1/2CD.∴BC＝2CD.

(方法四)

過點A作AF∥BD，交DE的延長線點F，

∴△AEF∽△BED.∴AE：BE＝AF：BD.

∵AE＝1/4AB，∴AE＝13/BE.∴AF＝1/3BD.

由AF∥CD，易證得△AFM∽△CDM.

又∵AM＝MC，∴AF＝CD.

∴CD＝1/3BD.∴BC＝2CD.

四種方法各有優缺點，但都遵循由已知線段的比，求證另外兩線段的比，通過添加平行線，構造相似三角形的特點。

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