圓周率在二進位下會是無限循環小數嗎?

2020-12-16 火星科普

圓周率π在十進位下是一個無理數,那麼,在二進位下,圓周率會是一個有理數嗎?或者說是一個無限循環小數嗎?

在十進位下,圓周率的大小約為3.141592653589793……。數學家早已經在數學上嚴格地證明出圓周率是一個無理數,這意味著它是無限不循環小數。不管在二進位,還是八進位,或者十六進位,圓周率始終都不可能是有理數,它是無理數這個性質不會隨著進位的轉換而發生變化。因為進位只是數的表示方式,並不會影響到數本身的性質。那麼,圓周率用二進位表示為多少呢?

所謂的十進位是指逢十進一,而二進位則是指逢二進一。在十進位的情況下,一個小數的第k個小數位表示10^-k。同樣的道理,在二進位的情況下,一個小數的第k個小數位表示2^-k。那麼,圓周率的二進位形式(小數點前50位)為11.00100100001111110110101010001000100001011010001100……。在二進位下,圓周率同樣是一個無限不循環小數。

另外,通過如下的貝利-波爾溫-普勞夫公式(BBP公式),還能計算出圓周率第n位二進位數,而無需計算前面的所有位數:

貝利-波爾溫-普勞夫公式

另外,在π進位下,圓周率確實是一個有理數。因為逢π進1,所以圓周率在π進位中就是10,這是一個整數,而非無理數。然而,這麼做似乎沒有意義,這純粹是為了讓圓周率變成有理數的做法。這麼做,與直接定義圓周率是有理數並沒有什麼區別。

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    隨著科學技術的發展,智能機器的出現,慢慢改變人算的格局,徹底將圓周率延伸到小數點後的億位數,已經達到很恐怖的數量級。一旦圓周率被算到無盡,這對於數學界的相關理論來說是個巨大的衝擊,對其它方面的研究也有一定程度的促進,數據也會要求更加精確。
  • 如何將無限循環小數化為分數
    在小學數學中學習了整數、小數和分數,在六年級的數學中經常會出現分數、小數混合運算的題目,那麼熟練地將小數與分數互化就非常重要了。我們發現,有的分數能化為有限小數,如1/2,3/4,2/5,7/8,13/20……有的分數隻化為無限循環小數,如1/3,5/6,2/7,4/9,7/12……那麼哪些分數能化為有限小數呢?
  • 數理轉換,互為質數與進位轉換
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  • 無限循環小數零點九,九循環化成分數後等於多少
    在學習了小數、分數之後,它們也會有比較大小。我們知道平常小數的比較大小,如果是只有小數部分,那麼小數點對齊,各個數位依次對齊,先進行比較整數部分,整數部分起著一錘定音的作用。有時候我們會遇到小數與分數比較大小,可能需要用到小數與分數的互化。今天我們說說純循環小數怎樣化成分數?
  • 關於二進位、十進位、八進位、十六進位數據轉換計算方法詳細總結
    這個也是計算機在轉換中會產生誤差,但是由於保留位數很多,精度很高,所以可以忽略不計。>二進位101對應5小數部分為:0.5得到結果:將101110.101轉換為八進位為56.5 ② 將二進位數1101.1轉換為八進位 這個就簡寫了,看看你能看懂了嗎?
  • 神秘的圓周率,包含所有人銀行卡密碼、生日和手機號,這可能嗎?
    圓周率大家都很清楚,在學生時代數學和物理課上經常會出現它的身影,只要是跟「圓」有關的都少不了圓周率的存在,它可以用希臘字母「π」來表示。例如一個圓的周長和直徑的比值,以及圓面積和半徑平方的比值就是圓周率。在我們上學的時候對「π」的應用,一般都是近似的取值為3.14。
  • 圓周率是算不盡的無理數,若哪天它算盡了,會產生什麼嚴重後果?
    據說曾經有個老先生要出遠門,為了哄住自己的小徒弟,就給他出了一道難題,讓他把圓周率後面的一大串無限不循環小數給背下來。老先生心裡想,這麼多數字,夠這小子在家裡背一陣子了,省得他給我找麻煩。沒想到,等他回來的時候,他的小徒弟卻醉醺醺的在那裡喝酒,氣得他大罵起來:圓周率你背完了嘛?
  • 據說圓周率中能找到所有人生日、銀行卡密碼和手機號,是真的嗎?
    話說種花家還專門下載了幾個版本的圓周率文本,100萬位的,未壓縮版版本1.12M,隨便在裡面搜了幾個生日,比如910218,因為很多人就用自己的生日做密碼,比如支付寶支付密碼就是6位數字,所以種花家保證這一定某人的支付寶密碼!
  • 圓周率,小數點後面共有多少位,以計算到十萬億位
    相信很多人對圓周率都有印象,畢竟圓周率在數學中經常出現,而且圓周率是很多人接觸的第1個無限不循環小數,甚至很多人在上學的時候還背過圓周率,在古代缺少數學技巧的情況下,我國偉大的數學家祖衝之利用複雜的割圓術,將圓周率的計算精確到小數點後7位,也就是大家常記得3.1415926。
  • 目前圓周率已經達到小數點後31.4萬億位,為何還要算?有什麼用處?
    圓周率這玩意想必大家小時候都有背過,至少能背個十多位;但實際使用時我們會發現,一般只會取其中的前兩位小數,也就是3.14,因為平常生活中不需要精細到這種程度。既然生活用不到,為何圓周率的計算還在一直進行?
  • 圓周率已經到了十萬億位了,為什麼還要計算下去?有什麼意義嗎?
    我們知道,在古代,因為條件的限制,導致圓周率計算出來的位數有限。但是隨著科學技術的發展,如今,人們有了電腦,有了很多輔助的工具可以進行。所以,在電腦的幫助下,人們已經將圓周率的計算結果,計算到了十萬億位數以後。儘管如此,人們現在對圓周率的計算並沒有停止,那麼這是為什麼呢?圓周率的計算有什麼意義呢?
  • 圓周率的涵義你知多少?
    圓周率是圓的周長與直徑的比值,一般用希臘字母π(讀作pài)表示。這是一個普遍認知的公式,它簡單地描述了圓的圓周如何隨直徑變化。無論圓的大小如何,圓的圓周與其直徑的比值為恆定的值。例如,如果一個圓的直徑變為原先的二倍,它的周長也將變為二倍,這個圓周與直徑的比值不變。圓的周長總是略大於其直徑的三倍多點,精確的比值稱為π。
  • 優學派背誦圓周率挑戰賽火爆抖音!世界冠軍呂超竟然也來打CALL?
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  • 圓周率之歌走紅 學霸用諧音來記住圓周率
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    計算機能夠識別的數制是二進位數,二進位數是用0和1兩個數字來表示的數,計算機的指令集也是採用二進位表示,機器語言就是用二進位數編寫程序。可以藉助十進位數來理解二進位數。在十進位中,每一位有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十個數碼,因此基數為10,超過9就必須用多位數來表示,並遵循逢十進一的原則。
  • 如何證明圓周率為無理數?
    在三千多年前,人們就已經開始使用圓周率。但直到兩百多年前,圓周率是無理數才被德國數學家蘭伯特所證明。所謂的無理數是指無法用分數表示的數,只能寫作無限不循環的小數。由於tan(π/4)=1,1是有理數,所以π/4是一個無理數,由此就證明了圓周率π是一個無理數。其他證明π是無理數的方法大都是用到微積分和反證法,下面介紹一下由美國數學家伊萬·尼文(Ivan M. Niven)在1947年證明π是無理數的方法。假設π是有理數,那麼,它可以由分數表示,令π=a/b,其中a和b均為整數。
  • 日本科學家計算出圓周率的最新長度:31萬億位!
    Emma Haruka Iwao圓周率是個什麼東西?大概每個人都能脫口而出:不就是圓的周長和直徑的比率嗎?由於圓周率是一個無限不循環小數,從古代開始,人類就一直想知道這個數字究竟是多少。我國古代數學家祖衝之是第一個將圓周率精確到7位的科學家,他當時計算出的圓周率是3.1415926,幾乎同一時期,印度科學家也將這個數值精確到了5位。計算機誕生以後,人類對於這個數字的認識有了突飛猛進的進展,2017年3月,業餘圓周率愛好者Peter Trueb經過長達105天的計算,將這個數值精確為9萬億位。