數學中那些看起來不證自明的道理（一）：傳遞性

01--傳遞性是什麼？

傳遞性是什麼？象快遞小哥，風裡來，雨裡去，一站一站上傳下達。傳遞性象接力棒，雖被不同的人掌握，但都是為一個共同的目標，一棒一棒去拼搏。傳遞性象人類基因，承載著上輩喜怒哀樂的信息編碼，一代一代傳承下去。

一段文字，用文學的手段，描述了我們心中的傳遞性。但如鋼鐵般冷峻而理性的數學不會以此定義傳遞性的。數學中的傳遞性是什麼？傳遞性是指數量之間（或圖形之間）關係的傳承不變性。

02--哪些關係具有傳遞性？

初中數學數量之間的關係，相等，不等（大於，小於）等。圖形之間的關係，平行，相交，垂直，全等，相似等。這些關係中，哪些具有傳遞性？

細數起來，這些關係具有傳遞性：相等，大於，小於；平行，全等，相似。

比如：

數量之間關係有傳遞性：

• 若a=b，b=c，則a=c（相等的傳遞性）；
• 若a>b，b>c，則a>c（大於的傳遞性）；
• 若a<b，b<c，則a<c（小於的傳遞性）。

圖形之間關係有傳遞性：

• 若a//b，b//c，則a//c（平行的傳遞性）；
• 若△ABC≌△DEF，△DEF≌△GHI，則△ABC≌△GHI（全等的傳遞性）；
• 若△ABC∽△DEF，△DEF∽△GHI，則△ABC∽△GH（相似的傳遞性）。

03--這些關係為什麼具有傳遞性？

這些看似天經地義，「不證自明」的道理，你能否用數學的邏輯自圓其說呢？

• 若a=b，b=c，則a=c（相等的傳遞性）；

假設a≠c。因為a=b，則b≠c。這與已知b=c矛盾，因而假設不成立，所以a=c。

故相等關係具有傳遞性。

• 若a>b，b>c，則a>c（大於的傳遞性）；

從形的角度來看，在數軸上，數與點是一一對應的。越靠右的點所對應的數越大，越靠左的點對應的數越小；越大的數，對應點越靠右，越小的數，對應點越靠左。

如圖，在數軸上a，b，c的對應點分別為A，B，C。因為a>b，則點A在點B的右邊。因為b>c，則點B在點C的右邊，因而點A在點C的右邊，所以a>c。

故大於關係具有傳遞性。

• 若a<b，b<c，則a<c（小於的傳遞性）。

因為若a<b，則b>a，又b<c，則c>b，所以c>b，b>a，由「大於的傳遞性」得，c>a，即a<c。

故小於關係具有傳遞性。

• 若a//b，b//c，則a//c（平行的傳遞性）；

如圖，設直線d與a，b，c同時相交，組成一組同位角∠1，∠2，∠3。

因為a//b，所以∠1=∠2；因為b//c，所以∠2=∠3。由「相等的傳遞性」得，∠1=∠3，所以a//c。

故平行關係具有傳遞性。

• 若△ABC≌△DEF，△DEF≌△GHI，則△ABC≌△GHI（全等的傳遞性）；

因為△ABC≌△DEF，所以△ABC與△DEF的三邊對應相等，三角對應相等；因為△DEF≌△GHI，所以△DEF與△GHI的三邊對應相等，三角對應相等。由「相等的傳遞性」得，△ABC與△GHI的三邊對應相等，三角對應相等，所以△ABC≌△GHI。

故全等關係具有傳遞性。

• 若△ABC∽△DEF，△DEF∽△GHI，則△ABC∽△GH（相似的傳遞性）。

因為△ABC∽△DEF，所以△ABC與△DEF的三邊對應成比例，三角對應相等；因為△DEF∽△GHI，所以△DEF與△GHI的三邊對應成比例，三角對應相等。由「相等的傳遞性」得，△ABC與△GHI的三邊對應成比例，三角對應相等，所以△ABC∽△GHI。

故相似關係具有傳遞性。

04--這些關係為什麼不具有傳遞性？

我們知道，要說明一個結論是成立的，光靠舉例來說明是不夠的。一千個例子，也不足以說明結論的正確。但要說明一個結論不成立，一個反例就夠了，一個反例足以推翻一個結論。

我們來看看，「≠」關係具有傳遞性嗎？

若a≠b，b≠c，則a≠c。

此結論不成立。舉反例：1/2≠1,1≠4/8,但1/2=4/8=0.5。

所以「≠」關係不具有傳遞性。

垂直關係具有傳遞性嗎？

在同一平面內，若a⊥b，b⊥c，則a⊥c。

如圖，

因為a⊥b，所以∠1=90°。因為b⊥c，所以∠2=90°，由「=」的傳遞性得，∠1=∠2，所以a//c，因而a與c不垂直。

這就是定理「一條直線垂直於平行線的一條，也垂直於平行線的另一條」的由來。

這條定理還有另外一種說法「垂直於同一條直線的兩條直線互相平行」。

所以「⊥」關係不具有傳遞性。

05--結語

相等，大於，小於，是表示數量之間的關係；平行，全等，相似是表示圖形之間的關係。這些關係是初中數學中最最基本的關係，而傳遞性是它們所共有性質。傳遞性，看起來是不證自明的，但數學的神奇之處就在於它們總能用數學的邏輯自圓其說，具備這種自圓其說的本領正是學習數學證明的目的。

從說明這些關係具有傳遞性的證明方法中，我們發現：

• 自圓其說都是建立在一些最基本的數學概念、公理、定理之上，同時一個結論被證明以後，它又可以作為進一步推理的基礎，由此派生出新的結論，數學大廈由此建構。
• 圖形的（平行/全等/相似）關係總是轉化為（邊/角）數量關係來說明，有時候數量之間的（大小）關係又轉化為圖形之間的（位置）關係來說明。這正是「數形結合」的數學思想的體現。
• 難則反(證法)，不易直接說明的，可以從假設(否定結論)出發，推出矛盾，再否定假設，從而得證。
• 有限的舉例，不足以結論的正確性，但一個反例，足以說明結論的反面成立。