數系發展：
自然數：原始人計算捕獲幾隻獵物，採摘幾隻果子，儘管自然數是如此自然，但是標識它的1,2,3，…也僅僅是計數符號而已。序數理論是義大利數學家皮亞諾提出來的。他總結了自然數的性質，用公理法給出自然數的如下定義：
自然數集N是指滿足以下條件的集合：①N中有一個元素，記作1。②N中每一個元素都能在N中找到一個元素作為它的後繼者。③ 1是0的後繼者。④0不是任何元素的後繼者。 ⑤不同元素有不同的後繼者。⑥（歸納公理）N的任一子集M，如果1∈M，並且只要x在M中就能推出x的後繼者也在M中，那麼M=N。
整數：解決2-3這樣的問題，引入負數，數系擴展到整數。
有理數：諸如1/3這種比例數的引入，擴展到有理數。
無理數：最早發現正方形對角線長度不能用有理數來表示，引入無理數，數系擴展到實數。
16世紀，義大利文藝復興時期百科全書式的學者卡爾達諾發表的著作《大術》中第一次出現了平方為負數的數。卡爾達諾寫下了「5+sqrt（-15）」和「5-sqrt（-15）」兩個答案，且提出這兩個答案的確滿足問題的所有條件，但是他認為這只是技巧而已，意義不大。但卡爾達諾提出了一個重要的思想：只要承認虛數，那麼一些原本沒有答案的問題會找到答案。
當然，沒有立刻被數學家所接受，比如笛卡爾（百歲山廣告裡面就是笛卡爾的故事！）認為不能用圖形來表示負數的平方根，笛卡爾認為一切圖形問題都可以轉化為計算問題，負數的平方根不能用圖形表示，故不能計算此類問題，將此數稱為「虛構的數」。19世紀西方傳教士將此思想傳到中國，我們便簡稱虛數。
18世紀，瑞士大數學家歐拉開始研究虛數，並將-1平方根作為虛數的單位i（取imaginary首字母）。歐拉揭示了虛數重要的性質，且得到了被稱為數學最美的公式：
物理學家費曼將其稱為「人類的法寶」。
歐拉在研究無窮級數的時候，發現
在實數世界中沒有關係的指數函數和三角函數，在引入虛數後，便可將兩者緊密的聯繫在一起。
後來數學家將虛數定義在與實數軸垂直的直線上，被稱為虛數軸，至此虛數飽受詬病的不能可視化解決了。高斯還將平面上每一個點的數，稱為複數，平面稱為複平面。
複數的加減法即兩個向量的加減法。那麼針對i的乘法呢？我們知道用i的4次方才回到原來的位置，因此i意味著逆時針轉90度。
那麼虛數主要用途體現在哪裡？
1.虛數是解一元三次方程的必須工具
看到判別式小於0時，不可避免要引入虛數了。
2.虛數的發明對物理學發展起到了巨大推動作用
愛因斯坦狹義相對論在闡述四維時空中的距離時，引入虛數，更容易讓人接受；在電磁學、通信領域引入虛數更容易理解。當然這些理論，不一定非要引入虛數來解釋。但是量子力學不得不引入虛數了，根據海森堡不確定性原理，沒有進行觀測時，單個原子所處的位置是不確定的，引入虛數後計算電子位置的概率，概率分布用具有複數值的波函數來表示的。
3.利用虛數在數學上可以解決一些奇怪的問題，比如伽莫夫問題，
從前，有個富於冒險精神的年輕人，他在曾祖父的遺物中發現了一張羊皮，上面指出了一個寶藏的位置，它是這樣寫著：「乘船至北緯xxx度，西經xxx度，即可找到一座荒島島的北岸有一大片草地，草地上有一棵橡樹和一棵松樹，還有一座絞架，從絞架走到橡樹，並記住走了多少步，到了橡樹向右拐個直角再走這麼多步，在這裡打個樁然後回退到絞刑架，朝松樹走去,同時記住所走的步數到了松樹向左拐個直角再走這麼多步,在這裡也打個樁，在兩個樁的正當中挖掘，就可以找到寶藏」。尋找寶藏的指示寫得非常清楚，所以這位年輕人就租了條船前往此島但令他大失所望的是雖然橡樹和松樹都還在，經過長時間的風吹日曬絞架已糟爛成土,失去了蹤影，結局是悲慘的，這位年輕的冒險家陷人了絕望，他在地上亂掘起來，最終還是沒能尋得寶藏。如果這位冒險家能多思考一下的話，他就能輕易地獲得寶藏，因為寶藏埋藏的地點只依賴於橡樹和松樹的位置，與絞架的位置無關！
用複數來解決此問題：
結論：虛數的確不像其它數那樣直觀，很難從直觀角度理解虛數的意義。虛數是我們開眼看世界的結果，開眼後卻給我們帶來更大的謎團，我們甘願苦行萬裡，只為了抵達那裡。