一、數軸
「虛數i」到底是什麼？為何如此神奇？到底有哪些重要作用？
下面從數軸說起：
「數軸」是學習數學的重要工具。
自然數、整數、負數、無理數等「一切數的問題」只有放在「數軸」中去討論，才不會顯得亳無頭緒。
在虛數還沒發現之前，單條數軸，足以描述所有的實數。但到了17世紀時，數學家笛卡爾發現了虛數，這時一條數軸己顯得不夠用了，於是創立了著名的「笛卡爾直角坐標系」。
「笛卡爾直角坐標系」可以描述為：兩條相互垂直於「原點」的兩條數軸。當我們討論「數的關係」時，「笛卡兒坐標系」就成了非常有用的工具，一切數都能在「直角坐標系」中找到對應的點。
「直角坐標系」第一次建立起了「數形結合」的思想，第一次使用數學公式描述幾何圖形中的「距離」和「角度」，在代數與幾何之間架起了橋梁，笛卡爾建立了一門劃時代的數學分支「解析幾何」。
解析幾何第一次引入了「變量」的概念，牛頓和萊布尼茨以此為基礎創建了「微積分」。
「微積分學」進一步發展為「實變函數論」。
二、虛數與複平面
笛卡爾發現虛數出現後，在「直角坐標系」上建立了「複平面」，用公式可表示為：z=a+bi。
在人們沒有發現複平面時，人們常常感覺「數不夠用。
而現在，數學家們現己經嚴格證明，「一切數」都能在複平面中找到，「數的範圍」不會再超過複數的範圍。
複變函數以「複數為變量」，用於分析函數的規律與變化，其內容豐富，實用性極強，被用於「流體力學」和「航空動力學」，解決了飛機機翼的結構問題。
著名的歐拉公式以「虛i和π的積」做為「自然底數e」的指數，將「複變函數」與「三角函數」聯繫在了一起，這使得「複變函數」也籠罩上了一層神秘的色彩。
數學家稱讚「複變函數」是一種非常和諧的理論，研究它簡直是一種享受。
三、虛數與量子力學、相對論
虛數的發現在自然學科中發揮出了重要的作用。20世紀初，「量子力學」誕生，具有傳奇色彩的薛丁格方程問世，令人著迷的是，這個著名方程裡也含有「虛數i」，
但虛數這個東西，一開始實在是看不出它有什麼意義，所以即使它在數學計算裡大量出現，數學家們一開始還是不承認它的名分。比如著名的數學家歐拉就說，虛數是想像出來的數，是不可能存在的，它們什麼都不是，純屬虛幻。不過話雖這麼說，歐拉該用虛數的時候還是用，因為實在沒辦法，不用的話，很多計算根本無法進行。
虛數的這種尷尬地位持續了整整有200多年，最後還是兩個業餘數學家給了它一個名分。這倆人一個是測繪員，一個是會計師，他倆從幾何的角度，給虛數做了這樣一個解釋：你看啊，我們平常說的「數軸」，一般就是畫一條橫線，然後標上一個零點，左邊是負數，右邊是正數。那虛數如果要在數軸上找一個位置，應該怎麼找呢？這兩位說，在這條橫線上，那肯定是找不到的，我們應該在零點處畫一條跟橫軸垂直的縱軸，也標上1、2、3、4……只不過這條線是代表虛數，所以其實是1i、2i、3i……這樣一來，兩條線組成一個坐標系，所有的數字，就都能在這個坐標系裡找到了。比如15i，也就是根號-15，就在坐標軸裡的縱軸上，如果是20+根號-15，那就在橫軸上找到20，縱軸上找到15i，然後二者一交會，就能在坐標軸裡找到這個數字。
你肯定想問，道理我都懂，但這個虛數不還是沒用嗎？其實，虛數還真有用，而且有大用處。我們可以用虛數，來把時間和空間結合起來，構建出一套四維空間的幾何學。而這套幾何學會讓我們發現，時間和空間並不是絕對獨立的，也不是恆定不變的。如果你對物理學比較熟悉就會發現，這個觀點就是愛因斯坦相對論的雛形。
我們生活的世界，在空間上是一個三維世界，意思就是說，確定任何一個位置，無論你採用哪種方法，都至少需要三個維度的數據才能確定，比如經度、緯度和高度。但如果我們要確定某件事情的具體狀況，那光有空間還不夠，還得加上另一個維度，時間。比方說，在2017年9月24日晚上10點，北京市海澱區下了一場雨，這才能準確地說出一個具體的事件。所以，我們需要四個維度，才能準確地確定某件事的時空位置。也就是說，我們生活在一個四維的時空世界中。
但如果要把時間看成是第四維度，就必須要面對一個問題，就是怎麼才能把時間和空間聯繫到一起進行計算呢？比如說，我們怎麼才能測量一個四維時空裡兩個事件之間的距離呢？如果要測量長寬高，那我們可以用統一的單位，比如多少米、多少英尺。但如果要測量時間的話，就只能用小時、分鐘、年這些計量單位。那1米跟1小時，怎麼結合？
乍看起來，這個問題就跟負數的平方根一樣，毫無意義，但其實也有辦法解決。舉個例子。如果你出門問路，說地鐵站還有多遠啊？那人家可能會跟你說，有點遠，走路還要20分鐘，你不如騎個共享單車，5分鐘就到了。這就是一個典型的，用時間來表示距離的辦法。我們只要找到一個確定的速度，就可以把時間轉換成空間。那怎麼找到這個確定的速度呢？你可能已經想到了，就是光速。科學家已經發現，光在真空中的傳播速度是恆定的，不受任何情況的影響。如果我們把光速和時間結合到一起，就可以得到一個距離單位，比如光年就是一個距離單位，代表光在一年時間內傳播的距離。如果我們要計算5分鐘相當於多遠，那就用5分鐘乘以光速，就能得到一個距離。
現在所有的工具都全了，我們看看科學家是如何確定四維時空裡，兩個事件的距離的。測量兩個事件在空間上的距離很簡單，而時間上的距離剛才也說了，我們可以測出兩個事件之間的時間間隔，然後乘以光速，就能得到一個距離。
關鍵在於，時間和空間，畢竟還是不一樣的兩種東西。不能把這兩個結果簡單地加在一起，那樣是沒有意義的。這兩個距離必須要有所區分，顯示出不同才行。那怎麼區分呢？科學家想了個辦法：建立一個坐標系，然後把空間距離當做橫軸，時間距離當成縱軸，這樣一來，四維時間裡的距離，就既有空間意義，也有時間意義，能把兩者完美地結合到一起。
聽到這個坐標軸，你應該想起了剛才說到的虛數吧？沒錯，在這種計算中，虛數就發揮了重要的作用。因為代表時間距離的那根縱軸，實際上就相當於虛數軸。在四維空間的計算中，時間距離前面，是要乘以i的，也就是乘以根號負1，以顯示出時間和空間的本質不同。
利用虛數將時間和空間結合在一起，組成坐標系之後，科學家發現了一個非常奇異的現象：我們平常所說的兩個事件之間的時間距離和空間距離，其實可以看作是四維距離在時間和空間這兩根坐標軸上的投影。這麼一來，一旦旋轉這個四維坐標系，就可以讓時間和距離相互轉化。從這一點出發，我們會發現，時間和空間都不是恆定不變的，而是跟物體的運動狀態有關。什麼意思呢？一個靜止的人，和一個高速運動的人，時間在他們身上流逝的快慢是不同的。這就相當於運動旋轉了時空坐標系，因此改變了四維距離在時空坐標軸上的投影。聽到這裡，你可能已經意識到了，這不就是狹義相對論嘛。也就是說，數學家們曾經以為沒用的虛數，在相對論的計算中就派上了一個大用場。人們恍然間發現，原來看似毫無意義的虛數之下，居然隱藏著如此重要的意義。
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