長按上方藍字關注本公眾號，一起堅持閱讀！
《數學通識50講》
虛數在現實中顯然不存在，那麼數學家是如何虛構一個現實中不存在的概念，以便解決現實問題的呢？
吳軍老師以化學反應中的催化劑、父母吵架時傳話的小孩以及平行宇宙間的蟲洞來做類比，幫助我們理解虛數。
對於虛數的用途，簡言之：
1、對於數學本身的影響。有了虛數，數學的一些邏輯上可能的漏洞就被補上了。而且，所有的一元N 次方程都會有N 個解，沒有例外！
2、作為工具，虛數作為數學工具最大的用途，可能是便於將直角坐標變成極坐標（這是我所知道的虛數惟一的應用場景，無二）。
3、應用層面的作用，量子力學、相對論、信號處理、流體力學和控制系統的發展都離不開虛數。
然後，我們通過了解數字的擴展歷史，體會到人類認知升級的過程，今天衡量一個人認知水平的一個方法，就是看他接受虛擬概念的能力有多強。
因為，事實上除了古印度，其他文明在早期數字中都沒有零這個數，因為零這個概念比較抽象，人類從有數字開始花了幾千年才搞明白，更別說對「法人」這樣的概念構建共同想像。
我們在初中學到平方根這個概念時，老師會說，只有正數和零才有平方根， 沒有哪個數字自己乘以自己會等於負數。在解二次方程時，我們可能會遇到根號裡面有一個負數的情況，但是老師說，不用管它，我們就認定它無實數解即可。
但是當學到了三次方程時，這個問題就迴避不了了，因為根據三次方程求解的公式，即使一個有實數解的三次方程，在求解的過程中，也會遇到要對負數開根號的情況。比如下面這個方程：
X^3-15X-4=0，顯然X=4 是一個解。
但是，如果我們利用費拉裡-塔爾塔利亞公式計算，得到的解裡面有√-121 ，於是給負數開根號這件事就繞不過去了。
數學家們只好虛構出一個數，讓它的平方等於-1，這個數我們常常把它寫成字母 i，就是拉丁語中 imagini（相當於英語中的image）「影像」一詞的首字母，它代表非真實、幻影的意思。有了這個人造的、虛幻的數，上面那個複雜的一堆根號的式子就能計算下去了，而且算出來就是 4。
有人可能會問其中的虛數去哪裡了？很有意思的是， 它們正負抵消了。
這件事如果細想是很有意思的。如果我們真實的世界裡有一個三次方程， 比如給一些限制條件後計算一個長方體的尺寸，也就是解三次方程的問題，卡爾達諾等人找到了一個公式，可以計算出問題的答案，但是算到一半就遇到障礙越不過去了，於是只得引入一個不存在的工具，用了一下就翻過去了。
這在哲學上其實很有意思，明明是現實世界的問題，而且在現實世界裡也有答案，但是卻無法直接得到，非要發明一個不存在的東西作為橋梁。
那怎麼形象地理解虛數這種抽象概念的作用呢？我們的數學課基本上不講，老師只是說，記住它的定義就好，回頭學生們就一頭霧水了（此處於我心有戚戚焉，我們學過初高中甚至是大學數學的很多人，壓根不知道學過的這些高深數學知識有啥用，只是終年埋頭於題海中）。
吳軍老師通常用三個例子來形容虛數的作用。
1、化學中的催化劑
我們知道，催化劑在化學反應完成前後是不改變的，它只是起到一個媒介的作用，但是沒有它，化學反應要麼特別慢，要麼乾脆進行不下去。
2、另一個例子不算太確切，但是好理解，就是傳話筒。
我們經常看到這樣的現象，夫妻倆吵架後，誰也不願意和對方說話，但是都清楚這個交流不能中斷，要繼續下去，於是就找孩子帶話，比如教孩子說：「去，和你媽說明天的家長會我去，她就不用去了。」孩子把這個意思傳遞後，又帶回一句話：「媽媽說，你要是去開家長會，她就先回家做飯了。」
這樣傳幾次話，可能夫妻間的問題就解決了。在這個過程中，夫妻間的問題不涉及到孩子，孩子在傳話時甚至不明白其中的含義，但是沒有這個局外的傳話筒，夫妻之間的問題可能就解決不了了。
3、最後一個例子是蟲洞
假如你和一個相愛的人在同一個宇宙中，但相隔幾十光年，你想對她說一句我愛你，但哪怕你搭載光速飛船去找她，她聽到的時候都已經老了。
現在有一個蟲洞，你可以從中穿過去，在瞬間到達另一個平行宇宙中，然後再從另一個蟲洞穿回現在的宇宙，這也是瞬間的事情，這樣你就能很快到她身邊了（雖然我對蟲洞不太能理解，但意思是明白的）。你們二人本來是在同一個宇宙中，但是卻要依賴另一個和你們無關的宇宙來回穿越。
虛數也是如此，在上面的式子中，我們把它創造出來，又把它正負相抵消， 該得到實數的答案依然是實數的。
從更廣義的角度講，很多數學工具都是如此，它們並非我們這個世界存在的東西，而是完全由邏輯虛構出來的。但是我們現實世界的事情，卻要用這些虛構的工具來解決。
那麼虛數除了解三次方程還有什麼用？它的用途可以歸結為三個層面。
1、對於數學本身的影響。引入虛數的概念後，數學的一些邏輯上可能的漏洞就被補上了。
比如說，在實數的範圍內，X^2+1=0是無解的，這樣一來，有的多項式方程有解，有的無解，數學就不完美了。
引入一個虛擬的概念，虛數i，就讓所有的方程都變得有解了。更漂亮的是，引入虛數的概念後，所有的一元N 次方程都會有N 個解，沒有例外。
2、作為工具
有了虛數之後，很多複雜的數學問題，可以用簡單的方法解決，這就如同前面介紹的三次方程的解法問題。這個問題雖然引出了虛數的概念，但是並不是它最大的用途。虛數作為數學工具最大的用途，可能是便於將直角坐標變成極坐標。
簡單地講，在飛行、航海等場景裡，極坐標更方便使用，比如我們說往兩點鐘的方向飛行 20 公裡，這就是極坐標的描述方式。在極坐標的計算中，如果只用實數，非常複雜，如果引入虛數，就極為簡單。
3、應用層面的作用，量子力學、相對論、信號處理、流體力學和控制系統的發展都離不開虛數。
通過虛數這個例子，吳軍老師首先想說的是，人類可能是唯一一個能夠構想出不存在的事物的物種，這個能力對我們來講非常重要。
在我們生活的世界裡，存在著大量的構想出來的東西。比如早期的人類要靠宗教崇拜團結起來，雖然最後一起去打仗，去探險的都是人，但是要沒有宗教，人和人直接溝通，達不到團結的目的（前一陣讀到一則材料也提到，原始人的團結協作就是需要語言發揮共同想像的能力，也就是「講故事」的能力，比如「山的那一邊有一片果樹林」等等，而現代社會的很多實體虛體其實也是人們的「共同想像」，比如微信紅包等等，這就是人和動物的本質區別之一）。
今天雖然大家不太需要宗教了，但是很多虛擬的概念已經深入我們人心，比如法律、有限公司、法人團體等概念便是如此，它們在自然界中並不存在，只是人們腦子裡構建出的概念，但是如果沒有它們，這個社會就運行不下去。當我們習慣於使用這些虛構的概念後，就會把它們真實化，感覺和真的一樣。
為了讓大家更好地理解這一點，我們不妨看一個法律學的概念——法人。
在早期的羅馬法中，提出了法律主體的概念，它最初只涉及到自由人，後來因為要處理經濟糾紛，就把一些機構看成是法律的主體，當作人一樣看待，這就是法人概念的來源。這些法人，其實就相當於數學中所說的虛數的概念。
我們今天和一個公司打官司，其實在打官司的過程中接觸到的還是人，但是你不會去告裡面某個具體的人，而是針對這個虛構出的組織。當你打贏這個官司後，是裡面具體的人執行對你的賠償，但是你拿到的賠償卻是法人這個機構給你的。這就如同解方程時，我們需要藉助於虛數，得到實數的解一樣。
今天，衡量一個人認知水平的一個方法，就是看他接受虛擬概念的能力有多強，如果他只停留在看得見摸得著的東西，這個人的水平就不是很高。我們經常說那些只知道買房置地，收藏奢侈品的人是土財主，其實也是這個道理。
其次，虛數的出現，標誌著人類對數這個概念認識的進步，特別是從形象思維到抽象思維的進步。
人類早期認識的數字都是正整數，1，2，3，4……因為大家接觸到的周圍的世界就是這樣實實在在一個又一個的東西。
事實上除了古印度，其他文明在早期數字中都沒有零這個數，因為零這個概念比較抽象，人類從有數字開始花了幾千年才搞明白（很多我們以為理所應當的事情，其實根本並非如此，而是前人經過千百年的積累才造就的，再比如造紙術和印刷術等等）。
接下來有了數字就要做運算，兩個自然數相加或者相乘，結果還是自然數。但是，到做減法和除法時就出現了問題，因為 2-3=？，2/3=？在自然數中找不到。於是人們就發明了負數和分數（就是有理數）的概念。這兩個概念就比自然數要抽象一些了。
很多人覺得數學越到後來越難學，就是沒有能突破抽象思維的瓶頸。有了正負的概念，有了分數的概念，就形成了有理數的概念，加減乘除和乘方五種運算就都沒有問題了。
自從畢達哥拉斯定理被發現，人類就不得不面對開方這件事，就不得不定義出無理數。
再往後，又因為要對負數開方，便發明了虛數的概念。實數和虛數合在一起， 就形成了複數。吳軍老師把人類認識數的過程用一張圖表示出來，它是從中心往四周擴散的：
那麼複數有什麼用呢？為什麼要搞出這麼一個在現實世界中完全不存在的概念呢？僅僅是為了讓開方運算變得完備麼？當然不是。
複數是一個非常強大的數學工具，使用這個建立在現實生活中所不具備的事實的基礎之上的數學工具，可以解決很多現實世界裡的問題。
這句話可能聽起來有點繞口，換一種方式講是這樣的，複數的基礎在現實世界裡並不存在，但是建立在不存在基礎上的工具，卻能解決實際問題。
比如我們使用的三相交流電是實實在在地存在的，它裡面的很多問題，用複數這個工具解決，要比用實數加上三角函數解決起來容易得多。實際上，涉及到電磁波的幾乎所有問題，都需要使用複數這個工具來解決。
如果我們能體會到像虛數這樣媒介工具的作用，以及通過數字的擴展歷史，體會到人類認知升級的過程，就算是掌握精髓了。