小學六年級數學——「牛吃草」問題（收藏備用）

「牛吃草」問題

【含義】 「牛吃草」問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫「牛頓問題」。這類問題的特點在於要考慮草邊吃邊長這個因素。

【數量關係】 草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數

【解題思路和方法】 解這類題的關鍵是求出草每天的生長量。

例1 一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？

解 草是均勻生長的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數。求「多少頭牛5天可以把草吃完」，就是說5 天內的草總量要5 天吃完的話，得有多少頭牛？ 設每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：

（1）求草每天的生長量

因為，一方面20天內的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天內的草總量又等於原有草量加上20天內的生長量，所以

1×10×20＝原有草量＋20天內生長量

同理 1×15×10＝原有草量＋10天內生長量

由此可知 （20－10）天內草的生長量為

1×10×20－1×15×10＝50

因此，草每天的生長量為 50÷（20－10）＝5

（2）求原有草量

原有草量＝10天內總草量－10內生長量＝1×15×10－5×10＝100

（3）求5 天內草總量

5 天內草總量＝原有草量＋5天內生長量＝100＋5×5＝125

（4）求多少頭牛5 天吃完草

因為每頭牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。

因此5天吃完草需要牛的頭數 125÷5＝25（頭）

答：需要5頭牛5天可以把草吃完。

例2 一隻船有一個漏洞，水以均勻速度進入船內，發現漏洞時已經進了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？

解 這是一道變相的「牛吃草」問題。與上題不同的是，最後一問給出了人數（相當於「牛數」），求時間。設每人每小時淘水量為1，按以下步驟計算：

（1）求每小時進水量

因為，3小時內的總水量＝1×12×3＝原有水量＋3小時進水量

10小時內的總水量＝1×5×10＝原有水量＋10小時進水量

所以，（10－3）小時內的進水量為 1×5×10－1×12×3＝14

因此，每小時的進水量為 14÷（10－3）＝2

（2）求淘水前原有水量

原有水量＝1×12×3－3小時進水量＝36－2×3＝30

（3）求17人幾小時淘完

17人每小時淘水量為17，因為每小時漏進水為2，所以實際上船中每小時減少的水量為（17－2），所以17人淘完水的時間是

30÷（17－2）＝2（小時）

答：17人2小時可以淘完水。