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《數學通識50講》
1、貝克萊和牛頓的宗教信仰不同，從而挑戰後者。貝克萊提出的問題看似很小，卻引發了第二次數學危機（第一次就是畢達哥拉斯淹死叛逆學生的「無理數」事件）。
對於貝克萊以及芝諾這樣愛較真，但講理的人，不要覺得他們討厭，他們對數學的完善是有貢獻的。
推而廣之，對於我們平時生活和工作中提出異議者，不要輕率得認為人家是無理取鬧或者故意刁難之類，試著去理解對方意見的合理之處，只要不是完全的撒潑打滾之類。
2、我從高中時直到今天都很懷疑「比薩斜塔」實驗的真實性，畢竟斜塔周圍的環境不可能是真空狀態呀。其實呢，伽利略質疑亞里斯多德的結論還真不是從做實驗開始的，他是從簡單的數學邏輯中找出了亞里斯多德結論中的矛盾之處。
這類例子說明，數學千萬不能有邏輯錯誤，否則不僅是數學，很多人類的知識體系都會出問題。
在牛頓之前，物理學家們對很多物理概念其實搞不清楚，比如大家會混淆質量和重量，速度和加速度，動量和動能這些物理概念。牛頓第一次清晰地定義了這些物理量，其中一個重要的物理量就是速度。
我們今天知道，如果你2小時走了10公裡，速度V就是每小時5公裡，更確切地講，就是位移的距離ΔS=10公裡除以完成這段位移的時間Δt2小時，即V=ΔS/Δt。這其實說的是平均速度。如果你按照這個平均速度從北京的頤和園走到香山公園，其實每分每秒的速度都是變化的。
如果我們想知道某一時刻特定的速度怎麼辦呢？牛頓說，當間隔的時間Δt趨近於零的時候，算出來的速度就是那一瞬間的速度（學高中物理之前，我的理解跟芝諾一模一樣，以為當時間非常非常小時速度就是0了）。
在圖中，橫軸代表時間變化，縱軸代表距離變化。從t0這個點出發，經過Δt的時間，走了ΔS的距離，因此在那個點的速度大約是ΔS/Δt。這個比值，就是圖中那個紅色三角形斜邊的斜率。
對比左圖和右圖，你發現如果Δt減少，ΔS也會縮短，但是ΔS/Δt的比值就更接近t0那一瞬間的速度。極限的情況則是Δt趨近於零，那麼時間-距離曲線在t0點切線的斜率就是t0的瞬間速度。由此，牛頓給出了一個結論，時間-距離曲線在各個點切線的斜率，就是各個點的瞬間速度，它其實反映了在某個點距離的變化率。
至於為什麼我們想了解瞬間速度，因為在很多應用中我們只關心瞬間速度，而不是平均速度。
比如我們關心子彈出膛的速度，命中目標的速度，汽車在出交通事故一瞬間的速度，等等，它們都是瞬間速度。
有了瞬間速度的概念，我們就很好解釋芝諾的第三個悖論，即飛箭是靜止的這一悖論。
芝諾其實混淆了兩個概念，即瞬間位移量和瞬間速度的差別。芝諾注意到了當間隔時間Δt趨近於零的時候，箭頭飛行的距離ΔS也趨近於零。
但是，它們的比值，也就是速度，並不是零。就如同我們在圖中畫的，曲線的斜率並不是零。
牛頓把上面這種數學方法推廣到任意一個曲線。他將一個曲線在某一個點的變化率，定義成一個新的數學概念—「流數」，即導數。
導數這個概念的提出，把很多物理量之間的數學關係建立起來了。比如速度是位移曲線的導數，而另一個物理量加速度則又是速度的導數。類似的，動量就是動能的導數。此外，在經濟學上，經濟增長率，就是GDP的導數，而增長率增速，又是增長率的導數。
今天在我們的生活中，導數或者說瞬間變化率，其實用得特別多，只是大家對這個名稱未必很熟罷了。導數概念的提出，使得人類能夠從掌握平均規律，進入到掌握瞬間規律。可以講，沒有導數的分析方法，人類只能體會變化，但體會不出加速變化。
遺憾的是，雖然牛頓對於速度的定義在物理上很容易理解，並且被大家接受，但是在數學上卻有一個小缺陷，就是對這個無窮小概念解釋得不夠清晰。具體講，就是到底Δt能不能等於零？
對此，牛頓以及微積分的另一個發明人萊布尼茨都有點含糊其辭。雖然說那個年代人的數學水平沒有今天高，絕大部分人看不出問題，但是有一個講究邏輯的學者卻向牛頓提出了質疑。這個人叫貝克萊。
貝克萊這個名字對熟悉哲學的人來講是如雷貫耳，對非哲學專業的人來講也未必陌生，因為他在中國哲學課中是「臭名昭著」的唯心主義哲學家的代表人物，他的一句名言是「存在就是被感知」，在我們的課程中被批評和嘲笑，被笑話為不懂微積分，孤立靜止地看待世界。
然而，在西方世界，貝克萊是很受尊敬的，他被認為是一位了不起的哲學家和學者，和約翰•洛克、大衛•休謨一同，被譽為經驗主義哲學的三大代表人物。
今天著名的加州大學伯克利分校裡面「伯克利」三個字，其實就是貝克萊的名字。
貝克萊講「存在就是被感知」，可不是拍腦袋想出來的，而是做了科學研究的。
這裡面的細節就不多講了，總之，貝克萊研究了人們如何在兩個維度的視網膜上感知和覺察到有深處的第三維度圖像，他的結論和今天生理學所給出的結論基本一致。
貝克萊挑戰牛頓，主要是兩人的宗教觀不同。貝克萊是一位天主教的大主教，而牛頓在骨子裡有自然神論的傾向。恰好貝克萊對運動學也有不少研究，也非常講究邏輯，他找到了牛頓的一個小漏洞，於是就挑戰牛頓說：
你說的無窮小的時間Δt到底是不是零啊？如果是零，它不能做分母，如果不是零，你的公式給出的還是一個平均速度，而不是瞬間速度（這個問題提得很刁鑽很漂亮，今天的很多人都未必能想到這個問題）。
對於貝克萊的質疑，牛頓也不知道怎麼回答。
因為在那個年代，無論是他還是萊布尼茨，雖然用到了無窮小，但是也沒有能對它進行準確的定義。如果問牛頓什麼是無窮小，牛頓可能會說，就是非常非常小，可以忽略不計。
對於無窮小的描述，其實是一百多年後柯西和魏爾斯特拉斯給出的。
貝克萊提出的問題看似很小，卻引發了第二次數學危機，第一次是前面講到的發現無理數造成的危機，危機的根據就在於牛頓那個時代的人在邏輯上講不清楚無窮小是什麼。
可能有人會想，這件事情這麼重要麼？是的！
接下來我們就來分析一下這件事。我們要從兩個角度來看這件事：
1、從數學邏輯的重要性來看；
2、從具體的無窮小這個概念本身來看。
我們先從第一個角度來說明，那些抽象的話我們就不多說了，我們來看一個實際的例子，伽利略發現物體落地時間和重量無關的例子。
伽利略是在牛頓之前最偉大的物理學家。我們今天知道他，主要不是了解他對物理學的貢獻，而是比薩斜塔鐵球實驗的故事。他通過扔下兩個鐵球，發現它們同時落地，否定了亞里斯多德過去的「重物要比輕的物體先落地」的論斷。
這個實驗是否是他的學生虛構的，今天有爭議（直到今天我都懷疑伽利略是怎麼做出這個實驗的：比薩斜塔周圍的環境可不是真空呀，即便教科書上說當天「風和日麗」）。
實際上，伽利略質疑亞里斯多德的結論還真不是從做實驗開始的，他是從簡單的數學邏輯中找出了亞里斯多德結論中的矛盾之處。
伽利略的邏輯很有意思，既然亞里斯多德說了重的物體比輕的物體能更快地落地，那麼將10磅和1磅的兩個球綁在一起，它們是比10磅的球更快落地還是更慢呢？
如果你認為它們是兩個球，一個快一個慢，一磅的要拖10磅的後腿，那麼它們就要比單獨一個10磅的球落地慢。但是，如果你認為它們是一個整體，一共11磅，就要更快。
這就在邏輯上產生了矛盾。這個矛盾就推翻了亞里斯多德的結論。類似這些例子都說明，數學千萬不能有邏輯錯誤，否則不僅是數學，很多人類的知識體系都會出問題。
接下來我們從第二個角度，專門看看無窮小這個概念為什麼如此重要呢？
我們前面講了微積分的意義是，讓人類的認知從靜態或者宏觀變化進入到把握瞬間動態變化和加速變化，這是人類認知的一大飛躍。有了它，近代的物理學和天文學，以及後來的古典經濟學，才得以建立。
但是，微積分是以導數為基礎的，而無窮小又是導數的邏輯前提和基礎。如果無窮小這個基礎本身出問題，在上面建立起來的所有大廈都可能被推翻。
因此，貝克萊提出的無窮小悖論，是一次實實在在的數學危機。
解決第二次數學危機的，並不是牛頓、萊布尼茨等人。事實上，某個時代發現的危機，同時代的人常常是想不清楚的，需要後面的人發展新理論來解決。
是19世紀的一大批數學家解決了這個問題，他們的名字就不一一列舉了，因為比較多。這裡面特別要提一下的是法國偉大的科學家柯西和德國的魏爾斯特拉斯。
這裡我們簡單地說一下他們二人在思維方式上比牛頓進步的地方，那就是他們把無窮小這個「概念」從過去人們理解的小得不能再小的數，看成了一個動態變化，往零這個點靠近的趨勢。這其實是人類認知的一大飛躍。
要點總結：
牛頓用導數（流數）來定義瞬間速度，其實是描述了一個曲線或者物理量變化的趨勢和速率。人類在早期的時候，只能認識到平均速度等概念，只有當人類理解了導數這個概念後，才能搞清楚瞬間變化的規律，特別是加速變化的規律，這是人類歷史上一次很大的認知升級。
牛頓在計算瞬間變化時，引入了無窮小這個概念，但是當時的人對它的確切含義想得不是那麼清楚。因此，貝克萊就提出了質疑，即無窮小悖論，導致了第二次數學危機。對於貝克萊以及之前芝諾這樣愛較真，但講理的人，不要覺得他們討厭，他們對數學的完善是有貢獻的。
數學不是實證科學，不能簡單通過實驗來證實，要在邏輯上非常完美，否則後果不堪設想。具體到第二次數學危機的解決，則是靠新時代的數學家的貢獻。