數學家們在抽象概括出「函數」的本質屬性的過程中遇到的認知障礙，也是我們學生在學習中容易犯錯的地方，因此了解函數概念的發展史有助於學生對函數概念的理解，提高數學抽象思維能力。
從函數概念的歷史可以看出，函數概念的發展順序是：運算——解析式——變量的依賴關係或對應關係——映射——集合的對應關係——序偶集。以下是不同時期的數學家對函數概念的定義。
第一階段：運算
1677年，格列高裡：它是從其它的一些量經過一系列代數運算而得到的，或經過任何其它可以想像到的運算而得到。
第二階段：解析式、曲線/圖像
1718年，伯努利：變量的函數就是變量和常量以任何一種方式組成的量。
1746年，達朗貝爾：在研究弦振動問題時，提出了用單獨的解析表達式給出的曲線是函數。
1748年，歐拉：變量的函數是一個解析表達式，它是由這個變量和一些常量以任何方式組成的；在xy平面上徒手畫出來的曲線所表示的y與x之間的關係。
1797年，拉格朗日：所謂一個或幾個量的函數是指任意一個適於計算的表達式，這些量在其中可以按任何形式出現於表達式中。表達式中可以有其它一些被視為具有不變的值的量，而函數的值可以取所有可能的值。
1807年，傅立葉：任何函數都可以表示成三角函數。並通過舉例說明了某些函數可用曲線表示，也可用一個式子表示，或用多個式子表示。
1854年，布爾：任何一個含有符號ｘ的代數表達式稱為ｘ的一個函數，它一般可以簡記為ｆ(x)的形式。
1879年，弗雷格：如果在一個表達式中，一次或多次出現一個簡單的或複合的符號，並且，我們認為這個符號在某些或所有出現的地方可以用其它事物替代（但各處要用同一事物替代），那麼稱表達式中保持不變的成分為函數，可替代的部分則是這個函數的自變量。
第三階段：變量的依賴關係或對應關係
1714年，萊布尼茲：Function：冪；曲線上的坐標量、切線的長度等一切與曲線變化有關的量之間的變化關係。
1755年，歐拉：如果某變量，以這樣一種方式依賴於另一些變量, 即當後面這些變量變化時, 前面這些變量也隨之而變化, 則前面的變量稱為後面變量的函數。
1778年，孔多塞：設有若干量x，y，z，…，F，對於x，y，z，…的每一個確定的值，F有一個或多個確定的值與之對應，則稱F為x，y，z，…的一個函數。
1797年，拉克洛瓦：任何一個量，如果它的值依賴於一個或多個其它的量，那麼就稱它為這些量的函數。
1822年，傅立葉：函數ｆ(x)表示一系列的值或縱坐標，每一個都是任意的。對於無限多個給定ｘ的值，有同樣多個縱坐標ｆ(x)。所有的值要麼為正數，要麼為負數，要麼為零。無需假設這些縱坐標滿足同一個法則；它們可以任何方式接續，每一個都好像是單個的量。
1823年，柯西：在某些變數間存在著一定的關係，當一經給定某一變數的值，其他變數隨著而確定時，則將最初的變數叫自變量，其他各變數叫作函數。
1834年，羅巴切夫斯基：ｘ的函數是這樣一個數，它對於每個ｘ值都存在有確定的值，並且隨著ｘ的變化而變化。函數值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法。函數的這種依賴關係可以存在，但仍然是未知的。
1837年，狄利克雷：對於在某區間上的每一個確定的x值,y都有一個或多個確定的值, 那麼y叫做x的函數。
1847年，斯託克斯：函數是這樣一個量，它的值以任意方式依賴於構成它的一個或幾個變量的值。因此，函數不必通過任何代數符號的組合來表達，甚至在變量的很近的界限之間也是如此。
1851年，黎曼：假定Z是一個變量，如對它的每一個數值，都有未知量W的一個數值與之對應，則稱W是Z的函數。
1870年，漢克爾：ｘ的一個函數被稱為ｆ(x)，如果對於某個區間內的每一個ｘ的值，都有唯一的和確定 的ｆ(x)的一個值與之對應。此外,f(x)是通過量的解析運算還是通過別的方式確定，根本無關緊要。ｆ(x)的值只需處處唯一確定。
1908年，哈代：ｘ和ｙ之間應該存在某種關係，使得ｙ的值總是對應著某些ｘ的值。
1917年，卡拉瑞：獨立變量和應變量之間存在一個函數關係，稱應變量是獨立變量的函數。
1923年，古爾薩特：當ｘ的值對應於ｙ的值，就說ｙ是ｘ的一個函數，人們用方程式ｙ＝ｆ(x)來表示這種依賴關係。
第四階段：映射
1887年，戴德金：系統Ｓ上的一個映射蘊含了一種規則，按照這種規則，Ｓ中每一個確定的元素ｘ都對應著一個確定的對象，它稱為ｘ的映像，記作Φ（ｘ），我們可以說，ｘ經映射Φ變換成Φ（ｘ）。
第五階段：集合的對應關係
20世紀初，維布倫：若在變量ｙ的集合與另一變量ｘ的集合之間，有這樣的關係成立，即對ｘ的每一個值，有完全確定的ｙ值與值對應，則稱變量ｙ是變量ｘ的函數。
1904年，塔裡內：考慮不同的數組成的一個集合（Ｘ），這些數可作為賦予字母ｘ的值，則ｘ稱為一個變量．設ｘ的每一個值（即集合（Ｘ）的每一個元素）對應於一個數，後者可作為賦予字母ｙ的值，則我們稱ｙ是由集合（Ｘ）所確定的ｘ 的函數。
1917年，卡拉泰奧多裡：函數是集合A到實數的一個對應法則。
1939年，布爾巴基：設Ａ和Ｂ是兩個集合，它們可以相同或不同。Ａ中的一個變元ｘ和Ｂ中變元ｙ之間的一個關係稱為一個函數關係，如果對每一個ｘ∈Ａ，都存在唯一的ｙ∈Ｂ，它滿足跟ｘ的給定關係，我們稱這樣的關係為函數。
第六階段：序偶集
1911年，皮亞諾：函數是這樣一種關係u，對於任意的x，y和z，如果第二個元素相同的兩個序偶y；x和z；x滿足這個關係，那麼必有y=x。
1914年，豪斯多夫：設P是序偶p=(a,b)組成的一個集合，對於每一個p∈P，稱b為a的象，在特殊情況下，每個a只有唯一的象b，則稱此a決定且與a相關的元b（記b=f(a)）稱為a的函數。
1939年，布爾巴基：定義集合X與Y的積集X×Y如下：X×Y={(x,y)|x∈X,y∈Y}。積集X×Y中的一子集R稱為X與Y的一個關係，若(x,y)∈R，則稱x與y有關係R，現設f是x與y的關係，即f包含於X×Y，如果(x,y)、(x,z)∈f，必有y=z，那麼稱f為X到Y的函數。
綜上，函數主要概念經歷了「變量說」——「對應說」——「關係說」300多年的變化，從初中到高中，最好到大學，教材上的函數概念一步步的抽象，直到用「序偶」來定義函數。