大家好，我是浙江省寧波市鄞州區第二實驗小學的黃靜飛，是朱樂平名師工作站第十一組的學員，很高興與您在「一課研究」的微信平臺相遇。值此新春佳節，向大家拜年啦！
聽一聽：假設思想和方程思想
讀一讀：基於五年級上冊學生解決「雞兔同籠問題」情況分析，淺談「雞兔問題」與「方程思想」。
輕鬆一刻：數學老師的新年賀詞
節選自吳正憲老師主編的《小學數學教學基本概念解讀》假設思想和方程思想。
上圖是五年級上冊第81頁練習十七第6題，是配合簡易方程例4的練習。
看到這個題目，除了應用本單元的方程策略來解決，同學們不禁想問：「能不能用四年級下冊學習的雞兔同籠問題策略來解決呢？」讓我們來試一試吧。
一隻雞和一隻兔同時圈一圈，能夠得出結果，但與雞兔問題模型的畫圖法仍有區別。
學生嘗試了很久，由於不知道雞和兔的總只數所以都認為假設法或者抬腿法解決不了這個問題。
左圖：四年級下冊「數學廣角——雞兔同籠」例題1
右圖：五年級上冊「第五單元簡易方程」例題4
左圖：是在古代趣題的基礎上呈現了一道數據比較小的雞兔同籠問題，在引導學生探索解決問題方法的過程中，呈現了猜測、列表、假設等方法。
右圖：這個例題的特點是要求兩個未知數，而且用兩個已知條件來說明未知數的關係，比如已知兩個未知數的和與差，或者已知兩個未知數的和（差）與兩個未知數的倍數關係。
這兩個例題的相同點是，都有兩個相關聯的未知數，都是根據一定的數量關係來求這兩個未知數分別是多少。不同點是簡易方程例題4中的兩個未知數可以成倍數關係，也可以成和差關係，而雞兔同籠問題中的兩個未知數成和差關係，所以五年級上冊的簡易方程例題4並不屬於雞兔同籠模型，而雞兔同籠問題是從屬於方程模型，也可以用方程思想來解決。
比較上述兩個例題的配合練習，可見假設法和抬腿法僅僅能夠解決雞兔同籠問題，有局限性。而畫圖法、列表法、方程法能夠解決更多類型的數學問題。
為什麼五年級上冊「簡易方程」單元的練習中要編排雞兔問題呢？
這道雞兔問題所處的單元環境是五年級上冊第五單元「簡易方程」，這個單元的教學目標之一是初步學會列方程解決一些簡單的實際問題，培養學生根據具體情況，靈活選擇算法的意識和能力。這道練習是例4的簡化，是實際問題與方程x+bx=c的應用，以雞兔同籠為題材，設計為雞兔只數相同，以了解當兩個未知數相同時，設句可以怎麼寫，也是引發學生回顧能否應用「方程思想」來解決四年級下冊的「雞兔同籠問題」。
學生在四年級下冊已經學習了「雞兔同籠問題」，掌握了畫圖法、列表法、假設法、抬腿法等各種解決這類問題的策略。那麼學生到了五年級上冊期末階段，對於這類問題還能不能辨識出來呢？還能不能應用上述策略解決呢？學生會不會應用其它策略呢？
能夠正確辨識「雞兔同籠問題」的學生人數大約僅佔了調查總人數的30%，大多數學生在半年間對該類模型有所遺忘，或者是與相近類型產生了混淆。
針對不同類型的問題，大多數學生採用了不同的策略來解決相應問題。「雞兔同籠問題」中應用假設法的大約佔了60%，列方程解決的人數大約佔20%。「簡易方程問題」中應用列方程解決的超過了55%，也有大約45%的學生列算式直接計算來解決。
在不能辨識「雞兔同籠問題」的學生中，有極個別學生應用了畫圖法和列表法的策略來解決雞兔同籠問題，這些學生解決另外三個問題時都採用了列方程解決。
在能夠正確辨識「雞兔同籠問題」的學生之中，出現了兩類情況：一是雞兔同籠三個問題都用假設法的，方程例題4的配合練習都採用算式計算；二是雞兔同籠三個問題都用方程解決的，方程例題4配合練習也是用方程解決的。
初一七年級下冊數學教材第2章「二元一次方程組」的主題圖正是學生從小學就熟知的「雞兔同籠問題」。
教材中有這樣一段話「本章將學習二元一次方程（組）的有關概念，以及二元一次方程組的解法和應用。通過本章的學習，我們將找到解決上述問題的方法。」顯然，學生在這裡要學習運用二元一次方程來解決這類問題。原來人教版教材的「雞兔同籠問題」安排在六年級下冊，教材不僅編排了列表法、假設法，也編排了方程解決的策略，教材調整後編排在四年級下冊後捨棄了方程策略，這樣的取捨不僅是因為學生在四年級還沒有學習方程，而且是要凸顯列表法和假設法，以發展學生的抽象思維、推理能力和模型思想。
在各個不同版本小學教材「雞兔同籠問題」教學中都採用了「列表枚舉」，在初一下冊數學教材「二元一次方程組」教學中，也編排著很多「列表法」。
在方程組中x、y的值必須同時滿足各個方程的解，才叫做這個方程組的解，教材是通過「列表嘗試」的方法引導學生理解二元一次方程的解，在小學教材編排中也是通過「列表嘗試」的方法引導學生找到雞與兔的只數。
先有算術思維，後有方程思想，這是從具體到抽象的跨越，難怪有初中老師感慨：「初中教學中，難點之一就是引導學生從算術思維到方程思想的轉化。」 對於這一點小學老師也是深有體會的，正是在五年級上冊簡易方程單元的教學中。在例題4「用稍複雜方程來求解兩個相關聯量」的教學後可以回顧「雞兔同籠問題」，引導學生用方程嘗試解決，為初一下冊的二元一次方程組的學習搭上一座可跨越的橋梁。
2020可算走了，
2021如期而至。
因為21，
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健康是21劃，
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富貴也是21劃，
和睦是21劃，
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崛起是21劃。
不管37二十一，
2021加油！