CFD理論掃盲|01 向量與向量運算

本文描述CFD理論中涉及較多的向量及其運算法則。

註：本文內容譯自《The finite volume method in computational fluid dynamics _ an advanced introduction with OpenFOAM® and Matlab》，F.Moukalled, L.Mangani, M.Darwish

向量（Vector）有時也稱為矢量。流體動力學中最常見的向量是速度向量，用

▲ 向量v在笛卡爾坐標系中的分量

在笛卡爾坐標系中，向量

式中，

向量的大小為：

向量

或：

向量

1 向量的點積

根據定義，兩個向量

式中，

以正交笛卡爾分量表示，兩個向量

2 向量的模

根據向量點積的計算規則，向量的模定義為：

3 單位方向向量

因此，一個向量在另一個向量方向上的分量可以看作是被投影的向量與另一個向量的單位方向的點積，如下圖所示。

▲ 向量在另一向量方向上的投影4 向量的叉乘

兩個向量

如下圖所示。

▲ 向量的叉乘運算

兩個向量的叉乘的模為由這兩個向量圍成的平行四邊形的面積。

很明顯，兩個共線向量的叉乘為零，因為它們圍成的面積為零。兩個正交單位向量的叉乘結果為一個垂直於兩個單位向量的單位向量，向量的方向由右手定則來確定。叉乘運算如下：

根據上面的運算法則，兩個向量的叉乘寫成笛卡爾分量的形式可表示為：

上面的運算法則也可以寫成行列式的形式：

5 標量三重積

三個向量

標量三重積的絕對值表示由向量

▲ 標量的三重積運算

註：在CFD控制方程中，標量三重積經常會出現。

6 標量的梯度與方向導數

流體力學中經常出現的一個重要的向量運算符為

當

因此，標量場的梯度是一個向量場，表明標量s的值在大小和方向上隨位置的變化而變化。

該式稱為標量

▲ 梯度示意圖7 

對向量

該值也稱之為向量場

一個標量的梯度的散度依然為一個標量，其值可以用拉普拉斯算子表示：

對一個向量應用拉普拉斯算子，其計算結果依然為一個向量，計算結果為：

當

向量場的散度與旋度示意圖如下圖所示。左圖所示的徑向向量場只有散度，其旋度為零，在流體力學中，這個向量場表示存在匯或源的速度場。右圖描述了一個只有旋度且散度為零的旋轉向量場。這樣的速度場相當於渦流的速度場。

▲ 向量的散度與旋度

在CFD控制方程中，常會出現向量場的散度與梯度，如：

8 其它的向量運算

若

注意：文中有些公式較長，注意向左滑動公式查看完整內容。