一、向量的數乘運算的定義：
1．定義：一般地，我們規定實數λ與向量a的積是一個向量
，這種運算叫做向量的數乘，記作λa.
2． 規定：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0.
3．運算律：
設λ，μ為實數，則(1)λ(μa)＝λμa；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特別地，我們有
(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb
二、共線向量與向量的線性運算
1．共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線，若且唯若有唯一一個實數λ，使得b＝λa
2．向量的線性運算
向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算．對於任意向量a，b，以及任意實數λ，μ1，μ2，恆有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b
三、對向量數乘運算的三點說明：
(1)λa中的實數λ叫做向量a的係數．
(2)向量數乘運算的幾何意義是把a沿著a的方向或a的反方向擴大或縮小．
(3)當λ＝0或a＝0時，λa＝.注意是0，而不是0.
例1：如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交於點O，＋＝λ，則λ＝________.
【解析】 由向量加法的平行四邊形法則知＋＝.
又∵O是AC的中點，∴AC＝2AO，
∴＝2，∴＋＝2，
∴λ＝2.
例2、(1)化簡：(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＝________.
(2)已知向量a，b，x，且(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，則x＝________.
【自主解答】 (1)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＝2a－3a＋3b＋2b－c－c＝－a＋5b－2c.
(2)因為(x－a)－(b－x)＝2x－(a＋b)，所以2x－a－b＝x－a－b，即x＝0.