等比數列求和公式,錯位相減法在小學奧數裡的應用

2021-02-20 瀋陽奧數

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今天說一下等比數列的求和公式和錯位相減法，然後用一道育才少兒班的真題介紹一下它的應用。等比數列其實是高中的知識，但是小學奧數中卻經常涉及到(還有排列組合等等)，雖然不是必須掌握的，但是小學階段也可以借鑑它的證明方法。

等比數列是指從第二項起，每一項與它的前一項的比值等於同一個常數的一種數列。這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比數列A1≠0。

例如1,2,4,8,16,32,64,128...
根據定義，它的通項公式是 An=A₁qⁿ⁻¹

等比數列的求和公式，可以用錯位相減法推導出來。錯位相減法是數列求和的一種解題方法，下面我們來看一下。

對於等比數列A1,A2,A3,...,An(公比是q)

①Sn=A1+A2 +A3 +...+An
②Sn×q = A1q+A2q+...+A(n-1)q+Anq = A2+A3+...+An+Anq

以上兩式相減①-②得(1-q)*Sn=A1-An*q
Sn=(A1-An*q)/(1-q)=A1(1-qⁿ)/(1-q)

利用等比數列的定義，通過兩邊乘以公比，然後作差消去中間項，得到它的求和公式。

下面看看它在小學奧數裡的應用，一道育才少兒班的真題

題目:如果我們將1/2+1/2²+1/2³+...的值記為1，那麼1/3+1/3²+1/3³+...的值是多少。

這兩個算式都是等比數列求和，它們的公比分別是1/2與1/3。如果我們知道等比數列的求和公式，直接利用Sn=A1(1-qⁿ)/(1-q)

所求=1/3 (1-(1/3)ⁿ)/(1-1/3)=1/2

注意當n無窮大時，(1/3)ⁿ=0

如果沒有記住公式，可以直接用錯位相減法

①Sn=1/3+1/9 +1/27+...+1/3ⁿ
②Sn/3=1/9 +1/27+1/81+...+1/3ⁿ+1/3^(n+1)

以上兩式相減①-②得(1-1/3)Sn=1/3-1/3^(n+1)

當n無窮大時，1/3^(n+1)=0

所以解得Sn=1/2

如果以上方法都不會，可以用下面方法畫個圖理解一下，大概就能知道值是多少了。(圖中的顏色分別代表整個圖形的1/3，1/9，1/27，1/81...)，可見它越來越接近整個圖形的一半，即1/2。

題中給的1/2+1/2²+1/2³+...如果用圖表示，會逐漸填滿整個圖形，有興趣的同學可以自己試一下。

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