用泰勒公式證明:為什麼萊布尼茲法則和牛頓二項式如此相似?

2020-12-11 電子通信和數學

二項式展開：

一般萊布尼茲規則（用作導數乘積規則的推廣）：

這兩個公式都可以通過簡單的歸納得到；牛頓二項式也有一個組合證明（令人吃驚的是，這些公式是如何相似的；它們之間是否有可能存在聯繫？

f（x+h）的泰勒級數展開式為：

g（x+h）的泰勒級數展開式

f（x+h）g（x+h）的泰勒級數展開

如下萊布尼茲規則為：這是為什麼呢？

因為它的係數和

這裡e^(hx)和e^(hy)等於e^h(y+x),它將給出如下二項式展開的證明。

所以這是對的

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