集合在數學領域具有無可比擬的特殊重要性。集合論的基礎是由德國數學家康託爾在19世紀70年代奠定的，經過一大批科學家半個世紀的努力，到20世紀20年代已確立了其在現代數學理論體系中的基礎地位，可以說，現代數學各個分支的幾乎所有成果都構築在嚴格的集合理論上。集合是現代數學的基本語言。
集合，簡稱集，是數學中一個基本概念，也是集合論的主要研究對象。關於集合的最簡單的說法就是在樸素集合論（最原始的集合論）中的定義，即集合是「確定的一堆東西」，集合裡的「東西」則稱為元素。現代的集合一般被定義為：由一個或多個確定的元素所構成的整體。
集合是指具有某種特定性質的具體的或抽象的對象匯總而成的集體。其中，構成集合的這些對象則稱為該集合的元素。
通常用大寫字母如A,B,S,T,...表示集合，而用小寫字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。若a是集合A的元素，則稱a屬於A，記為a∈A。若b不是集合A的元素，則稱b不屬於A，記為yA。
確定性
給定一個集合，任給一個元素，該元素或者屬於或者不屬於該集合，二者必居其一，不允許有模稜兩可的情況出現 。
互異性
一個集合中，任何兩個元素都認為是不相同的，即每個元素只能出現一次。有時需要對同一元素出現多次的情形進行刻畫，可以使用多重集，其中的元素允許出現多次。
無序性
一個集合中，每個元素的地位都是相同的，元素之間是無序的。集合上可以定義序關係，定義了序關係後，元素之間就可以按照序關係排序。但就集合本身的特性而言，元素之間沒有必然的序。
空集
有一類特殊的集合，它不包含任何元素，稱之為空集，記為。空集是個特殊的集合，它有2個特點：
空集是任何一個非空集合的真子集。
空集是任何一個集合的子集，A。
子集
設A，B是兩個集合，如果A的所有元素都屬於B，則稱A是B的子集，記為A B(或BA)。讀作A包含於B(或B包含A)，表示A集合中的元素全部是B集合的元素。對任何集合A，都有 AA，A。若A B，B C，則A C。
真子集
如果A是B的一個子集，且在B中存在一個元素不屬於A，則稱A是B的真子集，記為A B(或BA)。讀作A真包含於B(或B真包含A)。
若A B，B C，則A C。
相等集合
如果兩個集合A和B的元素完全相同，則稱A與B兩個集合相等，記為A=B 。
若A B，B A，則A = B。
交集
由屬於A且屬於B的相同元素組成的集合，記作A∩B（或B∩A），讀作「A交B」（或「B交A」），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。
交集運算：A∩A=A，A∩U=A，A∩=。
併集
由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合，記作A∪B（或B∪A），讀作「A並B」（或「B並A」），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。
併集運算：A∪A=A，A∪U=U；A∪=A。
補集
A關於全集合U的補集記作CU A。
CU A={x|x∈U,且xA}。
補集運算：CU(CU A)=A，CU U=，CU =U，A∪CU A=U，A∩CU A=。
冪集
設有集合A中有n個元素，由集合A所有子集組成的集合，稱為集合A的冪集。對於冪集有定理如下：有限集A的冪集的基數等於2的有限集A的基數次冪，即2^n。
表示方法
表示集合的方法通常有五種，即列舉法、描述法、圖像法、符號法和區間法。
列舉法
列舉法就是將集合的元素逐一列舉出來的方式。例如，光學中的三原色可以用集合{紅，綠，藍}表示。
列舉法還包括儘管集合的元素無法一一列舉，但可以將它們的變化規律表示出來的情況。
描述法
描述法的形式為{代表元素|滿足的性質}。
設集合A是由具有某種性質P的元素全體所構成的，則可以採用描述集合中元素公共屬性的方法來表示集合：A={x|P(x)}。
圖像法
圖像法，又稱韋恩圖法、韋氏圖法，是一種利用二維平面上的點集表示集合的方法。一般用平面上的矩形或圓形表示一個集合，是集合的一種直觀的圖形表示法 。
符號法
有些集合可以用一些特殊符號表示：
N：非負整數集合或自然數集合
N*或N+：正整數集合
Z：整數集合(CQ Z：分數集)
Q：有理數集合(CR Q：無理數集)
Q+：正有理數集合
Q-：負有理數集合
R：實數集合
R+：正實數集合
R-：負實數集合
C：複數集合
：空集
區間法
數學分析中，最常遇到的實數集的子集是區間。
設a，b(a<b)是兩個相異的實數，則滿足不等式a<x<b的所有實數x的集合稱為以a，b為端點的開區間，記為（a，b）；滿足不等式 a≤x≤b的所有實數的集合稱為以a，b為端點的閉區間，記為[a，b] ；半開半閉區間，分別記為 （a，b] 及 [a，b） 。
運算定律
交換律：A∩B=B∩A，A∪B=B∪A。
結合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；
A∩(B∩C)=(A∩B)∩C。
分配律：
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
吸收律：A∪(A∩B)=A；A∩(A∪B)=A
反演律(摩根律)：
CU(A∪B)=(CU A)∩(CU B)，並補=補交；
CU(A∩B)=(CU A)∪(CU B)，交補=補並。
基數
集合中元素的數目稱為集合的基數，集合A的基數記作card(A)或n(A)。一般的，把含有有限個元素的集合叫做有限集，含無限個元素的集合叫做無限集。
有限集元素個數：
n（A）+n（CU A）=n（U）；
n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)；
n(A∩B)=n(A)-n(A∩CU B)
=n(B)-n(B∩CU A)。