教學背景
數學，除了形式化的演繹推理外，概念的建立、定理的發現、新科學的創立等，更需要通過合情推理的方法得到。合情推理的實質是「發現——猜想」，是一種創造性思維活動。
蘇教版教材四年級下冊《積的變化規律》，這節課的教學目標首先是通過計算、比較、交流，讓學生探索並掌握「一個乘數不變，另一個乘數乘以幾，得到的積就等於原來的積乘以幾」這一規律，為下節課學習乘數末尾有0的多位數乘法做準備。其次是讓學生經歷「發現——猜想——驗證」這一合情推理過程，培養學生發現問題、提出問題、解決問題的能力。在實際教學中我們發現，如果教師只是圍繞以上這一規律展開教學，學生呈現出來的思維狀態是點狀和淺層的，限制了學生的猜想，禁錮了學生的思維。因此，本節課教師嘗試拓展教學內容的邊界，把教材提供的這一素材作為「腳手架」，利用網狀思維模式，讓學生多維度去發現、猜想和驗證，讓學生的數學學習一步步走向深入。
教學實錄
•利用舊知引發「合乎情理」的聯想，讓學習自然發生
師：根據第一題的結果直接寫出下面三題的結果並說出理由。
（出示）32÷8=4
（32×10）÷（8×10）=（ ）
（32÷4）÷8=（ ）
32÷（8×2）=（ ）
師：同學們已經熟練掌握了商的變化規律，從商的變化規律，你能聯想到什麼？
生：既然商有變化規律，我想知道積有沒有變化規律？
師：乘除法有著密切的聯繫，這個同學從除法聯想到了乘法，很有道理。那這節課我們就一起探索學習「積的變化規律」（出示課題「積的變化規律」。）
【設計意圖：合情推理的標準雖然不甚嚴格和確鑿，推理的結果有偶然性和或然性，但它絕不是完全的憑空想像，而是根據一定的事實、情境，基於一定的知識經驗作出的合乎情理的探索性判斷。四年級上冊學生已經學習了「商的變化規律」，也積累了一定的經驗。另外，乘法與除法一樣，都屬於基本四則運算，同時除法又是乘法的逆運算，教師引導學生從除法的變化規律聯想到乘法的變化規律，有利於培養學生「合乎情理」的聯想能力，也為後面的猜想做準備。】
•聚焦一點引發猜想，經歷合情推理的過程
1. 引發猜想。
師：根據已有的學習經驗誰來猜想一下，一個乘數不變，另一個乘數發生怎樣的變化，積又會發生怎樣的變化？
（出示）乘數 × 乘數 = 積
（不變） （怎麼變？） （又怎麼變？）
生1：一個乘數不變，另一個乘數乘以幾，積也要乘以幾。
生2：一個乘數不變，另一個乘數除以幾，積也要除以幾。
2. 舉例驗證。
師：要知道大家的猜想是否正確，我們如何做？
生：可以舉例子，看看是否符合這個規律。
師：是的，教材舉了「20×3=60」這個例子。
（出示例4：先按要求算一算、填一填，再比較填出的結果。）
師：仔細觀察第二行，已知什麼？要我們求什麼？
生：一個乘數不變，另一個乘數乘以2，求現在的積是多少？積發生了怎樣的變化？
師：那這一行呢？（指著第四行）同桌互相說一說。
師：請同學們把書上的表格填寫完整。
師：觀察表格你發現了什麼？
生：我發現剛才生1的猜想是正確的。
師：這只是從一個例子中發現的，是不是其他的例子也符合這一規律呢？有沒有反例？下面請同學們自己舉例驗證。
生：我舉的例子是：2×3=6
2×（3×10）=（6×10）
師：大家舉的例子都符合這一規律嗎？有沒有反例？
生：我有，我舉的例子是：12×5=60
（12×0）×5=（60×0）
師：這個同學想到了特殊的數字0，我們仔細觀察一下，一個乘數不變，另一個乘數乘以0，積也乘以0，這是正例還是反例？
生（異口同聲）：這是正例。
師：那你們找到反例了嗎？
生：沒有找到。
3. 歸納結論。
師：現在誰能大聲把這一規律完整說一遍。
（出示）一個乘數不變，另一個乘數乘幾，積等於原來的積也乘以幾。
師：剛才另一個同學的猜想：一個乘數不變，另一個乘數除以幾，積也要除以幾，也成立嗎？能找到反例嗎？
生：我找到了一個反例：2×3= 6，2不變，3除以0就不成立，因為除數不能為0。
師：太好了，我們只要找到一個反例，這個結論就不成立，想想看，怎樣修正能使結論成立？
生：只要添上（0除外），結論就成立了。
師：現在誰能把這兩個結論完整說一遍？
（出示）一個乘數不變，另一個乘數乘以幾，積等於原來的積也乘以幾。
一個乘數不變，另一個乘數除以幾（0除外），積等於原來的積也除以幾。
【設計意圖：提出猜想很可貴，但教師要讓學生明確，猜想不等於正確的結論，有時猜想是錯誤或不完善的，猜想還要經過必要的驗證。對於小學生來說，由於所學知識的局限，舉例驗證是一種常用的驗證方法，驗證時教師特別要引導學生依據反例對原先的猜想作出適當地改進和調整，培養學生思維的嚴密性和嚴謹的科學態度。】
4. 實踐應用。
師：學習了這一規律有什麼用呢？
生：可以使計算簡便。
師：回憶一下，在以前的學習中我們曾經運用這一規律解決過哪些有關的計算？
生：比如我們以前學過的口算：20×3=60，先算2×3=6，再在6的後面添一個0。
師：你能用剛學到的知識來解釋這一現象嗎？
生：因為一個乘數不變，另一個乘數乘以10，原來的積也要乘以10。
師：這個同學真會學以致用，了不起！
【設計意圖：所有的數學知識都要在應用中才能體現它的學習價值，才能真正得以鞏固。教學中，教師要及時溝通新舊知識之間的聯繫，通過變式訓練幫助學生加深對知識的理解和掌握，培養學生學以致用的能力。】
•多維度猜想，讓學習向思維更深處延伸
師：看著這一結論，你還會聯想到什麼？
生：剛才我們思考的都是一個乘數不變的情況，那如果是積不變呢？
師：很棒，如果要使積不變，乘數該發生怎樣的變化？
（出示）乘數 × 乘數 = 積
（怎麼變？） （怎麼變？） （不變）
生1：我覺得兩個乘數要同時乘或除以相同的數，積不變。
生2：我認為不對，應該是一個乘數乘以幾，另一個乘數除以相同的數，積不變。
師：要知道誰的猜想是正確的，我們可以怎麼辦？
生（異口同聲）：舉例驗證。
師：那我們就開始吧！
生1：我舉的例子是：4×8=32
（4×2）×（8×2）=128，說明生1的猜想是錯誤的。
生2：我舉的例子是：4×8=32
（4×2）×（8÷2）=32，說明生2的猜想是正確的。
生3：我覺得還要加上0除外，因為除數不能為0。
（同學們都頻頻點頭）
生4（很興奮地舉手）：我找到了反例，我舉的例子是：6×4=24
（6÷3）×（4×2）=16
生5：這個同學舉的例子不對，它不符合生2的猜想。
師：是的，但這個例子再次說明了什麼？
生1：說明要使積不變，除了「0除外」，還要強調「乘以和除以的是相同的數，積才會不變」。
生2：我還發現了一個特點：積的變化與乘數的變化是相同的。比如：一個乘數除以3，另一個乘數乘以2，原來的積也要除以3和乘以2。
生3：我也發現了這個特點，比如：2×3=6
（2×5）×（3×2）=6×10
師：你們都是火眼金睛，但現在就下此結論覺得合適嗎？我們還需要——
生（異口同聲）：多舉一些例子驗證一下，關鍵還要看有沒有反例。
師：大家說得太好了，那我們開始吧！
【設計意圖：教師要具有「未來智慧」的教育視角，努力培養學生的好奇心，引導學生主動追尋有意義的學習。在這裡，教師通過開放性的問題，引導學生一次次大膽猜想，舉例驗證，讓思維不斷延伸。】
•課內向課外延伸，讓猜想支撐起知識的架構。
師：大家通過不斷猜想和驗證得到了積的變化規律，很棒！積和商有變化規律，那有沒有和的變化規律？差的變化規律呢？請同學們課後運用今天的學習方法，自己去探索和發現。
【設計意圖：學完積的變化規律後，學生的學習進程並沒有結束，而是把學習又推向了一個更高的平臺。商與積有變化規律，對於四則運算中的加、減來說，學生有更豐富的學習經驗，完全可以運用今天所學的探索方法，自己尋找規律，通過不斷猜想，一方面可以架構起加、減、乘、除四則運算之間的聯繫，更主要的是培養了學生發現問題、提出問題、解決問題的能力，積累了豐富的數學學習經驗。】
教學反思
學習目標應是能力智慧的體現。學生學習目標應該能夠基於理解處理學科問題，因此教師在教學中只是把教材上的例題作為特例，讓學生經歷合情推理的過程，掌握「猜想——驗證」的方法還不夠，更重要的是要讓學生主動發現和猜想與「積的變化規律」有關的數學規律，並能運用這一方法完成相關學習任務。
學習活動應以基本問題為驅動。教師要圍繞基本問題設計教學框架，這樣能幫助學生學習關聯知識。因此，本節課的基本問題不能僅僅定位於「積有怎樣的變化規律」，而應緊緊圍繞「根據商的變化規律你聯想到了什麼？根據積的變化規律你又聯想到了什麼？你有怎樣的猜想，如何驗證？」這個更具總括性的問題展開，因為這個問題更具有可遷移性和影響力，能夠為這個相關領域內容的學習提供錨點，引導學生更深入地學習和探究。
學習內容應以結構化的形式呈現。教師在本課的教學中不能讓學生獨立理解「積的變化規律」，而應主動把一個個知識點放在「變與不變」這一數學思想的大背景下進行思考和梳理，讓學習內容以結構化的形式呈現，這樣才能讓學習真正發生。
（作者單位系江蘇省無錫市東林小學）
《中國教師報》2018年03月07日第5版