T1.一道需要參變分離的高考壓軸小題

2020-08-14 數何

2015年全國一卷理科數學第12題

雖然已經過去5年，但這道題依舊被許多老師當作例題講解

  1. 讀題目，確定題目類型。由題意可知，本題意在求參數a的取值範圍，即參數範圍問題。
  2. 確定方法，要解決參數範圍問題，有三種方法可選：參變分離、分類討論、數形結合。優先考慮參變分離。但對於本題需要注意的是：不能放得太開，即不能分離成以下情況：

這樣分離，就又會陷入分類討論的泥潭中

所以，應當分離為這種形式

這樣可以使左右兩邊的式子成為兩個函數，用數形結合的方法進行下一步操作

3.數形結合

對於g(x)與h(x),圖像如下：

在畫圖的時候需要注意：當x<0時，g(x)的圖像永遠位於x軸下方，因為e^x恆大於零，2x-1<0,兩者相乘，恆小於零；a(x-1)恆過定點（1,0）

4.列不等式組求解

因為存在唯一整數，觀察圖像既得，當x=0時，滿足不等式，當x=-1時，不滿足此不等式

即g(0)<h(0)

g(-1)≥h(-1)

解得答案為D

評註：本題考查了分離參數、數形結合的思想方法，是一道經典的壓軸小題

拓展：2020皖江名校聯盟高三第六次聯考數學文科試題中也有同類題出現：

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