特別說明：本文屬於高中數學必修1第4講。本課程『基礎知識』部分的目的在於以整體和聯繫的視角來結構化和體系化相關知識要點，而不在於贅述在教材或各類教輔上已有的細節內容。
1. 函數基礎知識結構圖
2. 定義及表示法
① 概念
a)映射的概念 - A、B非空數集，滿足f:A->B的映射，就叫函數；
b)函數三要素 – 定義域、值域、映射關係；
c)函數與映射的區別 - 映射範圍更寬，不僅僅局限於數集。
② 定義域
必須全有效，但可同時對應同一個值
③ 值域
值域不一定等於映射的B，值域可能更小
④ 表示方法 - 表達式、圖像、列表
⑤ 相等函數 –兩個函數的定義域和對應關係完全一致，則這兩個函數相等
⑥ 分段函數 – 指定義域的不同區間，有不同的對應關係的函數；其值域為各關係式取值範圍的併集。
⑦ 複合函數
即變量x與y之間通過中間變量形成的一種函數關係。如有h(x) = f( g(x) )，那麼這裡的f( g(x) )不再是f(x)，而是一個新函數。
例如f(x+1)跟f(x)已經不同了（雖然兩函數圖像看上去一樣，但位置錯開了1單位），本質上一個複合函數。
提示：（定義域）運算法則一般原則是由內而外（可藉助換元思想來理解）。
⑧ 抽象函數
不給出具體解析式，只給出函數的特殊條件或特徵的函數即抽象函數。一般形式為y=f(x)，常附有定義域、值域等，如 y=f(x), (x>0, y>0)。
提示：對於選擇題，選用特殊函數法、賦值法、圖像法等等。
提示1：如果只給出解析式y=f(x)，而沒指明其定義域，則其定義域是指能使這個式子有意義的實數的集合。
提示2：函數的定義域和值域要寫成集合的形式。
3. 性質
① 單調性 - 定義、圖像特徵、最值
a)概念（重要） - 定義、判定方法
b)單調性運算法則 - 加減運算之後的單調性
「增+增和增-減為增、減+減和減-增為減」（理解基礎上記憶！）。
c)複合函數的單調性
同增異減。
d)單調性的應用
可常用於判斷函數單調性、確定參數範圍、求值域(最值)和解不等式。
② 奇偶性：定義、圖像特徵、對稱性
a)定義（重要）- 定義、判定方法；
提示：任意定義在R上的函數f(x)都可以唯一地表示成一個奇函數與一個偶函數之和。
b)運算法則
奇+奇為奇、偶+偶為偶、奇+偶為非奇非偶（前提是其中沒有y=0這個函數）！
c)性質
(1)若奇函數f(x)在x=0有定義，則f(x)=0；
(2)若f(x)為偶函數，則f(x)=f(-x)=f(|x|)；
(3)既奇又偶的函數有無窮多，即y=f(x)=0，而定義域可為關於原點對稱的任意數集。
d)複合函數 –「內偶則偶，內奇同外」
根據定義把-x替換x即可。
思考：假如有f(x-1)為偶函數，則f(x-1)=f(-x-1)或f(-(x-1))中，哪一個對？關鍵是弄清這裡是已知f(x-1)為偶函數，而f(x)的奇偶未知！而如果已知f(x)為偶函數，則後者就是對的。
e)奇偶性的應用
可用於判斷函數奇偶性、求函數解析式、解不等式和求函數值。
提示：奇偶性可看作對稱性的特殊情形，即對稱軸或中心分別為y軸或原點。
③ 對稱性（奇偶性為對稱性的一種特殊情況）
a)軸對稱
兩個相等複合函數的自變量相加等於定值（定值除2為對稱軸所在），即二者的自變量關於某軸對稱；
b)中心對稱（這裡只分析對稱中心在x軸上的情況）
兩個值相等符號相反的複合函數的自變量相加除2等於定值（對稱中心所在）。
c)雙對稱性——若有兩個對稱性，則意味著「周期性」
不妨設兩個對稱軸或中心的x坐標分別為a和b,則有：
(1)兩個對稱中心或兩個對稱軸時，周期為2|b-a|;
(2)一個對稱軸且一個對稱中心時，周期為4|b-a|。
提示1：既可畫圖也可以通過代數式來理解與推導。
提示2：一般地，根據自變量之間符號，「同號看周期、異號看對稱」。
④ 周期性
a)定義
(1)f(x) = f(x + T), 且nT均為其周期（即兩個相等複合函數的自變量相減為定值）。
(2)若函數f(x)的周期存在一個最小正數，則該正是為f(x)的最小正周期。
b)變形
如f (x) = -f(x+a)、f (x) =±1/f(x+a), f(x+a)=(f(x-a), f(x+a)=(1-f(x))/(1+f(x)) 它們的周期均為2a。（試推導）。
(1)提示：當函數等量關係中自變量差值為定值時，一般可試著推出其周期！
(2)推導一般方法：觀察,若已知式中自變量之間差值為d，可先試著推出f(x)或f(x+2d)的式子。
4. 圖像變換
① 平移變換
口訣：「上加下減，左加右減」（即f(x±a)、f(x)±a）。
提示：當x前有係數時，平移量要放在括號內。如px右移q => p(x-q)。
② 對稱變換
軸對稱、中心對稱兩類；
常見的變換形式有：f(x)與y=|f(x)|，f(x)與y=f(-x)、f(x)與y=-f(-x)等。
提示：利用對稱性質可得到對稱點的坐標；然後可進一步得到對稱圖的表達式。
③ 絕對值
y=f(|x|) - 偶函數；
y=|f(x)| - y的負軸部分翻轉到正軸部分。
本文小結：
① 通過本文學習，我們應理解和熟記函數模型的通用屬性：一般地，包括定義、定義域、值域、圖、各基本性質等；換句話說，一個任意的、具體的函數一般都是從這些維度來進行研究、學習或應用。
② 類似函數模型的通用屬性，數學的知識點之間一般都有局部-整體關係或關聯性。因此，系統化、結構化地梳理基礎知識，有助於以整體視角學習和熟記一個知識主題或模塊，使理解更深刻和透徹、使記憶更持久、使應用更合理和有效，是從'入門'通往'精通'的必由之路。
溫馨提示：關注百家號「輕快學習課堂」，可閱讀所有相關文章。