「小石の高數」之「導數」Derivative

2021-02-19 石斛蘭 變動重力源

高等數學，又稱微積分，其作為第一批大學勸退課程 想必早已讓許多學生產生了莫大的困惑。

今天小石就僅僅以導數為例，發表一些個人的拙見，希望能幫助大家更好地理解導數。

首先我們要清楚一般的高等數學教材（同濟7為例）的教學順序，依次是極限（數列極限-函數極限「包括將函數與數學相關聯起來的heine定理」）——導數與微分——導數應用。。。。

其實這個教學邏輯完美地避免了所謂第二次數學危機中的一個悖論

第二次數學危機的悖論

眾所周知Newton與Leibniz發明了微積分calculus這一超級數學工具，並藉此解決了許多複雜的生活和物理問題，但微積分在剛剛被發明之初，是存在許多漏洞的。

最引人深思的便是一個被稱之為「無窮小」的悖論——即所謂無窮小究竟是不是0？

我們知道導數的定義是

儘管如此，但這已是經過後人無數次改良後的版本。在Newton那個時代，人們無法理解一個 與0一樣無限小的數 為什麼能置於分母 並加以作商的運算。這一矛盾困擾了人類近150年 引發了第二次數學危機

解決這次危機的便是課本第一章費勁筆墨所講述的「極限」

分母上的無窮小並不是0，而是一個確實存在著的量，只不過這個量足夠的小，以至於無論我們怎麼放大都無法觀測。但小與無終究還是有著本質的區別。這就是它能被置於分母位置並加以運算的原因。

這樣我們便明白了一個道理——即極限定義了導數。

值得一提的是，導數的英文Derivative不僅是一個派生詞，其本身的含義也有派生或者說衍生物的意思

其動詞形式為derive

科斯林詞典給出的釋義為If you say that something such as a word or feeling derives or is derived from something else, you mean that it comes from that thing.

而derivative的含義為A derivative is something which has been developed or obtained from something else.

所以導數本身是由某處發源的，即是被二次建構的一個概念。

這也是顯然的 因為導數還有另一個名稱「微商」，個人認為這個詞才能更好地凸顯導數的本質

Leibniz在其所創立的微積分中 將導數寫成dy/dx（y是關於x的函數），這個分式的形式便是我們所熟知的「商」的概念。

而課本上所學到關於微分的知識，相信很多人僅僅是理解成完全求導後的導函數數後邊帶一個dx。這是不錯的

但我們應該認識到這個式子本身所代表的幾何含義

我們構造一個函數y=f（x）規定其在定義域內可導，則我們在任意的x0（f（x0）為一個常數）處滿足

稍稍變形便有

很容易發現，這個式子與我們所熟知的一次函數表達十分相似（欸，不對 這不就小學就學過的正比例函數嘛？(´･Д･)」）

那麼，一說到線性，我們想到了什麼 ？

第一反應應該是「直線」。

對啦，直線。而一說到直線 便不難聯想到控制直線性質的「斜率」

別忘了，這個A正是我們剛剛所規定的f（x）於x=x0處的導數。

啊，這不就是我們常常掛在嘴上的——

課本上的這張圖便很好地詮釋了這個概念。

因為這對於任意的在其定義域上可導的函數都適用，

即所有函數變量的微小變化（dy）都可以由其自變量的微小變化（dx）乘以一個在我們所要的x0的任意小的領域內不變的常數（A）所表示

而大部分函數（初等函數）本質是由多個基本初等函數複合而來，對於這最外層（宏觀上的）微小量，便需要由其次一層函數的微分來生成，而次一層函數的微分對於次次一層函數來說又成為了新的微小量。。。。。開始套娃

但胡適曾言：怕什麼真理無窮，進一寸有進一寸的歡喜

所以xdm，只管衝就完事了

下一次講講幾個導數公式的幾何推導過程

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