如圖，已知D，E分別為△ABC的邊AB，BC上兩點，點A，C，E在⊙D上，點B，D在⊙E上．F為弧BC上一點，連接FE並延長交AC的延長線於點N，交AB於點M．
（1）若∠EBD＝α，請將∠CAD用含α的代數式表示；
（2）若EM=MB，請說明當∠CAD為多少度時，直線EF為⊙D的切線；
（3）在（2）的條件下，若AD=√3，求MN/MF的值。
【分析】（1）根據同圓的半徑相等和等邊對等角得：∠EDB=∠EBD=α，∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，再根據三角形內角和定理可得結論；
（2）設∠MBE=x，同理得：∠MEB=∠MBE=x，根據切線的性質知：∠DEF=90°，所以∠CED+∠MEB=90°，同理根據三角形內角和定理可得∠CAD=45°；
（3）由（2）得：∠CAD=45°；根據（1）的結論計算∠MBE=30°，證明△CDE是等邊三角形，得CD=CE=DE=EF=AD，求得EM=1，MF=EF﹣EM，根據三角形內角和及等腰三角形的判定得：EN=CE，代入化簡可得結論。
【解答過程】
解：（1）連接CD、DE，
在⊙E中，
∵ ED=EB，
∴ ∠EDB=∠EBD=α，
∴ ∠CED=∠EDB+∠EBD=2α，
在⊙D中，
∵ DC=DE=AD，
∴ ∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠CED=2α，
在△ACB中，
∵ ∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，
即 2∠CAD+2α+α＝180°，
∴ ∠CAD=(180°-3α)/2＝90°-(3/2)α.
（2）若EM＝MB，則∠MEB＝∠MBE.
設∠MBE=x，則∠MEB=x，
當EF為⊙D的切線時，∠DEF=90°，
則∠CED+∠CEN＝90°.
∵ ∠CEN＝∠MEB，
∴ ∠CED+∠MEB=90°，
又∵ DC＝DE，
∴ ∠CED=∠DCE=90°﹣x，
在△ACB中，
∵ ∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠MBE=180°，
即 2∠CAD+90°-x+x＝180°，
∴ 2∠CAD=180°﹣90°＝90°，
∴ ∠CAD=45°.
（3）由（2）得：∠CAD=45°，
由（1）得：∠CAD=90°-(3/2)∠MBE，
則 ∠MBE=30°，
∴ ∠CED=＝90°-∠MBE=60°.
∵ CD=DE，
∴ △CDE是等邊三角形，
∴ CD=DE=CE=EF=AD=√3，
∴ ∠EDM＝∠MBE＝30°.
在Rt△DEM中，
∵ ∠EDM=30°，DE=√3，
∴ EM=DE·tan30°＝1，MF=EF﹣EM=√3﹣1，
在△ABC中，
∠NCB=∠CAB+∠CBA＝45°+30°=75°，
在△CNE中，∠CEN=∠BEM=30°，
∴ ∠CNE=180°-∠NCE-∠CEN＝75°，
∴ ∠CNE=∠NCB=75°，
∴ EN=CE=√3，
∴ MN＝EM+EN＝1+√3，
因此：MN/MF＝(√3+1)/(√3-1)＝2+√3.
【本題考點】
本題考查三角形內角和定理、三角形的外角的性質、等腰三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是學會利用三角形角之間的關係確定邊的關係，學會構建方程解決問題，屬於常考題型。
注意：最後結果一定要化簡為最簡式。