代數幾何（Algebraic geometry）是現代數學的一個重要分支學科，基本研究對象是在任意維數的（仿射或射影）空間中，由若干個代數方程的公共零點所構成的集合的幾何特性。代數幾何把抽象代數， 特別是交換代數，與幾何結合起來，被認為是對代數方程系統的解集的研究。
代數幾何是數學的一個分支，是將抽象代數， 特別是交換代數，同幾何結合起來。它可以被認為是對代數方程系統的解集的研究。代數幾何以代數簇為研究對象。代數簇是由空間坐標的一個或多個代數方程所確定的點的軌跡。例如，三維空間中的代數簇就是代數曲線與代數曲面。
代數幾何研究一般代數曲線與代數曲面的幾何性質。代數幾何與數學的許多分支學科有著廣泛的聯繫，如複分析、數論、解析幾何、微分幾何、交換代數、代數群、拓撲學等。代數幾何的發展和這些學科的發展起著相互促進的作用。近年來，人們在現代粒子物理的最新的超弦理論中已廣泛應用代數幾何工具，這預示著抽象的代數幾何學將對現代物理學的發展發揮重要的作用。
從非常表面的角度看，物理中使用代數幾何的場合主要是「必須直面奇點」的時候，也就是說當奇點具有重要物理意義的時候。面對有奇點的問題，最自然的想法就是考慮如何把奇點變光滑（resolution），這時候代數幾何就變得很有用。比如，Calabi-Yau GLSM 的物理參數，比如 FI 參數，會控制相應的 CY 3-fold 的幾何，但是當這些參數變動到某個值時，這個 3-fold 可能會建立奇點，而後當參數離開這個值，奇點消失，但是相應的 CY 幾何和拓撲發生了變化。Mirror symmetry 會關心這個「奇點誕生-消滅」的過程在 Mirror CY 上是怎麼樣的過程。類似的還有開弦/閉弦對偶問題。Calabi-Yau 會在底流形 縮到零體積的時候建立 conifold 奇點，而這個奇點有兩個resolution，專家稱它們為 deformed conifold 和 resolved conifold：前者可以在 上堆 個 D-brane 並導致 CS 理論，而後者可以建立閉拓撲弦理論。開閉弦對偶指出，這兩個（作為同一奇點的不同光滑化的）幾何上的兩個物理理論是等價的。還有一些需要面對奇點的問題，比如孤立子、瞬子模空間的奇點，Seiberg-Witten curve 在某些 moduli 值處會產生奇點。處理這些問題時，代數幾何會有重要作用。代數幾何在現代物理用用得越來越多了。代數幾何中最廣泛的應用是在弦理論中，緊緻化和mirror symmetry都和代數幾何有密切關係。
此外，代數幾何在規範場論的散射振幅計算中也有應用。
弦論裡有大量代數幾何的應用。這是一個過於龐大的話題，下面僅零碎地舉幾個例子。細節會越來越少，跟實際應用多寡完全不成比例。經典教科書1有專門章節提供用到的代數幾何知識，但是不代表只有這些被應用了，前沿的弦論研究和大量的代數幾何研究交織在一起，見文末討論。粗略地追究一下，起點可能是弦論在卡拉比-丘（Calabi-Yau）流形上的緊化（compactification）。也就是科普語言裡說的在我們的四維時空的每一點都蜷著一個六維的卡拉比-丘空間（「弦論居住的房子」）。丘成桐對陳（陳省身）示性類為零的卡拉比猜想的解決使得我們對這類流形有了一個簡單的代數幾何刻化。這樣相關的代數幾何工具就進入物理學家的視野了。先講代數幾何在弦理論裡面一點比較具體的應用（含現實的物理意義）：
在雜化弦論（heterotic string）中，規範場作為Hermitian-Yang-Mills方程的解的存在性對應於一些全純向量叢的穩定性（slope stability），這（在適當的條件下）被稱做Donaldson-Uhlenbeck-Yau定理，或者Kobayashi-Hitchin correspondence。到這一步涉及的對象還是復幾何的，然而穩定性的條件可以在代數幾何的範疇裡研究。同時，計算這些向量叢的上同調對應於數場（massless chiral superfields）的數目。而這些計算也可以通過範疇等價（GAGA，代數幾何與解析範疇的對應）轉化為代數幾何問題進行計算。沿著這一思路，參考文獻2試圖從弦理論回到場論標準模型：從雜化弦出發，能夠找到這樣的弦論模型【1】，使得它在低能狀態下能夠重現超對稱標準模型（minimal supersymmetric standard model, MSSM）裡的場，不多也不少。當然場的耦合強度還需要更細緻的計算。這部分工作算是弦唯象理論（string phenomenology）。然後接著卡拉比-丘流形說，在兩個不同的卡拉比-丘流形上的弦理論可以通過鏡對稱（mirror symmetry）建立對偶，與此相關的Calabi-Yau / Landau-Ginzburg correspondence, Gauged linear sigma model 等等都用到很多代數幾何的工具。再有比如super-Riemann surfaces and supermoduli space，bosonic string 只在26維良定義的代數幾何/模空間解釋，F理論裡模型整個建立在elliptically fibered Calabi-Yau fourfolds上，尤其關注其中的退化的纖維(singular fiber)。從物理角度看，代數幾何工具並不比其他工具有什麼特殊的，跟微分幾何、辛幾何以及其他工具交織在一起。很多比較「高階」的構造比如derived categories，gerbs and stacks物理學家也都在積極應用。從數學物理角度看，弦論提供了很多有價值的數學問題，代數幾何相關的領域有Homological Mirror Symmetry, Enumerative Geomegry, Geomeric Langlands 等等等等。