撰文 | 葉鵬 （中山大學物理學院）
在凝聚態物理中，絕大多數金屬/絕緣體等凝聚態材料可以忽略電子之間的相互作用，在朗道-費米液體理論框架下得到很好的解釋[1]。而相互作用的電子會形成十分豐富的對稱破缺序，比如超導序、各種密度波序。在引入描寫各種序的序參量之後，我們又可以忽略電子之間的相互作用，用朗道-費米液體理論來解釋材料的各種性質。
數學上，假設系統的對稱性有一個群G=U(1) 來描寫，而系統狀態是由一個復參量Φ來描寫。系統的各個性質，比如能量V(Φ)，都是復參量Φ的函數。U(1)對稱性意味著這個函數跟復參量的角度無關：
V(Φ)=V(e^iθΦ )
如果有這種性質的能量函數，長得像一個墨西哥帽子（見下圖），那麼能量的最小的基態不得不選某一個不為0的復參量來描寫。這個復參量在U(1)對稱性變換下會變成另外一個復參量：Φ→ e^iθ Φ， 無法保持不變。這樣，雖然我們的系統有一個對稱性，但是系統能量最低的基態並沒有這個對稱性。這一現象就是朗道自發性對稱破缺現象。
朗道自發性對稱破缺:系統有一個對稱性，但是系統能量最低的基態並沒有這個對稱性
如果系統不是完全均勻的，「序參量」Φ可以是在實空間中的局域連續函數 (從實空間到序參量空間的映射) 。對稱破缺序的低能有效拉格朗日量可以根據對稱性的要求表達成Φ的泛函，比如：L[Φ]=(Φ)^2+Φ^2+Φ^4… 。通過對該量子場論做重整化、線性響應等標準微擾計算，我們可以系統地研究對稱破缺相與相變。
由於在解釋和預言實驗方面的巨大成功，對稱破缺機制幾乎成了固態物理的「標準模型」。只要大家碰到一個新物態，就會問這個新物態是由哪種對稱性來刻畫的。只要碰到一個相變，就會問在這個相變中，哪些對稱性發生了自發破缺。遇到什麼現象，都用朗道自發對稱性理論來套。
但是，上個世紀八十年代強關聯凝聚態實驗的重大發現——分數量子霍爾效應——讓我們看到了超越此「標準模型」的可能性。如拓撲激發「任意子」的統計性質和基態簡併度[2]，本質上與對稱破缺毫無關聯。我們甚至沒法定義一個局域參數作為序參量來刻畫與區分不同的分數量子霍爾態。同時，分數量子霍爾效應的低能有效理論是拓撲量子場論—Chern-Simons理論[3]。比如，對於Laughlin霍爾態，其低能有效理論是阿貝爾Chern-Simons理論。作用量可寫為
其中場量a是U(1)規範場。該規範理論在(2+1)維閉合流形上的大規範不變性要求係數 k 必須量子化為整數：k∈Z。S是一個拓撲量子規範理論，明顯不同於L[Φ]。從傳統的微擾重整化技術來看，我們很難想像一個只含有電子算符的量子多體系統會「流動到」一個含有演生規範場的拓撲量子場論。需要注意的是，這裡的Chern-Simons理論是所謂的流體力學構造[3]，具有嚴格的係數 (即k) 量子化要求，不同於Zhang[4]的複合玻色子場論、Lopez和Fradkin[5]以及Jain[6-8]的複合費米子場論。
作為拓撲序理論的先驅，Wen[9, 10]指出分數量子霍爾效應不是簡單的「填能級+微擾」能夠解釋的費米子系統[11]，而是一種完全超越傳統固態物理框架的強關聯物質形態。他把分數量子霍爾效應等一大類超越對稱破缺機制的量子多體態所含有的「剛性」、「序」稱為「拓撲序」[10](註：為了與近年來出現的容易混淆的術語區分開，本文臨時稱之為「本徵拓撲序」 ，intrinsic topological order，iTO)。
iTO的提出使我們對超越對稱破缺序的量子多體物理的理解有了飛躍式發展。同時，拓撲量子場論和共形場論的引進，極大地促進了凝聚態物理與數學物理等學科的交流。但是問題在於，iTO的確切的定義是什麼?是不是有能隙的超越對稱破缺機制的多體態都是iTO? 比如，郝爾丹 (Haldane) 相[12]是不是iTO呢?
當然現在我們已經知道，細究此類凝聚態物理問題需要藉助量子信息科學中的一些非常深刻的概念和方法。Chen等[13]，Verstraete等[14]和Vidal[15]藉助量子信息中的 「有限深度的量子電路」來重新認識有能隙的多體態。首先，自旋系統的每個格點上的自旋子空間提供了一個有限維度的「子空間」。比如，自旋-1/2的體系的每個格點上的子空間維度是2。我們從具有這種希爾伯特空間的局域可分解的性質的多體態出發，使用空間局域么正算符(LU)將有能隙的多體態作絕熱么正變換。如果多體態可以通過有限次數的LU操作變換成平凡的直積態，那麼該多體態就是短程糾纏態。否則，該多體態是長程糾纏態。在熱力學極限下,我們需要非常小心定義「有限次數」：先取熱力學極限，再取次數的極限。然後，如果任意次數LU都無法連接到直積態，那麼該多體態是長程糾纏態。SPT和iTO分別是短程糾纏態和長程糾纏態。
在有限多次的LU操作下，郝爾丹相的基態波函數 (比如AKLT嚴格可解模型的基態波函數[16]) 可以變換成平凡的直積態，因而郝爾丹相是短程糾纏態。但是從對稱保護的意義上來看，奇整數自旋的郝爾丹相仍然是「非平凡」的，而偶整數自旋的郝爾丹相是完全平凡的。這是因為連接奇整數自旋的郝爾丹相與平凡的直積態之間的所有絕熱路徑 (註：路徑就是一連串LU操作) 都破壞特定的對稱性，比如自旋旋轉對稱性或者時間反演對稱性。像奇整數自旋郝爾丹相這種非平凡的短程糾纏態被稱為「對稱保護拓撲態」 (SPT) [17-19]。(郝爾丹指出整數自旋鏈都是有能隙的。為了記念這一結果發現，大家把這些有能隙的相叫做郝爾丹相。而這裡提到的關於奇整數自旋和偶整數自旋郝爾丹相的本質區別，則是後人的結果。)
「對稱保護拓撲態」 (SPT) 的邊界有很多奇妙的性質，如邊緣上會出現的半整數自旋。因為體內每個格點上的自旋都是整數，所以邊緣上出現的半整數自旋是一個幾乎不可思議的事情，其表明一維體內有非平凡的SPT序。但如果自旋對稱性被破壞，分數化的邊界自旋就不再存在。SPT的體態有能隙,體內的激發都是系統本身的玻色子 (及其組合) 激發或者自旋翻轉等。這些激發被稱為平凡激發。但是SPT邊界上會有非平凡的量子態出現 (以量子反常體現) 。在不破壞對稱性的條件下，SPT的邊界態無法單獨成為一個可以被格點正規化的量子理論。除奇整數郝爾丹自旋鏈[12]之外，與SPT序有關的具體模型已經有很多研究，比如摻雜的奇整數郝爾丹鏈[20]、二維CZX自旋模型[21]、二維玻色整數量子霍爾態[22-24]、二維Levin-Gu自旋模型[25]、二維自旋量子霍爾效應[26]、三維拓撲順磁體[27]、三維玻色拓撲絕緣體(BTI)[28]等。
SPT研究領域的最重要的進展之一是文獻[29,30]提出的統一的分類與表徵方法。具體來講，奇整數郝爾丹相只是SPT大家族的冰山一角。正如抽象數學「群論」被用於分析對稱破缺序，代數拓撲裡面的「 群的上同調論」 [29, 30]被發現可以用來構造SPT的嚴格可解模型的配分函數，並在給定空間維度D和對稱群G的條件下給出SPT的不等價類 (亦即SPT的分類)。具體來講，給定G之後，我們可以用G 的上同調群的群元來標記SPT的不等價類。在群上同調的框架下，我們可以用定義在離散時空格點上的非線性西格瑪模型來研究SPT的體內的基態和邊界的低能激發態。正如物理其他領域一樣，用不同的角度不同的方法去理解SPT物理是非常有價值的。群上同調的構造辦法非常系統化。另一方面，由於群上同調的格點模型代表SPT不動點的物理，不動點模型的自旋之間的相互作用十分複雜 (比如：可能是六個相鄰自旋或者更多的相互作用)。群上同調理論關於連續自旋么正對稱群的計算非常複雜，對反么正對稱性的SPT的分類也不完全[28, 31]。然而這兩種類型的對稱性是實際量子自旋材料中常見的對稱性。另外，給定一個「非不動點」的基態波函數,群上同調方法不方便直接用於判斷出該基態是否是SPT、是哪一個SPT。
與SPT相反，iTO[10, 32-35]具有長程糾纏，不需要對稱性的保護，支持非平凡的拓撲激發 (比如二維iTO中的任意子)。iTO的邊界上會有「引力反常」 (比如一維手徵流)。iTO的典型例子是手徵自旋液體[2]、toric code自旋模型[36]、Kitaev蜂窩格子自旋模型[36]、Levin-Wen弦網自旋模型[37, 38]、Dijkgraaf-Witten模型[39]等。iTO和SPT有重要的對偶關係[25, 40]；通過研究iTO序我們可以間接探索新的SPT序。當iTO具有某種對稱性G，我們稱這種iTO為SET (symmetry-enriched topological phases，對稱富化拓撲態) [13]。從這個定義上來看，分數量子霍爾效應可以看成含有二維手徵iTO和對稱群的SET序。SET的研究也與尋找拓撲量子自旋液體[41, 42]緊密聯繫：通過研究任意子激發攜帶的分數化量子數，我們可以分類與刻畫不同的自旋液體態。二維SET的張量範疇數學框架最近也有非常系統的研究[43-47]。三維iTO含有圈激發 (loop excitations)，因而有必要研究三維SET甚至無能隙的自旋液體態中對稱性如何分數化[48-60]。
SPT，iTO和SET都是強關聯拓撲物質態。我們不可能通過能帶結構的分析來實現完整的分類和表徵。尋找這些拓撲物質態的「拓撲不變量」需要新的思路。人們在研究銅氧高溫超導的過程當中已經發展了許多非常有效的理論研究方法異[11, 61-63]。規範場論就是其中一種。作為粒子物理標準模型的理論基礎，規範場論在高能物理中佔據著至關重要的地位。在凝聚態物理特別是強關聯物理中，規範結構通常以低能下的演生的動力學自由度出現。在長波低能下，我們可以構造出具有動力學的阿貝爾規範結構甚至非阿貝爾規範結構。
近年來凝聚態物理中的拓撲物質態為研究具有拓撲性質的規範場論提供了一個非常重要的平臺。同時，數學物理、高能物理裡有許多與實際(3 + 1)維時空的粒子物理並無直接關係、但仍具有十分重要的理論價值的研究成果。令人振奮的是，這些研究成果十分巧妙地應用到了凝聚態特別是強關聯拓撲物質態中，比如在研究拓撲物質態的邊界態的量子反常、體內的拓撲量子場論、編織統計、拓撲量子計算等方面的應用。文獻[64]簡要回顧了近年來SPT，iTO和SET這些拓撲物態的規範場論的研究進展，特別在「投影構造理論」、「低能有效理論」、「拓撲響應理論」這三大塊。在「投影構造理論」中，將物理自由度分成多個「部分子」，這些部分子之間在紫外有強烈的規範漲落。在「低能有效理論」中，使用流體力學方式的辦法來得到拓撲物質態的低能有效規範場論。在這些場論裡的規範場是有動力學的。在「拓撲響應理論」中，通過施加外部規範場來探測拓撲物質態中的對稱性的性質。這些拓撲響應理論裡的規範場是靜止的，沒有動力學。
以上介紹的主要是玻色/自旋系統的拓撲物態；費米系統具有更加複雜的數學結構和豐富的物理現象，見最近的費米子SPT的分類進展[65]。另外，對於高對稱性 (higher symmetry) /高形式對稱性 (higher-form symmetry) 保護的SPT也是一個非常有趣的方向[66]。
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本文摘自《物理學報》，作者略有改動。