2016年10月，諾貝爾物理學獎授予 David J. Thouless、 F. Duncan M. Haldane 和 J.Michael Kosterlitz ，以表彰他們對「物質的拓撲相變和拓撲相的理論發現」。今天的文章是對這屆諾獎的一個回顧。
撰文 | 滿威寧（加州州立大學舊金山分校物理與天文系終身教授）
受邀寫一篇希望家長看後可以用來給孩子講解的（或中學生能勉強看懂的）關於今年諾貝爾物理學獎的介紹，這真不是一件容易的事。拓撲相變實在比細胞自噬體等要抽象複雜得多，很多人直呼「好幾個號稱說人話的版本還是看不懂。」那麼請試試這篇，讓我們一點一點來了解它。相信你看完能對這個特別抽象深奧的領域多一層理解，對基礎科學多一層好奇和敬佩。
今年的諾貝爾物理學獎被授予美國華盛頓大學的索利斯（David J. Thouless）、普林斯頓大學的霍爾丹（F. Duncan M. Haldane）和布朗大學的科斯特利茲（J. Michael Kosterlitz），以表彰他們的「理論研究發現了物質的拓撲相變和拓撲相。」諾貝爾獎官網說：「他們打開了通往奇異狀態物質這一未知世界的大門。他們用高等數學方法研究不尋常的相、態、物質，比如超導體、超流體或薄磁膜。得益於他們的先驅性工作，對新型反常相物質的獵尋（hunt）開展起來了。很多人認為它們未來有望在材料科學和電子學上得以應用。」
首先，什麼是相變？
眾所周知，純水可以有冰、水、水蒸氣三種狀態，也就是固體液體氣體三種相。融化沸騰結霜等都是相變。值得注意的是，相變意味著存在不連續的躍變。比如說固相和液相之間並沒有中間狀態。你可以把冰和水混合在一起，但在冰水混合物（包括碎冰沙飲品）裡，固相液相仍是分離的（phase separation），不像酒精和水溶液成為融合的單相。小朋友可能會好奇那軟白甜的冰激凌，難道不是水在固液兩相之間的中間相？注意，冰激凌不是水，是混合了蛋白質、脂肪、冰晶、糖、液態水以及氣泡的典型軟凝聚態——凝聚態物理的另一個重要分支。
在不同的相裡，分子原子整體遵循不同的規律做運動。比如，在固態晶體裡，分子排成一個固定的點陣，像是操練立體方陣的士兵。在液態下，晶格瓦解，分子們卻還緊挨著，所以保持有限的體積，但有了流動性，失去了固定的形狀。等到了氣態，分子們各奔東西，不僅沒了固定形狀，體積也會充滿所在容器的整個空間。除了固液氣相，物質還可能有很多其他複雜的相，呈現出不尋常的特徵，比如超導和超流，後面會解釋。
總而言之，不同的相是指同一個物質內的原子們，有不同的組織結構，對應於不同的物態。相與相之間的變化，是躍變的（存在不連續的物理量），而不是漸變的 （比如將一塊鐵的溫度慢慢升高）。
其次，什麼是拓撲？
拓撲是topology 音譯的詞彙。拓撲學是數學的一個分支，主要研究在空間連續變化（比如拉伸和彎曲，但是不撕裂和粘合）的情況下維持不變的性質。
最著名的例子就是，一團橡皮泥可以捏成一個球或者一個碗，或者捏成諾獎發布會上，主持人手裡的實心肉桂麵包（不管怎樣做連續變化，這些形狀都是一回事：它們都沒有洞）。而被打穿了一個洞的橡皮泥，或者有一個把手的茶杯，以及主持人手裡的圓圈麵包，或者一個筒裙，在拓撲學上他們都是一回事，擁有同樣的不變性：一個洞。而穿了兩個洞的橡皮泥，就像那個八字形的鹼水麵包，還有你的長褲和短褲，都具有相同的拓撲不變性。除了洞的個數，還有別的特徵數用來描述不同的拓撲特性。
請注意，拓撲性也是躍變的，不是漸變的。有個笑話說，當禪師說任何事物都有兩面，你可以把一張紙條擰一下然後兩頭反過來粘住，形成一個莫比烏斯環。在上面爬的螞蟻會發現它只有一面。可是如果禪師說事物都有整數面，那他就對了。同樣，拓撲描述裡，可以有零個、一個、兩個或N個洞，但是不會有中間態1.5個或1.618個洞。掌紋指紋的奇異點（構成「籮鬥」或「簸箕」）、打結的耳機線、椰子絨毛的漩（和你頭髮的漩）無不要遵守拓撲學的描述。而且拓撲性必須看物質的整體而不是局部才能知曉。
拓撲的本質是在連續變化下的不變性。如果一根繩子上打了一個結，然後把這根繩子首尾相連，要去除這個繩結就只能把繩子割斷，拓撲性質也是如此的堅固。比如說，當空間發生連續變化（伸縮扭曲等），左圖的二維的波浪式運動可以被消除，而右圖轉圈的漩渦只能被扭曲或移動，因為拓撲結構獲得保護，漩渦不能被輕易地消除。後面會提到漩渦在二維拓撲相變裡面的重要作用。
什麼是電導率？
為了幫助理解後面的話題，我們先看看什麼是電導率。想像一下你在一個管子（比如注射器）的一端施加壓力，兩端出現壓強差，管內的液體會朝低壓的方向流去，而流速流量不僅由壓強差、管道長度、管道粗細決定，還會與液體的粘滯阻力有關，就像水和蜂蜜的區別。同樣的，決定電流大小的，除了導線兩端的電壓差，材料的長短粗細，還有材料本身的導電性能（電導率）。比如金或者銅的電導率優於鋁。我們平時說的電阻率，是電導率的倒數。一般情況下，電阻來源於電荷在移動過程中遭遇的阻礙（與其餘微觀粒子的頻繁碰撞），類似於粘滯阻力和摩擦力。於是很大一部分電能就被消耗成了熱能，所以你的手機會發熱而且沒用一天就要充電了。在三維導體和半導體中，電導率（電阻率）會隨溫度等狀態發生變化，一般這樣的變化是連續的，不是躍變的。
在特殊情況下，比如非常低溫的條件下，物質可能發生特殊的相變，突然完全喪失電阻（或者粘滯係數），變成超導體（或者超流體），於是電流不再產生熱量消耗電能（或超流液體在環形容器中無休止地流動下去）。
然後，什麼是拓撲相變？
現在，我們再來試圖理解拓撲相變。
在低溫下，微觀粒子體現出量子力學的效應。而在薄層物質裡，想像一下那些「運載」電流的電荷（或流體的分子），像螞蟻一樣被限制在桌面薄薄一層空間，只能做二維運動。那麼他們中的一些有可能轉著圈形成漩渦。
如果本節後面的文字讀起來費勁，讀完這一段你就可以跳到下一節。簡短地說，今年的物理諾獎獎勵了下列幾個工作：
David J. Thouless和J. Michael Kosterlitz用漩渦（拓撲概念）解釋了薄層物質的一種特殊形式的超導超流相變。David J. Thouless等人用陳數（陳省身數，Chern numbers）等拓撲不變量解釋了實驗觀測到的按整數倍變化的霍爾電導率。F. Duncan M. Haldane提供了一維磁性原子鏈的拓撲模型。F.Duncan M. Haldane還首次預言了不需要磁場的整數量子霍爾效應（最後這一條是不是獲獎工作還有些爭議）。總的來說，他們的理論開創了把拓撲概念應用到凝聚態物理研究的領域，打開了通往豐富的拓撲物態世界的大門。
從前的理論認為超導或者超流不可能在薄層中發生。而上世紀七八十年代，David J. Thouless和J. Michael Kosterlitz 提出拓撲量子流體的理論，描述了在極低溫下薄層物質中的漩渦會順時針逆時針成對出現，互相補給電荷（或者補給流體），作為整體形成準長程有序的束縛態，伴隨超導或超流現象。在溫度升高後，這些成對的漩渦突然遠離，開始自由運動，破壞了超導或超流的長程位相有序性，導致物理性質突變。這個過程不同於普通的伴隨對稱性破缺（局部熱擾動破壞的各方向對稱性）的相變（比如結冰），而是由漩渦束縛態與自由態之間的轉變導致的，要用到拓撲的不連續性來描述和解釋，是拓撲相變的一種。已故前蘇聯科學家Berezinskii也獨立地提出了這一相變機理，但由於東西方冷戰而不為許多人知曉， 這一相變也被稱為是BKT相變。
另外一個啟發了科學家們去把拓撲性應用到物理裡的一個重要現象，是在極低溫強磁場下薄層物質的霍爾電導率成臺階式整數倍變化，而不能連續變化，即整數量子霍爾效應。（1980年德國科學家 Klaus von Klitzing 發現整數量子霍爾效應，於1985年獲得諾貝爾物理學獎。）實驗所測得的霍爾電導率非常精確地嚴格等於一個物理常數的整數倍。這個物理常數是大家熟悉的基本電荷（一個電子的電量）的平方除以量子力學裡的極小量普朗克常數。（霍爾電導率不同於普通的電導率，但也同樣是電流密度與電壓梯度的比值。）
為什麼霍爾電導率會如此固執地取這一系列整數倍數值呢？David J. Thouless等人把整數量子霍爾效應與陳數的整數拓撲不變量聯繫在了一起，用拓撲理論深刻解釋了二維電子層中的整數量子霍爾效應。陳數是以華人數學家陳省身命名的。在數學上，陳省身提出的陳類（Chern Class）及相關理論在微分幾何和代數拓撲學裡面有舉足輕重的位置。
另外，1982年，美籍華裔物理學家崔琦（Daniel Chee Tsui）、美國物理學家施特默（Horst L. Stormer）等發現「分數量子霍爾效應」，不久由美國物理學家勞弗林（Rober B. Laughlin）給出理論解釋，三人共同獲得1998年諾貝爾物理學獎。
而今年的另一位得獎者，F. Duncan M. Haldane的理論計算在八十年代末第一個提出了與已知機理不同的，不需要外加磁場的量子霍爾效應。這一預言終於在2014年，被以薛其坤為首的清華大學和中科院物理所的研究團隊，用前所未有的磁性摻雜拓撲絕緣體在實驗上驗證。他的理論為現在非常活躍的拓撲絕緣體領域提供了前期基礎。他還用拓撲的概念研究一維的原子鏈，在八十年代年打破前人對一維原子鏈的認知，指出一串磁性原子的自旋常數決定了他們是否存在拓撲性。他近期的工作進一步升華了分數量子霍爾效應的理論。
最後，它們有什麼用呢？
這些研究的意義是什麼，它們有什麼用，這是大家很關心的問題。
我首先要強調的是，把非常抽象的拓撲學應用到凝聚態物理研究中，形成全套嶄新的理論，用以成功解釋物質的奇異性質和相變，並預言前所未有的拓撲相和新物態，就像拿三角函數來描述帶有方向的物理量（力和速度等矢量），拿微積分來描述漸進的物理過程，拿黎曼幾何來描述引力的本質是時空的扭曲從而創立的廣義相對論一樣，這些「異想天開」的開創性理論研究打開了一扇扇新學科的大門，是具有劃時代意義的。
拓撲激發態兩個重要特點，一是全局性，二是對局部擾動的穩定性，不受材料裡面雜質等幹擾。到今天對拓撲物態的研究成為一個內容豐富又飛速發展的領域， 更多的奇異拓撲相（包括一維、二維、三維）和拓撲相變被預言和發現。
比如1990年左右，華裔物理學家牛謙、文小剛等人的工作使我們理解了量子霍爾效應邊界的奇特拓撲性質。近十年來，包括傅亮、張首晟在內的科學家發現和預言了多種三維拓撲絕緣體。近八年來，顧正澄、文小剛，還有陳諧、劉正鑫揭示了 Haldane 磁性鏈的對稱保護的拓撲內涵。這些工作使拓撲物態吸引了更多的關注。
特別是量子霍爾態，其中和陳數相關的拓撲性質，導致了它的邊界是電阻為零的理想導體。電子在一個邊界上都有相同的運動方向，好似行駛在暢通無阻的高速公路，不再遭遇普通導體內類似於跑車衝進歌舞廳菜市場的電阻。這樣特別的的材料有望被用來解決電子產品發熱電能浪費的問題。
還有一種新型拓撲物態——帶非阿貝爾任意子的拓撲序，可能可以被用以實現量子計算機。總而言之，拓撲序拓撲物態在過去二十多年來主導了凝聚態物理的前沿研究，這些新型的拓撲材料和奇異性能，可能對下一代電子元件和量子計算機的發展有重要的潛在應用。
作為專業的物理科研人員，在這裡我謹慎保守地措辭「可能」和「潛在應用」，因為這樣劃時代發現全新物態和物理機制的開拓性研究本身已經意義非常重大，無需再吹噓應用前景。類似地，一百年前愛因斯坦提出雷射概念，五六十年前雷射得以實現。那時候的人們完全想像不到雷射的「潛在應用」有多麼廣泛。在今天幾乎任何角落，從引力波探測、晶片製造，到普通電腦光碟、網際網路光纖，到哪怕超市裡的掃條碼，都離不開雷射——這種「一反常態」的具有單色、單向性、大功率、相干性等等的全新光源。
三位獲獎者是全新拓撲物態研究領域的理論先驅，在他們之前和之後的眾多的數學家、理論物理學家和實驗物理學家，都為這一領域的發展做出了卓越的貢獻。是他們對未知世界無法阻擋的好奇心、孜孜不倦的探索和極其敏銳的洞察力讓這一切成為可能。
作者簡介
滿威寧，博士，本科畢業於吉林大學少年班，博士畢業於普林斯頓大學物理系，在普林斯頓大學和紐約大學從事博士後工作。現任加州州立大學舊金山分校物理與天文系終身教授，從事軟凝聚態物理、準晶、光子能隙、無序材料及非線性光學的研究。
參考資料
[1] 諾獎官網公告
https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2016/press.html
[2] Nature: Physics of 2D exotic matter wins Nobel.
http://www.nature.com/news/physics-of-2d-exotic-matter-wins-nobel-1.20722
[3] 果殼網：物理學獎：平面世界裡的奇幻現象
http://www.guokr.com/article/441761/
[4] 拓撲為何
http://iscientists.baijia.baidu.com/article/342721
[5] 輕鬆理解凝聚態中的拓撲|諾獎深度解析 （之一）
http://www.weixinduba.com/n/348732
[6] 輕鬆理解凝聚態中的拓撲|諾獎深度解析 （之二）
http://mt.sohu.com/20161009/n469783911.shtml
[7] Physics Today: The QuantumSpin Hall Effect and Topological Insulators
http://scitation.aip.org/content/aip/magazine/physicstoday/article/63/1/10.1063/1.3293411
[8] https://i.ytimg.com/vi/9NlqYr6-TpA/maxresdefault.jpg
《返樸》，科學家領航的好科普。國際著名物理學家文小剛與生物學家顏寧共同出任總編輯，與數十位不同領域一流學者組成的編委會一起，與你共同求索。