雜問003「V2」、如何看待0.9...是否等於1，芝諾悖論和整體思維？

0.9...是否等於1？

這個問題看似很簡單，但其實中間涉及了很多的內容。作為了一道數學題，李永樂老師借數學的公理化來解答：視頻連結

個人之前認可的解答是：

按小學課本的」記法「

1/9=0.1...

2/9=0.2...

...

1=9/9=0.9..

設方程

x=0.9...

10x=9+0.9...=9+x

x=1

但正如一般人的「直覺」一樣，0.9...無論多少個9都是比1小的。為什麼呢？

因為一般人的「直覺」裡，蘊含了一個神秘（後文中會揭開）的設定：無數個=自然數個。

將問題轉換一下就可以好理解了：

設a1=0.9, a2=0.99, a3=0.999, an=0.9(n個9), 證明an<1。

利用數學歸納法證明如下：

n=1時，結論成立，

假設n成立，an+1=an+0.0...9(中間n個0)<an+0.0...1(中是為n-1個0)=1，

由此可知對於所有自然數n，都有an<1成立。

同樣的，我們可以證明

設b1=0.1, b2=0.11, b3=0.111, an=0.1(n個9), 證明an<1/9。

通過數學歸納法，我可以證明「0.9...<1」和&34;。但這裡「...」不同於「1/9=0.1...」中的「...」。因為無限循環小數，中的無限個，與自然數的無限個，不是同一個級別，

所以結論是：

0.1...(N)<1/9，(N)為自然數的個數，下文稱為自然級個數，N級。

0.1...(?)=1/9

0.9...(N)<1

本質上&34;是一個帶有歧義的寫法，並不是只代表一個數。

從一個記號「...&34;所代表的減法失效了。

也即

當x<=N時，(x)>(x-1)>(x-2)>(x-3)>(x-4)

當x>N時，(x)=(x-1)=(x-2)=(x-3)=(x-4)=(x-N)

這就是很奇怪，連加減乘除都有失效的時候，難道加減乘除也會有錯嗎？無窮是一個全新世界嗎？與加減乘除有效的世界如此不同，如果無窮世界與有限的世界無法建立」連接「，那無限的世界就沒有認知的途徑和在邏輯中存在的價值了，即使它是真的在邏輯中」客觀「存在。

這一系列的疑問和第一次數學危機的背後其實是有著很多聯繫。

人從認識數字開始，1，2，3，4，5，...這裡人能認識到無限，這幾乎可以用來當作人與其他動物的根本區別之一，或者說教懂小孩子數數，到能說出任意一個數的下一個數是什麼，如一萬，下一數是一萬零一，那麼他就是真的「人」了。

畢達哥拉斯學派對數字有類似宗教似的信仰，它承認了人類在實踐經驗中的經驗，在進行邏輯運算時，又不承認邏輯運算中的另一面，也就是對稱面，或者叫逆運算。

人類承認了加法，即從1+1=2，2+1=3開始，後來承認了減法 3-1=2，2-1=1。但1-1呢？很長一段時間內人類會認為它沒有意義。後來實踐的經驗讓人類還是承認了1-1=0，0的產生，直接催生了負數，也就是0-1=-1，-1-1=-2。

人類承認了加法，後來發現加法表達過於繁瑣，於是利用加法，創建了乘法。1*1=1，1*2=2，1*3=3等，進而推廣，2*2=4，2*3=6等，後來人類承認了除法，1/1=1，2/1=2，6/2=3等。1/2這類小數除以大數呢？其實與1-1一樣，人類很久都沒承認它。後來實踐的經驗讓人類還是承認了1/2，即催生了分數或者小數的出現，並與負數的出現一起推廣，產生了有理數。但是1/0和0/0呢？人類到現在都還沒承認，只有少數人討論過它的意義，如歐拉。

人類承認了乘法，後來也同樣發現乘法過於繁瑣，於是利用乘法，創建了冪運算。2^2=4，2^3=8。冪運算的部分昌從自然數，向整數，向有理數推廣的。但是推廣的過程中出現了更多人類無法承認的表達，最經典的就是歐拉提出的虛數i。

其中√2就是一典型，它直接導致了數學史的第一次數學危機。一個數字，它有什麼魔力激化邏輯矛盾？一開始，人們不承認√2，認為它是沒有意義的。但是當數學的另一個分支幾何學的發展，畢達哥拉斯學派也參與研究，最突出的證據就是畢達哥拉斯定理的出現，學派不得不承認√2是存在的，它對應著一個線段的長度。那如何用自然數，有理數的概念理解√2呢？人們在把它寫為小數時，發現有理數是有限位數，或者是有限位數的無限循環小數，於是人們也認為√2也是如此，只是因為算力的問題，人們認為√2是由某個數的無限循環而成，所以√2也是一個有理數。

算力，在古代有著很多的限制，一是來自符號的約束，二是來自於方法的約束。

關於符號，現在國際使用的阿拉伯數字，源自印度，公元8世紀進入阿拉伯地區，公元10世紀進入歐洲，後來經過一次次的改良，才變成目前的這個樣子。

關於方法，同樣作為無理數的π，其精度的演變歷史也是非常緩慢，由割圓術到分析法（阿拉伯數字已經廣泛使用），才轉到了快車道。

與前文類似，有人使用反證法也有人說是公度單位求法無限循環的證明，證明√2不能表示為一個分數，即√2不是有理數，存在所謂的」無限不循環小數「。

為什麼是√2引發？因為它是最容易產生的一個無理數。

√2不是第一個無理數，因為π很早就有人發現了，但是π是無理數的證明更加遲，從最早的記載到最早的證明歷史三千年左右。

另外一種說法稱，據說, 正五邊形的邊與對角線之比（√5-1）/2（如下圖）是最先被發現的無理數。

√2不是有理數，這表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示。反之，數卻可以由幾何量表示出來。整數的尊崇地位受到挑戰。芝諾悖論也是這個時期產生的。

攸多克薩斯解決了關於無理數的問題。他純粹用公理化方法創立了新的比例理論，微妙地處理了可公度和不可公度。自此以後，公理化方法成為數學的基礎，幾何學使用公理化方法構建的大廈一直穩定，後人把幾何看成了全部數學的基礎。

可公度性亦可稱為可通度性或可通約性，可公度性是指如果兩個量是可合併計算，那麼它們可以被用同一個單位來衡量。

形象地描述是：

可公度，是指量能「獨立」存在，且能「融合」時保持獨立性，如一個人，兩個人合併後還是分開的兩個人。

不可公度，是指量能「獨立」存在，但是「融合」時會失去獨立性。如一堆沙，兩堆沙合併後就是一堆沙了，或者一頭牛，與一頭豬，合併後還是一頭牛，一頭豬。一升沙和一升沙合在一起是兩升沙這是可公度的。一分加一秒等於六十一秒，是可公度的。

其實就是初中數學教材中的：合併同類項；在小學教材是：分母通分。

本質上來說，不可公度，和此文提出的數學歸納結果一樣：數學中最基礎的加法失效了，只不過使用了公理化的方式來處理。

面對無窮就真的沒有其它辦法了嗎？康託爾在構建自己的集合論時，發現了一種利器&39;大大多於&34;追趕「的過程，這個事實上的無數段是W級的，而不是N級的，芝諾按N級的過程來思考無數段」追趕「的過程的結果，即兩者的距離會不會等於零。在N級是不等於零的，在W級是等於零的。

簡單地說：

用越出你能想到的無限次（N級），阿基裡斯就能追上烏龜。

回過頭來看，從前文中，我們知道0.1...是一個歧義性的表達時，即包含了自然數個的無限，和比自然數個還要大的無限。這個」事實「，是由我們承認分數和有理數時，就產生了，同樣是對整數的尊崇地位受到挑戰。不過這一次挑戰被」忽略「了，或草草地處理了。

本人可以稱：前文提到兩種無限大的發現為」第零次數學危機「。第一次數學危機是在第零次危機出現後，可以視為人類」忽略「無限之後，」無限「的又一次反擊。後文讀者可以看到」無限「繼續被」忽略「，然後」無限「繼續地反擊，從而產生了第二次和第三次數學危機。

而且神奇的事是：危機都是發生在」算術「上，而引發的導火線都與」幾何「有著關聯。

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【影響2】、第二次數學危機

本次危機是與微積分的創立有關。它的關鍵問題就是無窮小量究競是不是零？無窮小及其分析是否合理？

本次危機出現前，也出現了一個代數與幾何學有關的創舉：解析幾何創立。這是對歐氏幾何的繼承和發展。

直到19世紀20年代，一些數學家才比較關注於微積分的嚴格基礎。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄裡赫利等人的工作開始，到威爾斯特拉斯、狄德金和康託的工作結束，中間經歷了半個多世紀，基本上解決了矛盾，為數學分析奠定了一個嚴格的基礎。

波爾查諾給出了連續性的正確定義；阿貝爾指出要嚴格限制濫用級數展開及求和；柯西在1821年的《代數分析教程》中從定義變量出發，認識到函數不一定要有解析表達式；他抓住極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變量，無窮小量是以零為極限的變量；並且定義了導數和積分；狄裡赫利給出了函數的現代定義。在這些工作的基礎上，威爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方，給出現在通用的極限的定義，連續的定義，並把導數、積分嚴格地建立在極限的基礎上。

19世紀70年代初，威爾斯特拉斯、狄德金、康託等人獨立地建立了實數理論，而且在實數理論的基礎上，建立起極限論的基本定理，從而使數學分析建立在實數理論的嚴格基礎之上。

我們可以先看一個數0.0...1，我們知道它是表示多個數。

我們可以得到：0.0...(N)1>0

那麼，0.0...(W)1是否等於0 ？

0.0...(W)1=x

0.0...(W-1)1=10x

因(W)=(W-1)

所以x=10x，即x=0

個人猜想1：0.0...(W)1=0，更一般地0.0...(W)n=0，n為任意的一個自然數。

設△1=0.0...(N)1，我們也可以得到一個無限小的數，注意這也是一個常量。

設△2=1-0.9...(N)，我們可以得到一個小無限小的數，注意這是一個常量。

個人猜想2：△1=△2。

個人猜想3：△1無論是在十進位計數，還是二進位計數，或其他進位數，它們應該相等。

個人猜想4：二進位下的0.1...（N)和十進位下的0.9...(N)，或其他進位數下，它們應該相等。

再看一個數：r1=8/9=0.8...(W)

另有一個數：r2=0.8...(N)

那麼△3=r1-r2的結果也應該是一個常數，但它也是無窮小。

個人猜想5：△1=△2=△3。

顯然令：r3=0.9，顯然有：r3-r1 != △3

這跟我們習以為常的加減法中，「位數對齊」有著更深層次的聯繫。

令△4=0.0...(N)2，我們也可以得到一個無限小的數，注意這也是一個常量。

但△4/△1=2，而不是0/0那種「無意義」算式。

個人猜想6：△1是最小的正實數。即0的下一個實數是△1。

令△5=1/9...(N)，我們也可以得到一個無限小的數。

個人猜想7：△1<△5。

個人猜想8：△5是最小的一個正有理數，即0的下一個有理數是△5。

再在數制上擴充一下：

令0.1...(N2)，表示二進位表示下的無限（N）次循環小數。

用數學歸納法，容易得到0.1...(N2)<0.9...(N10)，但0.1...(W2)=0.9...(W10)

所以1-0.1...(N2)>1-0.9...(N10)，也即考慮了數制後，△1是隨著數制的變化而變化的，這也我們日常使用不同的單位下，最小的單位是不同的保持一致：如1米要大於1尺。

無限個，即無窮大是一體兩面，無窮小，也是一體兩面，也可以說是歧義性的，只要在無限（N級）上，它就不是零，而達到了無限（W級）上，它就是零。

函數的極限由級數的極限推廣而來：

這個版本的極限定義中使用的「任意比零大的數」，是一個構建存在型的定義，即只要證明存在一個數，令函數值與極限距離小於「任意比零大的數「，也就是所謂「無限接近」的曲線化的定義方式。因為級數的極限，與自然數的連續性有關，自然數的連續性是我們最習以為常的n和n+1，所以這個是使用了自然數的連續性「代替」或「產生」實數的連續性。這個推廣的思路和過程，是否還有不嚴謹的地方或者更深層的含意呢？

我們回頭再看看芝諾悖論：阿基裡斯追烏龜的問題如果以級數的極限來理解：

設阿基裡斯的速度是10，烏龜的速度為1，阿基裡斯和烏龜初始距離是1，那麼

從追趕的時間上來看：

阿基裡斯按芝諾描述的過程，每一次追趕的過程消耗的時間為：

0.1

0.01

0.001

...

0.0...(N)1

它們之和是0.1...(N)和1/9是不相等的，但0.1...(N)的極限是1/9，即0.1...（W)。

極限的成立在於有一個數比自然數的個數還要大。那麼極限用級數來展開是否錯誤？

1/9=0.1+0.01+0.001...

這個等式成立嗎？當你列出世界級個數的項是正確的，但列出自然級個數的項是錯誤的。但這樣的表達式在高等數學中很常見，是不是要回頭審視一下這種歧義的寫法？

這裡也會涉及到計算機領域的「可計算問題」，所有「可計算」，只是在實際上最多只能達到自然級個數的項，而達不到邏輯上的世界級個數的項，所以從根本上說，計算的結果可能只是一個近似值。後述有機會展開討論。

無限接近，如果只是在無限在N級，就是無有達到，即距離大於0，如果在世界級個數，就是達到，距離等於0。所以連續的概念是否可重新梳理如下：

在自然數下：1，2，3，4 ... 我們稱n和n+1是連續的。

在有理數下：我們稱q和q+△5是連續的。

在實數下：我們稱r和r+△1是連續的。

在複數下：我們稱c和c+△1是連續的，c+△1是兩個數，即△1分別加於實部和虛部。

重新認識實數的連續性，與直線和曲線的連續性是一致的，以及歐氏第五公理的平行的理解也可以「反作「於代數領域，未來實數，複數的數系還有可能進一步地推廣。

無限大被轉為無限小時，人們也一樣無法適應。數學家們選擇了公理化實數的方式來處理。

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【影響3】、第三次數學危機

本次危機以羅素悖論或」理髮師「悖論為標誌，樸素集合論受到極大的挑戰。

在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：「本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！」來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於「不給自己刮臉的人」，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於「給自己刮臉的人」，他就不該給自己刮臉。

這個問題似乎本身是邏輯學的事情，似乎跟無限沒有什麼直接的關聯，理髮師悖論的核心問題在：

城裡有一位理髮師，代表理髮師是城裡的一個人。

廣告詞上：本城所有不給自己刮臉的人。

一般來說，這個悖論的解決方式是：如果理髮師不是城裡的一個人，或理髮師將自己排除在規矩之外，悖論就不成立了。

但還可以從規則上分析：」本城所有不給自己刮臉的人「，這句話中」本城所有不給自己刮臉的」這個修飾部分，我們一般理解為人的一個屬性或者一個狀態。任意一個時刻，一個人應該處於「為自己刮臉」和「不為自己刮臉」，這兩種狀態之一，同時，對於任意一個人，一個時間段內，或一生中，其實這種狀態是「連續」地在變化的，任意一個人都可以在兩個狀態中切換，所以這個過程，我們定義一個函數：

f(x）=1，2【1為不自己刮臉的狀態，2為自己刮臉的狀態】

對於理髮師之外的人，一般的類型有三種，如下：

當我們要畫理髮師的曲線時，會遇到一個問題：畫不出來。

為什麼畫不出來？

我們試圖慢動作地將這個過程演示一下：

t1時刻，理髮師發現自己鬍子長了，他的狀態為：不自己刮臉。按照規則，理髮師可以為自己刮鬍子。

t2時刻，理髮師在刮自己的鬍子，他的狀態為：自己刮臉。按照規則，理髮師不可以為自己刮鬍子。

因為人只能處於其中一個狀態，所以t1時刻的狀態，只能對下一個時刻產生影響，同理t2時刻的狀態，也可能對下一個時刻產生影響。

但t1和t2的下一個時刻是什麼？下一個小時，分鐘，秒，毫秒，我都知道，但下一個時刻應該是比這些單位都要小，瞬間又變得很熟悉，回到無窮小上來了。

我們知道：自然數是連續的，實數是連續的，但實數比自然數更密集。從【影響2】的討論中，如果我們認為△1是實數步進的「單位」，那麼理髮師的曲線就變得可以描述了：

理髮師從時刻t，為不刮臉的狀態

t+1*△1，為刮臉的狀態

t+2*△1，為不刮臉的狀態

t+3*△1，為刮臉的狀態

...

所以理髮師的曲線畫不出來，不是因為不存在，而是存在，但「無限斷點跳躍」，是以「單位」為步長的一系列的不斷變換而已。只不過「單位」無窮小，不足以用數軸上的兩個點的距離來定義它而已。如果勉強要畫，可以畫成這樣：

所以理髮師悖論，其實本身並不是悖論：理髮師可放心地為自己刮鬍子，有人質疑時，理髮師可以說：我是在無限次的狀態切換中完成的，所以並不違背規則。理髮師說的無限次，又一次突破了人類思維的『直覺』而已。

從另一角度說：理髮師悖論，其實是「飛矢不動」悖論的升級版，這裡就不展開了。

邏輯過程與實際過程是會有差異的，如上文提到的芝諾悖論中阿基裡斯追趕烏龜一樣。

這裡再一次說明：人類的邏輯過程極限被設計成為N級。

回過頭來看，理髮師悖論和羅素悖論似乎不等價。

羅素悖論的精確表述：如果存在一個集合A={x | x∉ x }，那麼A∈A是否成立？如果它成立，那麼A∈A，不滿足A的特徵性質。如果它不成立，A就滿足了特徵性質。

普遍認為，理髮師悖論與羅素悖論是等價的：如果把每個人看成一個集合，這個集合的元素被定義成這個人刮臉的對象。那麼，理髮師宣稱，他的元素，都是城裡不屬於自身的那些集合，並且城裡所有不屬於自身的集合都屬於他。那麼他是否屬於他自己？這樣就由理髮師悖論得到了羅素悖論。反過來的變換也是成立的。

另外還有，康託爾悖論：「所有集合的集合」就不成其為「所有集合的集合」。

在理髮師悖論中可以引入時間維度來說明，但羅素悖論不行。問題在什麼地方呢？

在討論理髮師悖論時，我們說理髮師的狀態是可以變動的，某一個時刻是固定的，休整上是一個運動狀態。這是因為「實際過程」壓制「邏輯過程」。在「邏輯運算」過程中是不考慮時間消耗的，現實過程是要考慮時間消耗的。

這跟另一個物理問題有著極大的關聯：時間是什麼，時間存在嗎？這裡不展開。

回來「邏輯過程」本身，邏輯過程是真的零時損耗嗎？如果它是零時損耗，那麼對於邏輯過程，只適合來描述「狀態」，而不合適來描述「過程」。我們先分析一下康託爾悖論：

邏輯過程如下：

第一個產生的集合是空集，

第二個是集合是以第一個集合為元素的集合，

第三集合是以已存在的第一個和第二個集合為元素的集合，

第N集合是以已存在的N-1個集合為元素的集合，

....

從這個過程中，我們可以發現關鍵詞是：「已存在」，「已存在」是邏輯推理的「動力」，也就是我們常說的「必要條件」，也是我們說的邏輯「步進單位」，那麼步進的累積就可以無限大，對於這個邏輯步進單位的無限大？我們的直覺又是怎麼處理的呢？承認「已完成」，如自然數集合完成了，才能構建出整數集合，有理數集合，實數集合。到了現在每一個學生一接觸實數集，它就是已存在的，已完成構建過程的，但學生並不一定真的可以理解什麼是實數，如果能把邏輯過程」重演「一次，那麼學生掌握的程度就會大大地加深。

再回到「已完成」，它是不是「終極已完成」？康託爾悖論就是承認「終極已完成」而產生的。元素和集合有著天然的壁壘，邏輯學上稱為個體名詞和集體名詞，即元素不是集合，集合不是元素。所有集合的集合已存在，作為一個集合，它應該被包含在剛剛創建完成的集合中，就會產生所有集合的集合未完成。所以康託爾自己用反證法證明了「所有集合的集合」不存在。

即「已完成」≠「終極已完成」。於是，邏輯的步進累積可以階段性完成，而不能終極完成，所以邏輯是有「時間損耗」的，有一些情況，時間損耗的累積是0，但有一些情況的損耗的累積不是0。

「所有的集合的集合」是一個邏輯時損不為0的情況，羅素導論中的「A={x | x∉ x }」，則是「所有集合的集合」的加強版「所有不包括自己的集合的集合」。

類似的還有」說謊者悖論「：如果某人說自己正在說謊，那麼他說的話是真還是假？這個悖論的換一種說法是：「我說的這句話是假的話「。」這句「讓邏輯進行循環，時損不為0。

實際上，從語言學上，我們需要注意的「X的Y是Z」，這種命題，我們要承認命題的邏輯時損不一定為0，命題的邏輯時損由X，Y，Z的邏輯時損決定，只有X，Y，Z的邏輯時損為0時，命題的邏輯時損才是0，不然這個命題就是沒有邏輯結果的，即這個命題既不能被證明，也不能被證偽。

這裡可以引入「實無窮」和「潛無窮」的概念。人們認為只有實無窮，或潛無窮。承認潛無窮不困難，承認實無窮是比較困難的，但從開頭的過程，就可以看到0.9…（N）和0.9..（W）是同時存在的，即實無窮是存在的。

對於潛無窮觀，無窮是不可達，自然數不能有最大元，把自然數集合看成一個沒有完成的過程。

而對於實無窮觀，有人說，無窮是可達的，自然數就有最大元；也有人說自然數集合看成一個完整的整體。

所謂」已完成「，即把無窮的過程當作一個整體。所以，當邏輯討論實無窮時，邏輯時損為0，但當邏輯討論潛無窮時，如當命題的邏輯的過程進入潛無窮時，邏輯時損不為0，命題既不可認偽也不可以證明。

個人猜想9：邏輯步進和邏輯時損的理念與哥德爾的」不完備性定理「是一致的，甚至是更廣泛普適的，如非公理系統。也與P和NP問題有著千絲萬縷的關係。

關於」步進「，「累加」和」邏輯時損，還可以表現在新興的數學分支——模糊數學上，谷堆悖論和禿頭悖論是一個開端：

谷堆悖論：一顆穀粒不能成為谷堆，但是很多穀粒就可以成為谷堆；同樣，從一個谷堆上拿走一顆穀粒，谷堆還是谷堆，那麼反覆不停地一顆一顆拿走，是否最後剩下的一顆穀粒也還是谷堆？

禿頭悖論：頭上長滿頭髮的人不是禿頭，拔掉一根頭髮也不是禿頭，但不停地拔卻能把他變為禿頭。

模糊數學使用了「隸屬度」的概念來描述，它與概率類似，是一個區間【0，1】。但這種描述只是將悖論的過程量化了，並把判斷交給設定合理的「隸屬度」的人而已，還不算真正地解決了悖論。

如果把堆谷堆的過程，畫一個「谷堆」的曲線，理論上應該如下：

但是那個值x，我們卻無法逼近，所以最終曲線也是畫不出來。因為一個穀粒的貢獻，在之達到x前都是被當作0的，但達到x時，每一個穀粒的貢獻就大於0了，而達到x後，每一個穀粒的貢獻又被當作0。這可比第二次數學危機中討論的無窮小更神奇。

哲學上稱為量變與質變的跳躍或湧現，一般的邏輯學稱「禿」，「堆」是形狀量詞，像米，克是數量詞，與形狀無關。

如下圖，可以說最少四顆穀粒就能構成「堆」，但一萬個米粒平鋪在地面上，我們也不能稱為堆。

換一個角度看：谷堆悖論的也可以通過「信息缺失」或「維度缺失」來解釋，即米粒多少不能充分決定米粒是否能成堆。禿頭悖論貌似只由頭髮的數量來決定，但其實也不是，還有頭皮的面積，頭髮的長短，頭髮的粗細，觀察者的角度都可以影響我們作出「禿頭」的判斷。本質上說，這是真實世界與認知世界的差異導致的導論，在【影響4】中會部分地展開。

假如我們把問題的所有一切背景因素都設定好，再來討論禿頭悖論呢？仍然是以下的圖，x處於一個區間內，真正的問題在哪裡呢？在我們邏輯上認為的「所有一切背景」，並不是真的「所有」，即使是無限多個背景因素都被設計，但無限個只能是（N）級別，實際上存在（W）級別因素。

現實中比較接近這種情況是：化學中測試液體的PH值，給你一個試紙，和一個比色卡，憑藉肉眼估算試紙的顏色和比色卡上哪個色更接近。這在紡織業，化妝品行業也有類似的情況。即使人們將顏色也數位化後，然後很難區分什麼是紅色什麼是黃色，只能強行設立一個波長值為分界線。

如果我們再將顏色的問題反向思考，使用還原法，則可以知道為什麼達不到「真實」，具體見【影響4】。

從根本上來說：因為「形狀」量詞與真實有對應關係，和「數字」量詞，只與邏輯過程有對應關係。因為「形狀」量詞的概念產生過程本身是一個對「真實」信息無限壓縮的過程（見【影響4】），我們直接使用時，如2瓶水，邏輯時損是0，但當我們要回到「真實」信息無限壓縮的過程，邏輯的時損就不是0了，我們甚至不知道什麼時候「確認完成」。這和康託爾悖論是類似的。

於是禿子悖論就可以換一種表達方式：1000根頭髮的人是不是禿的人？當我們去判斷命題時，必然要進入驗證」禿「這個概念，但這個概念是一個無限的過程（見【影響4】），從而導致我們的判斷困難。

類似的，從語言學上，我們需要注意的「Y是X的Z」，這種命題，我們要承認命題的邏輯時損不一定為0，命題的邏輯時損由X，Y，Z的邏輯時損決定，只有X，Y，Z的邏輯時損為0時，命題的邏輯時損才是0，不然這個命題就是沒有邏輯結果的，即這個命題既不能被證明，也不能被證偽。

生活中還有大量這樣例子，最典型的應該是」證明我媽是我媽「，這個情況的正常語言表達是：證明她是生我的人。因為」生我的「是一個來自生活的概念，這個概念包含了無限的信息壓縮，不然也不會有」生母「和」養母「之分，也不會有」懷孕母親「和」卵子母親」之分，正是因為包含了無數的信息壓縮過程，所以邏輯時損不為零。這正是「出生證」的作用，可以人為將邏輯時損降為0，沒有「出生證」時，這就是邏輯難題。類似的還有，證明「你是中國人」，現實中使用了護照；證明」你是公司的員工「，現實中用的是工卡，所以證件會無所不在，也即通證無所不在。

如果通證數位化可以帶來很大的方便，電子印章就是其中一種方向，而前沿的生物識別技術，如指紋識別，人臉識別，也是讓通證「無形化」，但與電子印章的思路不同，它缺少」公信力「，所以一般只能當作一種輔助手段，為了提高公信力，多種生物識別技術組合使用作為有效通證的例子也是有的。無論」有公信力的「還是」有效的「，其實就是證明」通證是你的通證「，因為」你的「需要壓縮無限的信息，有時候會有邏輯時損。

國家發展生物識別技術可以讓生產通證不再困難。

國家發展區塊鏈技術就是讓通證的流轉不再困難。

再回到語言說上：「X的Y」或「X的Z」中的X，我們一般稱為「屬性」，「狀態」，「維度」，但因為我們同時也會使用「均速直線運動的物體」，這種表述，這裡面的X可以有現實的時間概念影響，也可以有邏輯的時損影響，所以「X的Y」這種短語，從形式語言，圖靈機（如圖靈機不可判斷問題），機器學習，人工智慧等方面都有著深層的聯繫。

哲學上說，運動是絕對的，即使在邏輯領域也是如此。

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【影響4】還原論，奧卡姆剃刀原則，證偽主義，《道德經》

二分法在古代文明中有所表述：

一尺之捶，日取其半，萬世不竭。

我們換個角度，把日取其半的部分再拼接起來，是否可以得到原來的一尺之捶呢？

也許日取其半，會讓人感覺緩慢，但如果換成日取九成呢？正是「0.9...」（其實二分法，如果轉為二進位數是：&34;是類似的)。

正如上文提到的0.9...(N)<1，0.9...(W)=1，人將取下來的部分再拼接回，這個拼的動作可以進行多少次？

個人認為：在有條件的現實中，人是可以做到(W)的級別的；在邏輯認知過程中，人是只可以做到(N)的級別。

所謂在有條件的現實中，可以打個比方：理想化的圖靈機，它有無限的能量，無限長的紙帶。但這裡的無限是(N)級還是(W)級，個人猜測當年圖靈的腦裡只是(N)級，但理想化得更「徹底」，應該是(W)級，於是才能影響圖靈機的算力從(N)級提升到(W)級。對於人拼接也一樣，假設給的食物讓人能活(N)級天，還是(W)級天？能達到(W)級天，人就能將取下來的部分組合成原來的一尺之捶，正如現實中的阿基裡斯是肯定可以追上烏龜一樣。

在邏輯認知過程中，一個人只要投入一個邏輯運算過程，如數數，1，2，3，4 ... ，那麼人的邏輯就沒辦法「完成」這個過程，更達不到超出（N）而達到（W）。這就是計算機編程中說的「死循環」，永不結束。但人的意識是多核的，如同計算機CPU一樣，用一個核心去檢測另一個核心是否進入「死循環」，人的意識和邏輯也一樣，啟動另一個邏輯運算過程去「承認」剛剛的「過程要繼續，中止或已經完成」，而電腦能做的選擇是「過程要繼續，或中止」，無法自動作出「已經完成」的選擇，因為它真的沒有完成，此時就需要人的介入，如電腦管家軟體會提示「是否中止XXX程序」，人當然可以繼續用算法模擬人做出這個選擇，但總有部分選擇要留給「人」，人工智慧可以很接近人，但畢竟不是人，這或許就是人和人工智慧的根本區別。

二分法和自然科學中使用的」還原論「是一致的。討論還原論，可以從元素論和原子論的簡史開始：

古代中國，氣一元論，即天地萬物即是一氣所生，元自一炁也。氣化其小無內，其大無外

西方第一位哲學家泰勒斯（約公元前625-547）認為宇宙萬物都是由水這種基本元素構成的。

氣元素：泰勒斯的學生阿那克西曼德（約公元前610－546）認為基本元素不可能是水，而是某種不明確的無限物質。阿那克西曼德的學生阿那克西美尼（約公元前585－525）進一步解析到基本元素是氣，氣稀釋成了火，濃縮則成了風，風濃縮成了雲，雲濃縮成了水，水濃縮成了石頭，然後由這一切構成了萬物。

火元素：赫拉克利特（約公元前535－475）認為萬物由火而生，所以永遠處於變化之中。

土元素及四元素說的形成：恩培多克勒（約公元前490-430），綜合了前人的看法，再添加「土」，遂有水、氣、火、土四元素。

四元素形象化（象數派）：柏拉圖（公元前427－347）將四元素形象化，用幾何觀點看待，認為組成四元素的原子形狀分別是體現其性質的一種正多面體。正多面體共有5種，還剩下一種正十二面體沒有元素可與之對應，柏拉圖說它是神用來排列天空的星座的。

四元素說的發展：柏拉圖的學生亞里斯多德（公元前384－322）認為組成天體的元素與地球不同，是純粹的「以太」，是第五元素，對應於正十二面體。亞裡斯多德在他老師四元素幾何化的基礎上，將四元素說發展成為一種體系。這個思想體系有效的支撐了地心說。

德謨克利特探討了物質結構的問題，提出了原子論的思想。他認為萬物的本原是原子和虛空。原子是一種最後的不可分割的物質微粒，它的基本屬性是&34;，每個原子都是毫無空隙的。原子的數目是無窮的，它們之間沒有性質的區別，只有形狀、體積和序列的不同。運動是原子固有的屬性 。原子永遠運動於無限的虛空之中，它們互相結合起來，就產生了各種不同的複合物。

由道爾頓引進的原子學說是科學發展上最重要的裡程碑之一。道爾頓使物質由原子組成這一概念成為現實的、有用假說的。他給元素指定符號並將符號結合起來成為化合物。按照道爾頓的假說，元素是由原子組成的，同一種元素的所有原子都相同。並且說化合物是由一定數目的某一元素的原子與一定數目的另一元素的原子化合而成（或一般說來是由兩種或兩種以上元素的原子各按一定數目化合而成）。這樣就對物質不滅定律和定比定律作出了簡明解釋。道爾頓還提出另一定律 倍比定律。該定律表明：當兩種元素化合物形成一種以上化合物時，則與同一重量甲元素化合的乙元素，在各種化合物中的重量比，形成簡單整數。

東西方都有類似的元素說起源，氣一元論，和水元素說，但後來的發展就不同了。

西方把一種元素「分」為不相同的元素，並讓他們互不相同；一種是將空間「分」為不能想交的部分；道爾頓的原子論是把前面兩者結合起來，先承認了空間上的&34;法，產生原子，又引入自然數來「分」產生元素。值得注意的是，西方傳統的所有分法，都要求互不相同。這樣必然會導致與二分法一樣的結果：人類在不斷地切割物體的同時，說&34;稍後「忽略，人類能做的切割和和拼接能做到(N)級還是(W)級？

當然真實的世界是(N)級還是(W)級，我們還不知道。但個人可以提供一個角度：曆法。只要人類歷史只要還使用公元XXX年，或人類紀元XXX年，那麼人類的歷史就是就是(N)級的，也就是說切割都完成不了，更不要說拼接了，更何況&34;稍後「的長度，那麼理論上人所能還原的無限性會進一步地縮小，而這個原則帶來的好處也是顯而易見的：科學的理論都會保持儘可能的」苗條「。

那麼科學的這個難題還是否有破解之法？有，其實也很簡單，引入一個或多個新的」還原論「，並建立足夠的」跨理論「學科，即」跨理論「的理論。簡單地說，一個西瓜不只一種切法，如果你使用一一種切法，拼不回來原來的西瓜，那麼用兩種不同切法，允許兩種切法得到的塊有」共同的部分「，把所有塊都」加「起來，注意不能引入一個減去」共同的部分「的過程，就可以得到原來的西瓜。

我們回頭看看中國的發展。既沒有引入」互不相交「的空間，也沒引入」互不相同「的自然數。氣一直保持其」跨空間尺度「，跨」數量尺度「的特點，古代先賢先後引入了」陰陽「和」五行「。陰陽類似於二分法，但它不是針對」空間「，它是一類」切法「的總稱，具體的切法有：空間的陰陽如山陰和山陽，時間的陰陽如晝陽夜陰，數字的陰陽，運動的陰陽如上升為陽下降為陰等等，陰陽是其實更像一個「切法」的設計原則，只要人可以觀察到或發掘出一個新的維度，那麼馬上就可以進行陰陽的切割。五行類似於陰陽，五色，五音，五味等等。陰陽五行是兩種「切法」的設計原則，在這兩個原則指導下，人類要認知一個事物，就可以用」已知的維度「來指導切割，再拼結認識，如果仍有」未知「，那麼可以有兩種選擇：一是在某一個維度下進行迭代切割，如空間，一座房子所處位置山陽，但各個房間又可以再分五行，這和科學的還原法類似；二是觀察或發掘新的「維度」，只要有新的維度，或子維度，就能補充信息，就可以還原一個更「真實」的事物。

不執著於單一維度的切割是中國古代文化中認識論的一個特點，宋代理學，朱熹等大儒提的「格物致知」更是有意無意地這個觀念推向極端，讓學者迷失的「無限的維度」之中。這也是本人對《中國科技史》李約瑟提出的「李約瑟之謎」的一個回答。同時現代科學按照還原論的指導，最終也要迷失在「無限的尺度和精度」之中。

不過認知論的歷史進程還是有其必然性，該來的，還是要來，現在時下流行的「數據發掘和分析」，「人工智慧」，分析師和算法師們正慢慢進入發掘維度的快車道，創造出來的維度將會越來越多，人類還是要將要進入一個「維度迷失」的時期，之到時期的長短，可能要取決於新的「科學觀」的建立和普及了。

總之，要認識到一個真實的事物，保持它的「整體性」很重要，而保持整體性的手段有目前只有一種：兩種以上獨立的切割方法。切割方法和手段總容易被人濫用，如還原法，如程朱理學，這就是本人的整體論觀。

回過頭看，採用還原論方式進行研究的粒子物理學，永遠都只是一個近似值，而不是一個真實值。這與最近一段時間關於中國是否要建高能粒子對撞機的話題有關，正如楊振寧說：用對撞機研究高能物理的盛宴已過。因為「稍後」在此刻還沒完成，提前切割，意義不大。

那麼以物理為基礎的化學，以化學為基礎的生物學，以生物學為基礎的現代醫學，都可以說從學科的一起步，也就是第一性原理的規定下，就出現失真。

網絡上關於中醫和西醫的討論很多，從「分法」論上，中醫是可以作為和西醫完全不同的理論系統，對我們認識人體進行補充，讓我們儘快認識完整的人體，這需要保持中醫理論的獨立性。可惜很多人都在討論「廢醫驗藥」，這種消滅中醫的手段。

當然，再回過頭來思考：真實的世界是(N)級還是(W)級，我們還不知道，如果如量子力學說的那樣，那麼真實的世界是(N)級。個人還是傾向於真實的世界是(W)級，不然人的認知，包括產生實數概念都要全面「退化」，因為認識「超越」了現實，而我們每個人都「相信」認知的級別只能小於或等於現實，所有哲學家都是在討論能不能等於，而不是大於。

腦洞一下：假設人的認知是可以超越現實的（就如有人腦洞物體運動速度超過光速），那會發生什麼情況？人的認識會可以轉移到新的載體，人可以設計人，人可以設計宇宙，人可以成為神。

電影《頭文字D》中有一句經典的臺詞：其實神也是人，只是神做到了人做不到的事情，所以成了神。

回到當下的邏輯或哲學（真實的世界是(W)級），可以說：任何一個整體，即使採用無限的分割，不一定可以能累加成為原來的整體，特別是考慮到「累加」的行為的現實性，每一個人按一天疊加一次，人的壽命無限長，一個人也只能是疊加N次，而所有的人，70億，80億人，一齊累加，也仍然達不到原來的整體。

自科學產生巨大的影響力後，人們對科學的思考就沒有停止過，無論是定義科學還是質疑科學，希望分清科學和非科學的界線。證偽主義把科學定義為可證偽的，然後任何一個學科當前的理論也是必然能被證偽的，也必然要被證偽的。那麼我們還需要科學嗎？

按照」分法「理論，只用一種切法，是永遠得到真正的科學的，正如證偽主義被迪昂-蒯因問題所質疑。如果進一步推廣：唯物論，唯心論，二元論都不可能還原出一個正實的世界。

人的邏輯認識世界以概念為開端，第一批概念都是從真實世界中來的，與真實的世界中的事物對應，如原始人甲說：有一隻狼，現實中是有狼對應的，後面才產生了各種抽象的概念。這是我們再習以為常的事情了，但是老子卻不這麼認為：

道可道，非常道，名可名，非常名。

簡單的12個字被無數人解讀過，本人也作一個解讀：

世界本就是世界，混然一體，人們從創造「狼」這樣的詞開始，將世界劃分為一個個的概念，很多概念一開始都認為邊界是清晰的，狼就是狼，但後來發現不是，任何一個概念的邊界必須模糊化，因為狼指代了昨天的那隻，就不能指代今天的這隻了。如果不斷地創建概念，而每一個概念都只用一次的話，那麼人類的大腦是不夠用的，人類也是不可能有所謂的文化傳承的，其本質上是信息的壓縮。所以老子認為「常名」，即平常使用的概念，都是有很強的局限性，這種局限性，就是無法與現實產生邊界清晰的對應，而且即使產生了對邊界清晰的對應，那麼人類所能認識的事物個數即使是無限的，但人類從世界劃分概念的行為開始，這種邏輯過程最終能導致的就是（N）級別的事物，離真實的世界還差一點點。真實世界是由道在推動的，而認知的世界是由名在推動的，認知的世界永遠無法等於真實世界，缺失的那一點點，老子稱為「無」，而「有生於無」。

上面提到概念是人對現實世界的一種壓縮後信息，人不是第一個壓縮信息的事物，更早的應該是原始生命，如我們說DNA是細胞的遺傳信息的主要載體。多細胞生物的出現，器官分化出現，生物變得越來越複雜，那麼其處理的信息量也越來越多，而人類的出現，也是進一步拔高了信息處理的量級。人類的意識如何產生，和生物學的寒武紀大部爆一樣的」神秘「，但其實在【影響3】中的谷堆悖論裡有部分展開。

生命最先具有的基礎的特點是新陳代謝，而繁殖是後來的，接著是死亡。

當生命有能繁殖，如果生命的移動能力較弱，或生存能力較弱，後代就會群居在一起，當生命的新陳代謝可以由自身和環境交換，衍變成自身和另一個生命交換時，生命之間的互利關係正式建立，多重互利關係的確立，讓生命群組合一個新的系統，當這個系統建立了統一的遺傳信息後，就催生了「分化功能」，至此多細胞生物正式登場。

多細胞生物的出現，具有原始的不穩定性，也即分化功能不是特別穩定，所以生物在繁殖的過程，其實不一定是繁殖個體，而是快速變異，成為新的物種，這個人給神武紀大爆發的原因。

隨著分化功能的穩定，物種的增速又慢下來，直到節肢動物的出現，也即分化出比肢體類器官和比皮膚更複雜的感覺器官，因為新器官的分化功能不穩定，又進入一個物種的爆發期，目前可動物界中以節肢動物門的種類最多。

隨著肢體類器官和感覺器官的分化功能穩定，物種的增速又慢下來，直至脊索和脊椎，腦器官的相繼出現，動物的功能越來越複雜，可以應付的地理環境也越來越大。

語言的出現催生了人類的誕生，我們知道人不是唯一的群居動物，也不是唯一會使用「工具」的動物，也不是唯一的用聲音表達信息的動物，也不是唯一會用物體（液體或固體）傳達信息的動物，但很有可能是唯一一個使用聲音和符號混合交流的動物。第一個符號的出現，激發了工具，語言和生產三者之間的正向循環，逐漸發展成現代的社會。

那麼概念是怎麼產生的呢？那應該要從第一個符號開始，當然無法考察誰畫下了第一個符號，但可以肯定的是第一個符號很快就被廢棄了，因為這是新生的事物，可能只有兩個人因為一次打獵行為而使用了符號。直到後來，符號的某種價值被發掘出來，如不同的部落之間爭奪獵物，用聲音和實物，大家比較容易理解，但符號就不一定了，不參與符號約定的人，是看不懂符號的。於是使用符號的部落佔得優勢，創造更多符號的同時，也促進了發音的細化，最後發音的細化又如同符號一樣，成為新的優勢，就這樣符號與讀音逐漸地一對一的穩定下來。在這個過程中，符號重用度會越來越高，當一個符號與現實中的一類事物對應時，第一個概念就產生，可以推測到第一個概念應該是人自己或一些動植物。

概念產生後，隨著描述的事物越來越多，符號會被壓縮進更多的信息，符號的拼接也成為必然，不過一開始也是無序，後來因為發音方便或閱讀方便，而慢慢穩定下來。

抽象概念是在概念的進一步壓縮，如數字1的出現，接著抽象的抽象如虛部i，目前個人認為最能體現信息壓縮的程度的概念是歐拉公式，正如畢達哥拉斯學派推崇自然數，物理界推崇麥克斯韋方程組。

接著我們來分析一下邏輯的本質是什麼？個人認為：

元素和集合是無序事物的一對基礎概念。

元素和系統是有序事物的一對基礎概念。

邏輯的起點，或第一步是：

定義或承認第一個集合：空集，

定義或承認第一個系統：奇點。

邏輯日常更多的行為是：

從真實世界發現事物(命名),

用事物生成一個集合，即同時創建了兩概念：事物元素，和事物的集合。

用事物生成一個系統，即同時創建兩個概念：事物元素，和事物的系統。

（合併一下產生三個概念：生成一個事物概念，一個事物的集合概念，一個事物的系統概念。）

將元素「提取」序（同時也是剝離序），加入已有的集合，產生新的集合，

將元素「提取」序（同時也是剝離序），加入已有的系統，產生新的系統，

將新的集合作為元素，加入已有的集合，產生新的集合，

將新的系統作為元素，加入已有的系統，產生新的系統，

將新的系統「剝離」序，加入已有的集合，產生新的集合。

最後，邏輯會在人的大腦中構建出兩個世界，無序的世界和有序的世界。

接著，作者把自己的有序邏輯用有序的語言去表達和描述這兩個世界或這兩個世界的關聯，但因為「元素」，是從一開始就必須命名的，所以後面發生了邏輯操作（提取序），但卻沒有產生新的名稱，所以必然會存在歧義性。這個過程作者也可能不自覺地發生了歧義的情況。

然後，讀者的邏輯根據語言來還原作者的邏輯時，面對同名的概念，也可以無法區分它是無序世界還是有序世界，而又發生了歧義。

雖然後來有人提出形式語言來應對邏輯困境，但沒有理解概念的產生和邏輯中的兩個世界，那也只是努力而已。

前文提過：邏輯思維對於無窮大，有一個」設定「，無窮大是（N）級的，為什麼？

從上面邏輯的本質就可以看到：語言是有序的，邏輯是有序的，而且是按著字符或步驟一個個地進行拼接而來，在語言裡，一句話，字符最多是（N）的無窮大個，思維中，一次思考，邏輯的步驟最多也是（N）的無窮大個。而對話或書籍只能由一個個的句子來組成，所以也是（N）的無窮大個。

當然也可以從另一角度看：從數系的產生：自然數，整數，有理數，實數，複數，數系是從少到多的，也是通過運算才能由一個數系產生另一個數系，所以想到無限大的個數，必定是指向自然數的無限大，這在心理學上稱為」先入為主「。

邏輯在無序世界和有序世界的錯誤切換，即潛無窮和實無窮之間切換，最終導致了我們之前所討論過的所有悖論，這些悖論都是無保持邏輯學中的「同一律」而導致的。

為什麼說提取序，也是剝離序？

如你看到一個物件，你產生了一個名字：手機。

接著你會把手機當作元素，也會把手機當作一個集合，也會把手機當作一個系統。

當你發現（提取序）手機是白色的，那麼就把手機當作元素，加入白色物品的集合。

當你發現（提取序）手查可以打電話，那麼就把手機當作元素，加入人與人的溝通的系統。

反過來看，你把手機加入白色物品的集合時，是不是剝離了它的形狀？

你把手機加入溝通的系統時，是不是剝離了它能支撐？如網上說某手機可以當磚頭。

也就是說我們在提取一個序的時候，也剝離了無限的序。這裡的無限個是多少個？可能就是真實世界的無限個，它可能是（W）級。

那到底是要提取序，還是剝離序呢？西方的文化主要是提取序，例如在空間這個序上，不斷地提取，所以才會產生原子論；東方的文化主要是剝離序，例如堅持類比看不見的氣，而產生了氣一元論。這就是東西方文化的差異的根本：邏輯是同一個起點，行為也是同樣的行為，但是看到的世界完全不同，西方是看到由一個個序（屬性和行為）拼接組成的事物所構成的世界，一個是看到由一個個序作為代表的分類的世界。對應的思維，從不同分類法上看，稱為還原思維和類比思維（取類比象）；或邏輯思維和形象思維。對應的行為，方法論稱為：定量分析和定性分析。

康託爾提出一「序數」的概念，真正的逼近了邏輯的起點。回頭看看數學如何產生的。

首先，人類看一隻動物，形成1的概念，看到一群動物，形成多的概念。這時處於整體論思維之中。

但2的概念是如何產生？從啟蒙教育說，我們是灌輸型，從人類發展來說，2隻是兩隻動物，3隻是一小群動物，百隻，千隻，萬隻，原來都是指「多」，只是多的程度不同。在這個時候，意識世界，只有「無續的世界」，「有序」的世界，仍然寫在在動物的欲望中。

人們只會從概念中選擇量詞來形容動物多少。真正產生數學的動作在於1+1=2的發生。將兩個概念，用一個動作關聯起來。從啟蒙教育來說，我們也是灌輸型。

從定義加法開始，邏輯就開始形成兩個世界。

首先1是無序的，

1+1=2是一個只有「一個序」的動作，包括兩個行為，把無序的1，變成有序的1，把有序的1當作步長進行累加，導致的結果是有序的2，這個2又會被轉化為無序的2，

2+1=3也類似。

切換成康託爾的集合論是：

空集，是一個集合。元素個數為0，

把空集作為一個元素，組成一個新的集合，其元素個數1，

把前面的已存在的兩個集合，組成一個新的集合，其元素個數為2，

如此類推，邏輯只是產生了很多概念，它們是無序的，也就是0，1，2，... 是沒有關係的狀態。它們會被放到一個集合A{已知集合的元素個數}中。

只有把A中的元素按照從小到大的排序，生成一個序數集B，並稱0與1，1與2，2與3之間的序是「同質的」，都是+1。

人們在看1，2，3時，經常會在基數與序數之前切換。

3個蘋果減去2個蘋果，數學是3-2=1其實是先把基數的3，2轉為序數，再在序數上進行運算，等到序數1，再把序數1，轉為基數的1。

數字原本只是符號，可以描述事物的量，只有序化的數，即序數，才有運算。

為什麼1頭牛加一頭羊不能等於2？因為在基數，轉化為序數時，需要的是兩上動作，一個是排序，二是定義運算。1頭牛和1頭羊，沒有「運算」。在第一次數學危機稱為不可量度。

也許有人會問：排序，不是要先知道大小，大小是通過a-b>0這種方式，才能得到結果的，才能排序。

其實恰恰相反。人的排序是天然的，沒有運算，也可以有排序。這跟我們現在常說的價值觀一樣。給幾個東西，讀沒讀書，他肯定會選擇出一個最愛。也如小孩子一周歲的小儀式，選筆還是玩具。

正因為這種排序的隱藏性，人類一直以為我們量化後才懂得排序。其實這是我們後來應用「量化」的一個領域而已。

回到數學，代數理論中，把數集和運算組成一個「系統」，稱之為群。在幾何理論中，把點和「動」組成一個「系統」，稱之為形。

歷史上可以肯定的是幾何圖形先出現，代數運算後出現。

數學的發展和康託爾的集合還原了人在「邏輯」過程中，不斷在有序世界和無序世界不斷地跳躍的過程。而潛無窮大在有序世界，實無窮大在無序世界。當討論到無窮大時，一定要避免同時使用潛無窮大和實無窮大。

而自然科學，也是存在兩個世界，則是在數學的基本元素中，增加屬於物質的序，如質量，速度，重心等，當描述物體的狀態時，是在無序世界，當描述物體的運動狀態時，是在有序世界。

其實社會科學，如心理學也一樣。描述狀態為無序世界。描述變化為有序世界。

人天生會學習，就和動物一樣。人天生有兩種技能：自然排序和自然映射。它都是依靠大腦用神經網絡自然形成的，而且會隨著記憶的變化而變化。人學會用聲音，肢體交流，學會用符號交流都是因為自然映射技能，它讓感觀信號對應了一個事物，所以自然映射功能是產生無序世界的第一動力。而人和動物一樣會獵食，選擇水果，學會針對第一個」好「的選擇進行出擊，它讓按無序世界中的元素得以排序，並給大腦一個」選擇「，所以自然排序功能是產生有序世界的第一動力。

人和豬之間，都有著兩似的天性，也可以稱為」先驗排序」和「先驗映射」，它產生的世界開始交錯，形成1+1=2這個關鍵操作後，有序世界中的序就變得多樣化起來。

後來隨著人的認知程度加深，人又會形成一些「潛意識」的映射和排序，它會也影響著你的意識中的映射和排序。

人的邏輯問題很多時候都是歸於隱性的映射和排序。

人們一直都在嘗試尋找東西方文化差異的根本，其實就是在思維方式上的不同。回頭看看我們是如何發現這把」鑰匙「的？恰恰就是代表邏輯思維皇冠的數學，和代表形象思維的皇冠&34;的碰撞而產生，當我們分析了「...&34;證明&34;實驗&34;貓既死又活「的狀態出現，而這個絕對的時間軸是不是相對論所否定的？當把觀察者的時間軸也考慮進來，或者再加一個以接近光速的觀察者來看這個貓又會是如何的狀態？

但是如果按照△1為單位呢，又會發生什麼情況？本人智力和知識有限，只能停下。

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【影響7】化學元素周期表

已知化學元素周期表中有一百多種元素，但理論上應該存在在更多的，甚至是無數種化學元素，而這無數種化學元素，在人的邏輯理念中，最多只能達到(N)的級別，真實的宇宙或世界是否可以存在(W)個質子的「超級元素」，哪怕這個超級元素的穩定時間接近於或等於0?腦洞一下：物理學中的宇宙大爆炸是否與超級元素有關？

類似的，有機物的分子構成有無限種可能，單質或混合物的數量也是無限種可能。那麼所謂的「提純」與24K黃金的意義的真實本質是什麼？

【影響8】生物學和醫學

生命的形式是否只有細胞一種？或細胞和病毒兩種？生物學最重要的一個結論：生命樹，按域界門綱目科屬種的方式把生命定位在樹上，但分類的標準是以細胞結構或器官結構的」屬性「為特徵標籤的，為了應對一些區分模糊的生物，又需要設置亞科，亞屬，亞種。人類分為白種人，黃種人，黑種人，棕色人種等就是亞種。但生命樹真的能穩定嗎？新的物種會被發現，或新的物種會演化出來嗎？

人體是細胞的集合，但是人體又離不開體內的細菌，離不開環境，那麼人到底是什麼？人生病到底是不是可以用解剖學來解決，窮盡器官，窮盡組織，窮盡細胞，窮盡蛋白質，窮盡基因，窮盡DNA的方式來達到？現代醫學仍在這條路上不斷地奔跑。

現代醫學還有現兩個方向也是一直在奔跑：一是疾病的命名和分類，與生命樹類似；二是製藥，臨床實驗，大樣本隨機雙盲實驗都是藥品上市的門檻。

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【影響9】降維打擊，維度

康託爾成功地證明了一條直線上的點可以和平面上的點意義對應，甚至也可以和空間中的點一一對應，最終一釐米長的線段中的點和地球內部的點一樣多。

一條曲線可以鋪滿一個平面，也可以填滿一個空間。

分形學裡：有限的面積下，可以產生一條無限長度的曲線。

網絡上也很多人在討論升維和降維，如劉豐教授。

那麼科幻小說中的」降維「打擊還是必然的嗎？是不是可以發生」升維「打擊？

數據分析和人工智慧領域，以維度的數量為」重點指標「，維度越多，越接近真實，但當維度越向於無窮大時，真的就可以是真實了嗎？顯然，通過數學歸納法得到的多維度的規律和認知是有效的，但它還不能達到真實。

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影響還有很多，本人是寫不完的了。

面對「無限大」，「無數多」，我們也許直面可以得到更多的力量——邏輯的力量。

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後記：花了整整3天時間整理，遠超原計劃的1天時間。希望本文能對一些人提供一點思路。2020-1-31

後記：花了一周的時間重新整理了一部分內容，調整目錄，增加嚴謹性。2020-2-7