數學和藝術的內涵和表達方式不同，反映出的我們這個世界的層面也是不一樣的。數學是科學的基礎，是客觀世界的基準，是大自然的語言。而藝術是人們主觀世界的升華，是審美和情感的集成，是精神世界的語言。它們各有具象和抽象的表達。數學的具象就是應用數學，而其抽象就是理論數學。藝術的具象就是生活中的藝術，而其抽象就是超現實藝術。儘管有如此多的對立不同，但它們的共性是發現和創作。它們在哲學或者更高層次上相通，這裡可以用一個數學的詞，叫「高維連通」。
數學和藝術在歷史發展過程中似乎各不相干、各走各的，但稍加分析就可以看出它們是互相影響、交織前行的。數學是從形（幾何）和數字（代數）開始的，形狀和顏色也是藝術表達的一個基本方式，顏色的本質是不同比例的原色混配。只不過數學研究的是形和數量內部的邏輯關係，而藝術的形形色色是應用了其外在的特點。從這點上來說，它們具有共同的出發點。
古希臘時期（約公元前四百年前後），文化、藝術有一段輝煌的發展時期，在數學上也有極為傑出的成就，例如黃金分割比例的發現。黃金分割是數學和藝術最直接的聯繫。它是古希臘數學家畢達哥拉斯發現的，他聽到打鐵一強一弱的聲音很好聽，由此啟發，找到了黃金分割比例0.618和1.618。中國詩人白居易在《琵琶行》中也有「大珠小珠落玉盤」的描述，或許跟畢達哥拉斯聽到的打鐵的聲音有異曲同工之妙。
文藝復興時期，科學入畫是其藝術表現的一個重要特點。例如，爐火純青的透視技巧。透視後來變成數學理論，形成了數學的一個新分支——射影幾何。這一時期的代表人物之一達·文西的畫作中含有很多科學元素，大家熟知的《蒙娜麗莎》是按照黃金分割的方式布局的，有對數螺線和黃金三角形的結構隱藏於後。再比如，北方的代表人物丟勒直接把數學畫到了《憂鬱》中，畫中女神頭頂上是一塊幻方，每個橫行或豎行加起來都是34，底下是繪畫的年代「1514」年。
工業革命的特徵是大機器的產生，機器極大地改變了社會形態和人們的生活方式，也深刻地影響著藝術。例如照相機的出現讓許多肖像畫家丟掉了飯碗，也讓畫技在「像」和「不像」上用力失去了意義。這時藝術家們開始探索更深層次的、不浮表面的東西，例如感覺、動感。法國畫家莫奈的《印象日出》就是其中的代表。然而那個時代，數學家們還在為精準較勁，直到一個世紀後計算機的出現和對大量模糊信息處理的需求，模糊數學才應運而生。這點上，藝術走到了數學前面。
這個時代還有一個特徵就是「動」，為此靜態數學不夠用了，用於處理動態的強有力的工具微積分誕生了。微積分也引發了第二次數學危機。畫家們也開始讓靜態的畫面動起來。其中的代表作如德加的《舞女》，模糊的畫面有了眩暈感。
到了後現代，計算機出現了，解放了人們的腦力。同時隨機現象、大數據的處理都給數學提出了挑戰，混沌、分形等現象也被數學深入研究。這段時間，數學經歷了第三次危機——集合論的悖論危機。數學越來越具象，藝術卻越來越抽象。藝術更深入地探索抽象的哲學理念，很多數學的抽象概念和超自然的表述被直接應用到作品裡，例如高維、異空、分形等，如達利所描繪的柔軟時間的作品《永恆的記憶》，還有畢卡索的立體主義作品等。
這個時期也出現了一種新型藝術，這就是計算機美術。繪畫者不用畫筆，而是用鍵盤寫程序，然後計算機運行，效果可能完全超出編程者的預想。現在更有直接機器人繪畫的作品，至於這種作品能不能稱為「創作」還在爭議中。當然，數學和藝術將繼續以自己的方式解釋、描繪和理解這個世界，有互相補充，有各自精彩，有同工異曲，也有靈犀相通。它們正如法國著名作家福樓拜的名言所說：「科學與藝術，從山麓分手，又在山頂匯合」。
（作者：梁進，系同濟大學數學科學學院教授，根據在科學出版社舉辦的第二屆「科學與藝術」高峰論壇上的報告整理）